Кугушев А.М., Голубева Н.С. Основы радиоэлектроники. Линейные электромагнитные процессы (1969) (1092090), страница 97
Текст из файла (страница 97)
°;в ф=18 с(йрх(дах; СЛ((() — / а)к) = 1' зп'(!к — 5!пасгх е ф = !й ЛЛ ()к 18 ах. Все вычисления с иоыплекснымн числами производятся по обыч. ным правилам алгебры. Комплексные числа г х+/у и г*=х — /у называют с оп ря ° ж е н н ы и н. Сумма и произведение двух сопряженных комплексных чисел есть вещественные числа: Рис. Д-15. К символическому методу. Дифференцирование комплексного числа г=ре/а по аргументу соответствует умножению на / или повороту отрезка ОМ на угол и/2 (рис. Д-14), т. е. — = / р е'е= ре'1е+"/ ' .
ог яг г(ф Интегрирование по аргументу соответствует умноженшо на — / нли повороту отрезка ОМ на угол — и/2, т. е. ) гг(ф= — !Ре/"= ре се (Д-5-8) При изучении электромагнитных линейных процессов, изменяю- шихся во времени по гармоническому закону (по закону синуса илн косинуса), описывающие эти процессы уравнения, а следовательно, и их решения значительно упрощаются при использовании с и м в ол н чес к о г о метода. Сущвость его заключается в следующем. Пусть некоторая электрическая всличоиа (напряженность электромагнитного поля, напряжение или ток) изменяется по закону синуса илн косинуса Введем вектор, имеющий длину А,„и врашаюшнйся с угловой ско- ростью м около начала координат 0 (рис. Д-15).
В момент 1=0 этот вектор образует с вещественной осью угол ф, а в момент ! ~0 угол (юг+ф). Проекция вектора на вещественную ось определяет мгновенное значение величины (Д-5-10), а проекция на минную ось — мгновенное значение величины (Д-5-9). Таким образом, процесс, определяемый выражениями (Д-5.10) или (Д-5-9), можно характеризовать комплексной величиной А = л„, [соэ (ы1+ <р) + ! слп (ы г+ ~р)[ = лже'!си+в!, или Л =.4 с!вь, (Д-5-П) Л саэ (ы ! -1- ~р) = [!е Л, а сннусоидальный — ллниллай части А, т.
е. Л ил з ! и ( ы 1 ~ т ) ! и $ Л Дииечиые дифференциальные уравнения, переписанные в символической (комплексной) форме, имеют более простой вид, так как в ьтои случае д = )ец дг (Д-б.уа) а нигегрированпе по времени соответствует деленшо на )ы Ад!= ~ Аже дг= — А. /е1 1 1ы (Д-5.8а) Если комплексная величина удовлетворяет иекоторол~у линей- наму дифференциальному уравнению, та этому уравнению удовлетворяют его вешсстзенная й внимая части.
Решив уравнения в коцплекспой форне и взяв ог полученного результата действительную или ннпмую части, полу шм исковое решение. Множитель е '", характеризующий изменение процесса во времени, часто опускают и тогда уравнения записываются для комплексных амплитуд. Понтону снмвалп ческий метод называют также и етодал| комплексных амплитуд. Вместо комплексной амплитуды часто берут в )' 2 раза неньщую нгличниу — комплексное действующее значение: А, (Д-5-! 2) )г 2 Символический метод пригоден во всех случаях, хогда векторы напряженности поля (или ток н напряжение) связаны линейной зависимостью, однако непосредственно он не применим для вы ~каления энергетических характеристик (энергия, мощность, вектор Г!ойтинга и др.), которые определяются квадратамн и произведевнявп значений полей, токов и напряжений. где Аж=А еч — комплексная амплитуда.
Косинусаидальный закан изыеиения электрического процесса соответствует действительной части величины Л, т, е Величины А=А,„саз(ы!+~рл) н В=В,„сов(ы(+фь) являются вещественными частями комплексных величии: А = Ащ е ( ч) = Ащ ейы! В ! (в!4 вь) В !вг Очевидно, что АВ=ДеА КеВ, но АВ чь Ке (АВ). Однако произведение важно выразить через комплексные величины следуюшим образом: А+ Ав М+ ВФ АВ = Ке А Ке В =— 2 2 (Д-5-13) или представить в таксы виде: 1 ...
1 АВ = — (А В* + А' В) + — (А Й -[- А' в*) = 4 4 — — (А В',„+ Аж В ) + — (Аж в„, е'твг -(- А,*„В е Ввг) Эдесь слагаемое — (Л В, +А В) представляет частлл постоянную во времена, а слагаемое — (А В е' "' + А,„В е ' "~) 1 — часть, изллеияюшуюся по закону косинуса. Среднее за период значение (ЛВ),, определяемое выражением т 1 (ЛВ), = — ЛВ дь, т ) равно постоянной во времени части, так как переиенная часть в сред- нем за период равна нулю. Поэтому (лв), = — (л в' + л' В„). Так как А В + А„, В„, = А В (е) (еа 'гь) -[- е !(вэ вь)) = = 2А,ч Вил соз (<рд — лрь) л то, следовательно, (АВ)„= — Ке(А В ) = — Ке (Аж в ). (Д-5-!4) Функция вида ш=ю(х)=и(х, у)+)о(х, у) называется функ-: цией комплексной переменной, если вещественная где М =.
Уиз+ оз, !р = агс18 —. Рис. Д- ! 5. Плоскость комп. лексной функции. в(2+ Ьг) — в (г) 1пп = в' (г), зг э Ьг С ди и = ) — ду + ф (х], ,) дх где т е (Д-5-16) 810— и мнимая части и и о есть функции независимых вещественных переменных х и у, т. е. и=Ко в и о=!т в. Функцию комплексной переменной можно представить в виде в = (в~е'ч, Плоскость, приведенная на рис. Д-16, называется плоскостью конплексной функция в, так как каждой точке этой плоскости соответствует комплексная ф)нкция в.
Уравнение в=в (г) устанавливает функциональную заниснмость между комплексными переменными з том смысле, что каждой точке на плоскости соответствует точка на плоскости в (отображение плоскости г иа плоскости в). Под производной функции комплексного переменного понимается предел не зависящий от того, кзкнн образом Ьг стремится к нулю. Если пг О по действительной осн (йг=йх), то в (г + йх) — в (г) ди, до в'(г) = 1(ш + 1 —, (Д-5-15) аг о Лх дх дх' а если по мнимой оси (ог=!' бу), то ди до в (г)= — / + ду ау ' (Д-5-15а) ди , до ди до +! = — ! — + —, дх дх ду ду ' ди до до ди дх ау ' ах ду ' Последние два выражения называются уравнениями или условиямн Коши — Римана, Функции, удовлетворяющие этим условиям, называются аналитическими.
Если первое уравнение Коши — Римана продифференцировать по х, а второе — по у н полученные равенства сложить, получим уравнение д'и д'и (Д-5-17) Аналогично, дифференцируя первое уравнение по у, а второе по г, получим: дно о.о Ьо = — + — = О. (Д-5-18) а ау Таким образом, мнимая и действительная части аналитической функции удовлетворяют уравнению Лапласа (Д-3-40) н являются гармоническими функциями. Зная гармоническую функцию и, можно с точностью до постояикой определить гармоническую функцию о нз условий (Д-5-15), т.
е. Рис. Д-17. Отображение двух близлежащих точен. Аналогично, по о можно определить и. Рассмотрим отображение двух близлежащих точек (рис. Д-17) с помощью аналитической функции в(г). Пусть точка гз отображается в точку вз, а точка гз+йг — в точку ва+йв, Если йг мало, то приближенно Ьв в (гз) Аг т.
е. производная в'(г,) показывает, на какой угол следует повернуть н как изменить элемент длины при отображении его с одной плосности на другую (рис. Д-17). При этом аргумент в'(г,) определяет поворот, а модуль в'(гз) — изменение длины. Если точку пересечения двух кривых взять за исходную н рассматривать отображение элементов длины наждой из кривых, то можно увидеть, что оии изменяются н поворачиваются одинаковым образом, определяемым производной в'(г,) (рпс. Д-18). Это верно для всех точен плоскости, в которых в'(г) + О, Таким образом, при отображении малых элементов кривых имеет место полное подобие, т. е.
заданные на одной плоскости пересекающиеся кривые должны пересекаться на другой плоскости под таким же углом, а элементы Прсобрллоккиис Плоскость м Плоскость л +ил гл)с и ггг ю= 1пг а -Гл Ьсктьлт ойатччу ууг ".Р.-т " -.л г м=А ассов д Снлокыс линии Эккиоотсккиольиыс линни — — — —— — 813— 8!2— длины прп переходе к другой плоскости должны увелкчиваться илк уменьшаться в одвом и тои же отиошенпп.
Такое отображение плоскости г иа плоскость ш называется к о н ф орин ы м (подобиым). Коиформяыс отображения используются при отыскание свловых и эквппотенциальных лиссяй электростатического и магнитостатпческого плоских полей. Решение может быть найдено путем использования такого преобразования, которое сводило бы дацпую задачу к более простой, решение для которой известно. Примеры нонформиых отображений приведены в табл. Л-2. Рис. Л-18. Коиформяое отображение.
Д-б, СПЕЦИАЛЪНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ФУНКЦИИ Электромагнитные процессы в средах описываются векторными неоднородными уравнениями в частных производных вида ! сиА ЬА — — — = — )(, ок дН иазываеиымп иеодиородиымп волновыми уравие ° ивямп Даламбера. При решении векторные уравнения необходимо свести к независимым скалярным уравиепиям для проекций векторов на коордииат. ные осп. Однако только в декартовой системе координат скалярное уравнение для каждой проекции будет иметь такой же вид, как й векторное.
В криволииейиой системе коордииат в проекцию лап. ласизиа вектора иа криволииейиую ось будут входить проекции вектора как на данную, так и иа другие оси. Исключение составляет цилиндрическая система, в которой согласно выражеиию (Д-3-53и) для г-компоненты можно иаписать скалярное уравиеиие, совпадающее с векторным и пе содержащее других проекций вектора. В сферической системе координат согласно (Л-3-57а) такое разделение иевозможио ии для одиой компоиеиты. Одиако структура электромагиитиого поля такова, что векторы иапряжеииости электромагиитиого поля можио выразить через вспомогательиые фуикции Р, удовлетворяющие скаляриым волиовым уравнениям вида 1 дсг (Д-6-1) Таблица Д-2 Примеры коиформимх отображеиий В частности, уравнение вида (Д-6-1) описывает электромагнитное поле, создаваемое источником (током или зарядом), характеризуемым величиной х. Решение этого уравнения равно сумме общего решения однородного и частвого решения неоднородного уравнений Если пространство вокруг одного источника, сосредоточенного в малом объеме радиуса гэ, изотропио, то решение уравнения (Д-6-1) следует искать как сферическо-симметричное, т.
е. Р=Е(г). Тогда для всех точек вне источника (Х=-О при гЪга) урависние (Д-6-1) переходит н однородное волновое уравнение 1 йаг ЬР— — — =0 (Д-6-2) из с(та нли с учетом (Д-3-57) дэр 2 дЕ 1 йети — + — — — — — =О, Н»а г г)г иа Фа (Д-6-2а) Решением этого ураввения является выражение (--:) г(г,()= (Д-6-3) в котором функции Д н )г произвольны. Чтобы определить их явный впд, необходимо знать граничные и начальные условия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
