Кугушев А.М., Голубева Н.С. Основы радиоэлектроники. Линейные электромагнитные процессы (1969) (1092090), страница 92
Текст из файла (страница 92)
Ранг тензора определяется числом индексов. Т, =аист Т, (Д-2-9) Выражение это можно рассматривать как обобщение выражения (Д-2-7). В связи с этим можно дать следующее определение тензора второго ранга. Теизором второго ранга е трехмерном пространстве называется совокупность девяти величии, лреобразующихся ири повороте системы координат согласно формуле (Д-2-9). Тензор второго ранга поясно записать н виде квадратной мат- рицы (Р— )Ра О )Ра 1 О ,о о рз (Л-2-11) Тепзор, компоненты которого пе изменяются при преобразованиях координат, называется н з о т р о и н ы м. Скаляр — это изотропный тензор нулевого ранга.
Тензорная алгебра изучает инвариантные операции, т.е. такие операпии, в результате которых получается вполне определенный тензор, не зависящий от того, в какой системе координат операция выполнена, Д л г е б р а и ч е г и о 1< суммой двух т е н з о р о в А <ь и Вы второго ранга называется тензор Сы того же ранга, компоненты которого равны алгебраической сумме компонент слагаемых тензоров: С,„= А,э+ в<,, Это правило сложения относится к любому числу тензоров, но складывать можно только тензоры одного ранга. Произведением двух тенэоров Аы и В< называется тензор С<ым, компоненты которого равны произведению соответствующих компонент перемножаемых тензоров; С<ььв = А<ь В<,„. Ранг произведения двух тензоров равен сумме рангов этих тензоров. Произведение двух тенэоров некоммутативно, т, е. А<е В<и + В< Ащ Правило умножения относится к любому числу тензоров любых рангов.
Свертывание теизора. Полагая два индекса тензора одинаковымн, т. е. суммируя по этим индексам, получим нз тензора г-ранга тензор (г — 2)-ранга. Эта операция называется свертыванием. Операцию свертывания можно применять к тензору. несколько раз. Прн этом тензор нечетного ранга может быть свернут до вектора, четного — до скаляра.
Прн изучении линейных электромагнитных процессов пользуются тензорамп не выше второго ранга. <сезар второго ранга называстся си и нет р и ч п ь< и, если Ты=Та„т е. когда равны компоненты, симметричные относительно главной диагонали Симметричный тензор второго ранга определяется шестью величинами. Тензор называется а нт и с н м и е т р и чн ы м, если Ты = — Т„, Компоненты такого тензора, стоящие на главной диагонали, равны нулю. Следовательно, такой тензор определяется тремя компонентами Тензор называется самосопряженным или эрмито. вы м, если Т,а=Т,. Эрмнтов тензор второго ранга в общем случае определяется шестью компонентами. Магнитная проницаемость ферритов н диэлектрическая проницаемость плазмы прп подмагничиванин являются зрмнтовымн тензорамн вида 773— т, т, т, т т т т Тзе Тзз т; получаем скаляр ! 2 3 Ты= 4 5 6 7 8 9 1 О 61 2 3 ! 4 5 6 и антнсимметричную части сле- Π— 1 — 2 + 1 Π— 1 2 1 О 1 3 5 3 5 7 5 7 9 7 8 9 (Д-2-12) тгд А,=В; (Д-2-! 3) В;=ЧАь АВ= Ас Вс Пример 5.
Перемноукая тензор Ты Аг+ Туз Аз+ Т,з Аз = т)АВ Тм Аг+ Тез Аз+ Ттз Аз = Ч 46 Тм Аз + Тзз Аз+ Тзз Аз = ЧАз. 1 О 2 3 4 1 2 3 4 (Д-2-14) Ты = т„ т„— ч т т тзз т„— ч 7ы — Ч 7 21 т, = О. (Д-2-15) — 775 — 774— Пример А Свертывая тензор второго ранга т;=т,+т„+т„. Пример 2. Свертывая тензор получаем скадар Т„=10, Взаимное свертывание илн свертывание произведения тензоров. Если псремножнть два тензора рангов г и з, и полученный тензор свернуть по индексам, принадлежащим различным тензорам, то получим тензор ранга (г+з — 2). Эта операция называется взаимным свертыванием.
При взаимном свертывании можно свертывать и несколько раз. Пример 3. Ве= РыНз — вектор магнитной индукции; здесь Ры — тензор магнитной проницаемости (теизор второго ранга) н Нь — вектор напряженности магнитного поля (тензор первого ранга). Вообще произведение тензора второго ранга на тензор первого ранга есть теизор третьего ранга, ио Р ьНз — тензор первого ранга, таи как в этом случае производится взаимное свертывание.
Пример 4. Скалярное произведение двух векторов является произведением двух тензоров первого ранга с последующим сверты- ванием с вектором А;= (2, 1, 4) и свертывая это произведение па первому индексу ты, получаем вектор В„ = тгд А; = (13, 16, 21); свертывая произведение по второму инденсу Ты, получаем вектор В, = Т з Аз = (!О, 14, 23). Разложение тензара на симметричную н антнсимметричную части. Любой тензор второго ранга можно разложить яа симметри а ную и антисимметричную части, причем единственным образом. Действительно, тенэор Тгз можно представить так: тгз = В„+ А;„ 1 где Яы= — (Т,ь+Тзы) — симметричная часть тентора (так как 2 1 В е=Вь;),аАы (ты — Тзд — его антиспмметричная часть (так 2 как Аы= — Аь ). Пример б.
Тензор можно разложить на симметричную дующим образом: 1 2 3 4 5 6 Приведение тензора к глаиным осям. Праизпедение представляет взаимное свертывание и является вектором. Вообще Вз пе совпадает по направлению с Аь, на для заданного тзь можно подобрать такой вектор Аь который прн умножении на Ты изменяет только свою величину, не изменяя сваега направления, т.
е. В~ пропорционален Аи где Ч вЂ” скаляр. Подставляя госледнее выраукение в (Д-2-12), получаем; Тгз Аз = т!Аы что соответствует трем линейным однородным уравнениям Эта сисгема уравнений может иметь решения, отличные от нуля, если определитель ее равен нулю: Кубическое уравнение (Д-2-15) называется характеристическим. КоРни его Чг(п= 1, 2, 3) вещественны, если Ты ЯвлЯетсЯ симметРич.
ным вещественным или эрмитавым тензором, н называются характе. ристическими числами тензора Если характеристические числа Ч„ подставить в уравнения системы (Д-2-14), то получим три системы уравнений, определяющих три вектора АьТ "Ч Так как эти системы линейны и однородны, то они определяют эти векторы только по направлению. Этн направления взаимно перпендикулярны и называются г л а в н ы м и о с я м и тензора. Если в качестве осей координат выбрать главные оси тензора, то теизор будет иметь впд; Характеристические числа тензора определяют его компоненты после приведения тензора к главным осям.
Эта операция называется >акме приведением тенэора к диагональному виду. Пример 7. Л!агннтная проницаемость намагниченного феррнта (Д-2-!1) представчяет собой эрмнтов тензор: р — !р„о > о о о р, Характеристические числа этого тензора определяются из характерц- стн'>еского уравнения (Д-2-15) Р Ч /Ра !ЄР— Ч =О > о р р ч отсюда Чл = (Р+Ра)' Чз= (1" Ра) Чз =-Рз.
Приведенный к диагональному виду тензор ры имеет впд: р+р„о о О р — ра о о р, Главные оси тензсра определяются системой уравнений (д 2 1Ч) для трех значений Ч,. Положив Ч=>!>=(р+р«), получим систему, определяющую ось А,">=(А>П>, Ал">, Алн>) по направлению Аы> > А" > 2 ! р — (р+р„) о 1 о >р 0 рз (р+р ) 1 ра — (р+р ) 0 А!» з >ра р (р+ра) ~ ΠΠ— 776— нли А)О Аз! > Аз(>> -р.(р, р р.) )р (р, . р ра) О Аналогично направление А>>л> определится соотношением А>з> > А!з> з А(з> з или х,з х,' "з + — 1 1 причем полуоси вллипсонда а> — — (! = 1> 2, 3) ° УЧ Возможны три случаа, 1.
Если все величины Чл различны, то имеем трехосный эллипсоид (рип Д-З,а) Среда, характеризуемая таким тензором, полностью анизотропяа, т. е. свойства ее в разяых направлениях различны: х> х> хз — + — + — ' =1. (Д-2-П) п' Ьз с' 2. Если т!>=Чз Ф Чз, то получим эллипсоид вращения (рис. Д-З, б) > кз хз хз — + — + — 1 аз аз сл (Д-2.18) — 777 р. (р, — р+ р„) — )р„(р, — р+ р„) о Из полученных соотношений очевидно, что векторы А>н> н А>>'> не имеют составляющей по оси хл, т. е.
оба лежат в плоскости Ох,х,: А!>~> = — !Ай~> ) (Д-2-16) А)~> = (А)~> Этн выражения характеризуют векторы А>'> и А>И, вращавшиеся в противоположные стороны. Вектор А>л> перпендикулярен плоскости Ох> хл. Каждому тензору второго ранга можно однозначно сопоставить поверхность второго порядка, характеризующую его свойства х;х = 1, где х>, хл — координзты поверхности. Эта поверхность называется те на о р н ым э л л и п саидом. При повороте системы координат и совпадеяпи ее осей с главными осями тензора получим уравнение поверхности эллипсоида: '2 '2 '3 Ч> Х> + т!2 хз + Чз Хз = 1 хг +хг +хз = а г з з г (Д-2.!9) (Д-2-21) (Д-2-23) егзг= еыг ет,в = Рис. Д-3. Тензорные эллин.
сонды. (Д-2-24) л — трвтссиыя !'Ъ, «Ч*1; З-эл. в — сфера 1«л — — «в=гл!. Тензор в этом случае имеет впд: гб О О О з) О Д-3. ВЕКТОРНЫИ АНАЛИЗ Ты = =- быт! (Д-2-2О) (Д.з Ц вЂ” 778— Среда, характернзуеыая таким тенэором, аиизотропна не во всех направлениях, 3. Если пл т!т т!э, то получим сферу (рис. Д-Э~ в). Среда, характеризуемая таким тензором, изотропна, т. е, свойства ее от направления не зависаю Уиножевие вектора на такой тензор изменяет только его величину, не изменяя направления. Любые направления здесь являются глав- ными. Такой тензор называется из о т р оп н ы м. Тензор два, компоненты которого могут иметь только два значению +1, когда г = й, — 1, когда 1 та й, называется единичным тензором второго ранга: 1 О О О ! О О О 1 Свертывая бы, получаем бы=3.
Очевидно, что дзАи=А (Д-2-21а) т е., составляя скалярное произведение дыАж мы меняем индекс й иа 1. Это можно использовать для вынесения векторов и тензоров за скобки Ты Аа+ Аг = Ты Аз -1- бгз Аа = Аз (Тп, + бса). (Д-2-22) Единичный тензор третьего раяга еыь компоненты которого могут иметь только трн значения +1, — 1 и О, определяется следуюшим образом: бы дев би бтг бзь дзг дзг бэз бз! е ы называется символом Леви-Чивита. Произведение двух тензоров еты и в лр представляет тензор шестого рата: б !ил (б !я д!в бгл бзр дпл д!л Свертывая его по индексам 1 и р, получаем: еды ежлг = дгт бвл — бгл даю Свертывая еше раз по индексам й и л, получаем: в!а! е„а! = 2дгт,. свертывая по всем индексам, получаем." е,ага!а! = 6.
Скалярное произведение двух векторов является скаляром и определяется выражением (АВ) = АВ сов (АВ). Очевидно, что (АВ) =(ВА), Скалярное произведение двух векторов можно рассматривать как взаимное свертывание двух тенэоров первого ранга. В декартовой системе координат (АВ) = А; В1 — — А, В, + А, Вз -[- Аэ Вэ, (Д-3-1а) Векторное произведение [АВ] векторов А и В является вектором, перпендикулярным к А и В и по абсолютной величине равным плошади параллелограмма, построенного иа этих векторах. Векторное произведение можно вычислить с помощью определителя, В декартовой системе координат е, е, ез А1 Аэ Аз В В В [АВ] = (Д.3-2) и в теизорной форме [АВ]г = ега1 Аа Вг, где е,ю — единичный теиэор третьего ранга, определяемый выражением (Д.2-23) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
