Кугушев А.М., Голубева Н.С. Основы радиоэлектроники. Линейные электромагнитные процессы (1969) (1092090), страница 94
Текст из файла (страница 94)
(д-з-зП ач — о ЛУ Следовательно, дивергенция вектора А в данной точке равна пределу отношения потока вектора А через замкнутую поверхность 5„ содержащую внутри себя эту точку, к объему ЛУ, ограниченному по. верхностью 5, когда она стягпваегся в точку. Дивергенция является скалярной величиной, характеризующей интенсивность источников или стоков поля. Те точки поля, где д!ч А(О, называются стоками пачя; векторные лилии сходятся к этим точкам; те точки, где б(ч А>0, называются источниками поля, векторные линии расходятся иэ этих точек.
Если б!ч А=О, то поле не имеет ии источников, ни стоков. Тензориый аналог теоремы Остроградского — Гаусса имеет вид; атга — га'лл $т,абэа, (д-з-зо ) дхэ л Формулы Грина. Если А=гру ф, где гр и ф — скаляры, то д! ч А = д(ч (улаф) = д 'Р У ф + ФЛф. Подставляя это выражение в (Д-З-ЗО), получаем первую фор. мулу Грина: ~фуфзз=) (уфуф+ФЛф) "У.
3 Переставляя гр и ф, получаем; фУгр ЗЗ = ) ()7фУТ + фбгр) а(У ч Вычитая последнее выражение из (Д-3-32), получаем мулу Грина: ) (ФУф-фЛ) 5= ! (ТЛф-фбф) ЗУ 3 р Классификация векторных нолей. Если (Д-3-32) (Д-3-32а) вторую фор(д-з-зз) Е = — йгад Ф, (д-з-зз) так как согласно выражению (Д-3-!6) го( Згаб гр=о. Фуницяя ф называется потенциальной функцией илн потенциалом поля.
Очевидно, что потенциал определяется неоднозначно, так как Згаб гр= =Згаб (гр+с), где с — постоянная, ие зависящая от координат пространства. Знак минус в выражении (Д-3-33) выбран пз тех соображений, что векторные линии поля Е иаправленм в сторону убывания потенциала. В потенциальном поле рйчЕ~О, (д.з-зб) т. е. существуют источники и стоки поля н линии поля ие замкнуты. Так как согласно (Д-3-!4) 41ч Е= — Щ, то скалярный потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона: Лр+ О. (Д-3-37) ' Область называется односвязно!к если любой замкнутьш контур, лежащий в этой области, можно стянуть в точку.
30* — 787— го1 Е =- О, (Д-3-34) то поле вектора Е называется б е з в и х р е в ы и. Если рассматриваемая область является одиосзязиой', то поле, удовлетворяющее условию (Д.З-34), называется потенциальны и и может быть представлено в виде Е <( Ь = ) б (ч ЕЖ< чь О, (Д-3-376) рнс Д 7 Векторная трубка <! А эь О. В 33 = ) б (ч В <ОГ = О, к В<(8 =0 (Д-3-39) — 788— 789— Из условия (Д-3.34) согласно равенству (Д-3-28) следует, что фез(=о, (Д-3-37а) й т. е, циркулядня вектора вдоль любой замкнутой кривой равна нулю. Физически это означает, что в потенциальном поле работа вдоль замю<утого контура равна нулю.
Согласно теореме Остроградского — Гаусса (Д-3-30) н выраже(д-з-зб) т.е. поток вектора Е через замкнутую поверхность не равен нулю. Поле вектора В называется соленондальным, если в нем нет источников и стоков, т. е, если в любой тачке д!ч В = О. (Л-3-38) Для соленондального поля В=го1 А, так как согласно (Д-З.!7) 6!ч го1 А=О. Функпня А называется векторным потенциалам. Полагая б<ч А=О (что возможно, так как вектор А вспомогательный) с учетом (Д-3-!8а), получим уравнение Пуассона в векторной форме: Согласно выражеин<о (Д.3-28) при го1 А ~ О циркуляция вектора А для солепоидального поля не равна нулю ~Аз!+О.
й Следовательно, работа вектора поля вдоль замкнутого контура также не равна нулю Этим соленоидальное поле отличается от потенциального. Согласно теореме Остроградского Гаусса (Д-3-30) и определению соленоидального поля [выражение (Д-3-38Ц имеем: т. е. поток вектора В через замю<утую поверхность равен нулю. Если выделить в поле векторную трубку, т. е. часть объема, ограниченную векторнымн линиями (рис.
Д-7), то из условия следует, что в соленоидальном поле векторные ливии являются замннутымн нли уходят в бесконечность, Прн условии го1 С = 0 и б(ч С = 0 поле вектора С является безвихревым, не имеет источников п стоков. Такое поле называется л а п л а совы ы, характеризуется оно одновременно векторным н скалярным потенциалом С = — цгаб <р = го1 А, которые согласно выражениям (Д-3-14) и (Д-3-!8) прн условии б!ч А=О удовлетворяют уравнениям Лапласа Ас„"=О, АА=О. (д-з- о) Функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа, называются гармоо ина- Д фферен ирование в криволинейных ортогональных коорд атак. Положение точки М в пространстве определяется радиус- е-в к- Рнс. Д.8. Координатные поверхности, линии н осн ортогональной кривОлинейной системы координат.
тором г, координаты которого ць <)<, <)з зависят от принятой системы координат. Положение точки в пространстве а<о<кис однозначно определить пересечением трех поверхностей (рнс. Д-8), которые называются координатными Пересечение двук поверхностей дает линию, называемую координатной, значения двух координат иа этой линни постоянны, а третья меняется, Координаты то<кн <)«, )ь <)э называются криволинейными Наиболее распространены ортогональные криволинейные системы, в которых касательные к координатным ливиям в каждой точке д1р 1 дф йгад1 |р = — = — —, д(, А, дд,| дф 1 д1р Згадз 1р = — = — —, д12 йз ддз' д,=д,(х,, хз, х,); дз = дз(х,, х„хз); дз = дз (х|, хз, хз); (Д-3-46) обратно дф 1 дф Згадз |р = д1з йз ддз (Д.3-47) где (Д-3-48) Ото|ода (Д-3-49) (Д-3-42) (Д.З-43) 351 = г(12 оуз = йзйз ддз ддз| г(524 311 д(з=йгйздд1 3)з| о51 д11 вуз = 61 йзд)1 2(дз.
(Д-3-44) — 791— пересекаются под прямыми углами. Эти касательные называются ко: ординатиыми осями; направление их меняется от точки к точке. В обшем случае координаты точки в обобщенной криволинейной системе связаны с координатами прямоугольной декартовой системы уравнениями хг =-Хз(дз дз, гз): хз «2 (Р1 Р2 Рз) хз = х,(д,, гз, дз).
В криволинейной системе координат изменение координаты дг на дд1 приводит к перемещению д(1 вдоль координатной линни: 311 = йг ддг (1 = 1, 2, 3), (Д-3-41) гле йг зависит от вида координат и называется коэффпцяентом Лама. (Повторение индекса 1 не означает суммирования.) Действительна, элемент ллины 611 координатной линии можно записать хак д(1 = и д«1+3«2+дхз (дз= сонэ|, дз = сопН), 1/ 2 2 2 дх, дхз дхз д«1 ддз дхз дд дхз = дд1, дд| ' дд| 1' дд, Аналогично д!з — йз ддз д(з йз ддз' На основании этого коэффициенты Ламэ можно записать в виде Интервал между двумя тачками 31 определится как 1 311+ 2 42+ 13 дз -/ 2 г 1 2 1 Элементы координатной поверхности: Элемент объема д)1= 115, д11 = 1152|112 = д52 одз =61 йзйзддтг|дзддз. (Д 3 46) С помошью полученных соотнон|ений произведем дифференцирование в криволинейной системе координат.
В соответствин с выражением (Д-3-7) получим: С учетом равенства |Д-3.31) 1 Г д д дгт А = — [ — (А|112 йз) + — (Азйгйз) + Л1 йзйм Гддг ддз д + (Аз 61 йз)~ ддз Согласно (Д-3-29) 1 Гд (йз Аз) д (Аз А,) ~ го||А = — [ йзйз ~ ддз дд, 1 Гд(61 А.) д(йз Аз) ~ го|, А = 61 йз ддз ддз 1 Гд (йз Аз) д (61 Ат) ~ го|э А = — [ йз й, 1 дд1 дд, Согласно выражениям (Д.З-!4), [Д.З-46) и (Д-3-47) Выражения Я-3-46) — Я.3-49), переписанные в цилиндрической, сферической и эллипсоидальной системах координат, имеют широкое применеш|е в теории электромагнитного поля, Цилиндрическая система координат (рис.
Д-9). Координатными поверхиостямн являются: плосхости (г=сопз(), круговые цилиндры (г=сопэ1) и полуплоскости (а=сонэ!), проходящие через ось г под углом а к фиксированной полуплоскости Координатными линиями являются; прямые (г=сопв1, а=сонэ( и а=сопз1, г=сопз() и окружности (1=сопя|, а=сонэ() Направление координатных осей опРеДелЯетсп оРтами е„ею е.. В этой системе д,=г, д,=а и дз=г. 1(илнндрические координаты связаны с декартовыми следуюшц. ми соотношениями: х,=1 сова, х,=гз!па н х,=ю Коэффициенты Ламэ: й,=|, й, =г, й,=|.
(Д-3-50) (Д.3-5!) ! )дА, д(.А„)1 го1 А = — ~ — — — ~ е, -)- ~да дг дАг дАх1 — — — ~ е„+ дг дг 1 а (Д-3-52) (Д-3-53) Плг бтр Согласно выражению (Д-3-! За) (Д-3-53а) (Д-3-56) 792— — 793— Согласно формулам (Д-3.46) — (Д-3-49) получаем. дф 1 дф дф йгад ф = — ег + — — «а+ — ег. дг г г да и дг 1 д 1 дАа дЛх д(е А = — — (гА,) + — — а+ —. г дг г дсх дг ! д 7 дфт 1 двф дхр аф= ~г /+ + г дг т дг/ гх дах дгх Рнс. Д-9.
Цилиндрическая система координат. о — «оорлинвтные нсиерхнссти: б — координатные линни, оси н их орты. Аг 2 дЛа '1 ЛА= ЛА,— — — — — )е,+ г' гх да ) '!а 2 дАг + АА — — + — — '~е+ААе а гв гх да,р! тс, г' здесь ЬА„АА„н ЬА,— лапласнаны скалярных величин, определнемые формулой (Д-3-53). Сферическая система координат (рнс. Д-!6). Координатнымн поверхностями являются сферы радиуса г, ноиусы с углом раствора 2 й и полуплоскости, проходящие через ось г под углом а к фиксирован- ной полуплоскости. Координатными лниивми являются: онружности (г=сопв(, а=сонэ(, и г=сопв(, 6-сопв!) и прямые (а=сопв1, 6=сопя().
Направление координатных осей определяется ортах~и е„, е,, еа . В этой системе тг~=г дтй й н да=а. Сферические коордттнать связаны с декартовыми соотношениями: г, = г в!п6 сова, х,= гв(п 6 в)па, г, = гсовд, Рис. Д-1О. Сферическая система координат. о — координатные поверхности; б — координатные линии, оси н их орты Коэффициенты Лаьтэ: 5,=1, йа =г, й,=г в(од. Согласво формулам (Д-3-46) — (Д-3-49) получаем: др ! др ! др йгад ф = — е, + — — ев+ —, — с„; (Д-3-54) дг г дд гюпдда ! д 5!ч А = — — (гх А,) + — (Ав в! п 6) + гх дг ' гв(пд дд дА + гв1п6 да ' ~ д д(в1 го1 А = — — (А„в(п д ) — — ~ е, + г в(п д да 1 д/ дрй 1 д!, дф~ (зф гэ + — — з!п д + гэ дг (, дг) гэз(пддд ~ дб~ 1 дзф + газ!пав даэ (Д-3-57) Согласно формуле (Д-3-18а) э 2 д АА = ААг — Аг —, — (Нп ЮАэ )— гэ гэ з!п 6 дд 2 дАа1 1 Аэ 2 дА, — — в+ ААЬ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
