Кугушев А.М., Голубева Н.С. Основы радиоэлектроники. Линейные электромагнитные процессы (1969) (1092090), страница 93
Текст из файла (страница 93)
Абсолютная величина векторного произведения равна: ) [АВ] ] = АВ э(п (АВ) . (Д-З-З) Направление вектора [АВ) определяется из условия образования правой системы с векторами А и В. Векторчое произведение не подчн. няетсч закону коммутативности и при перестановке векторов А н В изменяет знак на обратнь1й, т е [АВ] = — [ВА] Смешанное или векторно-скалярное произведение трех векторов А, В и С является скалярным и численно равно объему параллелепи.
педа, построенного на этих векторах: А1 Аэ Аз (А [ВС)) — В1 Вз Вз с, с с (д-зш) В зависимости от ранга тенэора поле называется скалярным (тензорное поле нулевого ранга), векторным (тензорное поле перво. го ранга) или тензориым г-ранга. 730— Прп перестановке (А [ВС]) = (В [СА)) = — (А [СВ]) = — (С [ВА]) =— = — (В [АС]) .= (С [АВ]) Двойное векторное произведение векторов А, В, С определяется выражением [А [ВС][ = В (АС) С (АВ) = В (АС) — (АВ) С. (Д-3-5) Тензорное поле. Это область пространства, в каждой точке которой задано значение некоторой теизорной велкчины.
Компоненты поля в различных точках пространства различны и в общем случае 7,1 1'=Т! 1. 1 (Х«,Хэ,Хэ). Если компоненты поля зависят не только от координат, но и от времени й то поле называется н е с т а ц и о н а р н ы м; если они от ( не зависят, то поле называется с г а ц и о н а р н ы м. Если можно так выбрать систему координат, что Тг,б ° б= Тг,г,ь..г (х, Хз), где пю — орт внешней нормали. Скорость изменения скаляра в любом другоы направлении 1 равна проекцви градвента на это направление бр — = йгаб 12 1 = йгаб11р.
Ж (Д-3-7) Направление градиента Q, есть направление наиболее быстрого возрастания скаляра ср, а-п, — направление наиболее быстрого убывания 1р. В направлениях касательных к поверхности равного уровня значение 1р вовсе не изменяется, т. е, «(ф/«(т=О. Согласно выраженвю (Д-3-7) проекции градиента на оси декартовой системы координат: 1йр бр г(ф пгаб 1р = — е, + — е, + — ез (хт «(Хз (Хэ Введем оператор' Гамильтона («кайла»)1 с( Ч =,— +е,— + еэ — ° бхт «(хэ Ихэ (Д.з-з) Тогда Фр ягаб 1р = Ч ф, йгад1 1р = Ч1 1р = —, бх ' Оператором называется символическое изображение совокупности математических операций, производимых над функцией. (Д.3-9) 731 то ноле называется плоско па ралл ел ьи ым.
Скалярное поле в область пространства, каждая точка которого харантернзуется некоторым значением скаляра. Так как каждая точ- ка определяется радиусом-вектором г, то задание поля определяется заданием скалярной функции ф(г) =ф(х1). Примером скалярного по- ля является поле температур. Если поле завишп от времени, то 1Р(г, () =- 1Р(хг, (). Рассмотрим точки поля, где ф(х,) имеет одинаковые значения. Эти точки образуют поверхность, которая называется поверхностью равного уровня или эквипотенцнальной поверхностью: ф (х1) = сопэг = с.
Придавая с различные значения, получим семейство поверхностей, распределение которых в пространстве характеризует поле. Вектор, численно равный «(ф(«(а н направленный по нормали н поверхности уровня в сторону возрастания скалпра ср, носит назва- ние градиента скаляра, т.е йгаб ф = — пэ, (ф (Д-3-6) Й~ представляет систему векторных линий, Векторные линии характеризуют направление поля в точках, через которые онн проведены. Однако с помощью этих линий можно характеризовать и модуль вектора, проводя векторные линии гуще там, где абсолютная величина вектора больше. Дифференциальными характеристиками векторного поля являются: 1) дивергенция или расходимость вектора А— сналяриая функция, аргументом которой является векторная функция точки, т. е, гдч А =- ()Г А) (д-3-! !) или с учетом (Д-3.8) в декартовой системе координат »(А» б!»А =9 А = —, »» 2) р о т о р и л и в и х р ь в е к т о р а А — векторная функция„ аргументом которой является векторная функция точки, т, е.
го1 А=[ф А] (Д-3-!2) — 782— где р» — составляющие векторного оператора чг, т.е. ч»= »(х» Выражение (Д-3-9) является дифференш»альной характеристикой скалярного поля. Векторное поле — область пространства, каждая тачка которого характеризуется некоторым значеянем вектора. Так как каждая точка определяется радиусом-вектором г, то задание поля апре) А!ВI ым деляется заданием векторной функции А(г) =А(х»). Если поле зависит от времени, то А(г, Г) =А(хо Г).
Примерами векторных полей являются магнитное, электрическое и гравитационное. Поле градиента скалярного поля также является векторным. Векторное поле графиче- ски можно характеризовать Р»»с. Д-4. Граф»»ческое представ- векториымн нлн силовыми ли. ление векторного поля. ниямн Векторной илн силовой линией называется кривая, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением векторнога поля (рнс. Д-4). Каждая точка кривой определяется раднус-вектором г. Касательная к кривой определяется нектаром »(г.
По определению векторной линни векторы »Гг к А должны быть параллельны, т.е. проек. цни этих векторов пропорциональны. Следовательно, система Нх1»(хз Зхз А» Аз Аз нлн с учетом выражения (Д-3-2) [е» го( А = [ф А) = »(х» А, ез ез (Д-3.13) »!хз»!хз Аа Аз (Д-3-14) (Д-3-!9) (Д-3-29) (Д-3-2!) йгаб (»рф) = тг (»р»р) = »р йгай ф+ фйгадф; д;ч (»РА) = ()7 (»РАЦ = »Р гДч А + А йгаб»В го1 (»рА) = [7 (»рАЦ = ф го1 А + [йгаб»р А]. Производные произведения двух векторов.
бган (АВ) = В (АВ) = (А(Г) В+ (В)Г) А + + [Ага!В] + [В го! А); сЦч [АВ] = (и [АВЦ = В го1 А — А го1 В; го( [АВ) = [д [АВЦ = (Вф) А — (А]7) В + А гдч  — В ага А; д д [го1 А Х А]; = — Ты — А; — Аа. дха ' ' дх» — 783 (Д-3-22) (Д 3-23) (Д-3-24) (Д-3-24а) В тензориай форме согласно (Д-3-2а) »ГА» го1»А = е»а»»раА» = а»а» — . »!ха Производные второго порядка; й»йгабф =(ЧГ ЧГф) =)7'ф= Аф, где А= 9» — оператор Лапласа (лапласиан).
В декартовой системе координат »Г»»Р»(з (Д-3-!5) А=»уз= — +, + — ° »гх»з»(хт»( зз го1 бган»р = [)Г )Гф] = О (Д-3-16) согласно выражению (Д-З-З) вследствие параллельности векторов ]г и 9»р. б!ч го1 А = (у])гАЦ = О (Д-3-17) согласно выражению (Д-3-!) вследствие перпендикулярности векто- ров»7 и [»7А].
го1 гог А = [у [4»АЦ = ягаб гВч А — ЬА, (ДЗ-!8) так как согласно (Д-3-5) и с учетом выражений (Д-3-9), (Д-З-П), (Д.3.15) ['р [11 АЦ = В ((ГА) — ((Гр) А = Зги гдч А — ЬА, Из формулы (Д-3-18] следует: А А = Втаб д!ч А — го1 го1 А. (Д-3-!8,) Производные произведения скалвра иа скаляр илн иа вектор. В этом случае дифференциальный оператор (» следует применить к каждому сомножителю отдельно, считая другой при этом посто- янным: Здесь !) Аз — Аз Аг А, Ах Аз Аз А' Аз Аз з (Д.3-246) (Д-3-25а) 1 Аз Аз 3 2 Аз Аг Аз Аз вернутом виде (Д-3-24в) ) вектора А, то согласно М=) АИБ=~Азд5, '(Д-3-246) (Д-3-26) ! — А' 2 1 — А' 2 1 0 — А" 2 йг = ~ Д г( 6 = ~ 4л 35 (Д-3-27) (Д-3.25) А сй = ) го! А с( 6 — 785 (Д-3-23) — тензор второго ранга, называемый т е н з о р о и н а т я ж е н и й вектор ного поля. Выражение (Д-3-24а) получено на основе формул (Д-3-2а) и (Д-3-13а) с учетом (Д.2-21) и (Д-2-24).
В раз- (сдуз11д (го! АХ А), = ~ — ~А! — — Аз) + — (Ат Аз) + (дх, ~ ! 2 ) дхз д + — (А, Аз)~ — Ат гВ ч А; дхз (го! Д ХА)з = ~ — (Аз Ат) + — ~Аз — — Аз) + (дхт дхз ~ 2 д + — (Аз Аз)) Ае д!ч А; дхз г д 'д [го! А ХА)з ~ — (Аз Аз) + (Аз Ат) + ~дх, дхз .1- — ~А — — Аз)~ — Аз д)ч А. Если ось хг совпадает с направлением т. е, тензор натяжений приводится к диагональному виду. К аналогичному виду тензор (Д-3-246) приводится при совпадении направления А с хз или хз. Криволинейным интегралом векторной функц и и д(г) называется интеграл от скалярного произведения вида тле Š— кривая, являющаяся путем интегрирования; сй — направленный элемент крйвой.
Выражение (Д-3-25) является скаляром и представдяет работу векторного поля А вдоль кривой Е. Если контур Е (рнс. Д-5), расположенный иа плоскости Р, замкнутый, то интеграл, взятый по ззмкнутоыу контуру Ь, называется циркуляцией вектора, которая записывается в виде; Рнс. Д-5. К определению цир- Рис. Д-6. К определению потока куляции вектора. вектора через поверхность 5. Еслл одно из направлений нормали пз к плоскости Р принять за почожнтельное, то зз положительное направление обхода контура Е принимается правое вращение по отношению к этому направ.
ленпю нормали. П о током )т' вектора А через поверхность 5 (рнс. Д-6) называется поверхностный интеграл от скалярного произведения где 5 — поверхность интегрирования; 65 — направленный элемент поверхности, направление которого совпадает с направлением внсш. ней нормали к поверхности, а величина равна численному значению плошади с(5, т е. 63=пзд5. Поток вектора, как видно из (Д-3-26), представляет собой скалярную величину и характеризуется числом векторных линий, пронизывающих поверхность. Если поверхность замннута, то Теорема Стокса циркуляция вектора д по замкнутому контуру равна потоку го! А через поверхность, опирающуюся на этот контур, т.
е. А Н ! = ) го1„А г(5, (Д-3-28а) где го1 А — проекция го1 А на направление нормали п к пов ности 5. а верх- Если поверхность Л5 столь мала, что во всех точках ее го1„А можно с имать постоянной величиной, то ~ А г(1 — го1л А Л5. Эта формула справедлива в предельном случае бесконечна малой поверхности Л5, т, е. ~ Апз го(л А = Вгп аз о Л5 Проекция го1„А будет наибольшей, котла и совпадает по напр Очевилно, направление вектора го1 А совпадает с па- равлеправлением нормали к плоскости, в которой циркуляция вектора А наибольшая. л(одуль ротора вектора А в двиной точке поля равен пределу отношения циркуляции вектора А по границе площадки, проходящей через эту точку и совпадающей с плоскостью, где циркуляточк .
Вел ция максимальна, к величине площадки, когда она стягивается эту у. Величина го1 А характеризует вращательную способность Теорема Остроградского — Гаусса. Поток вектора А через замкнутую поверхность 5 равен интегралу от б)ч А, взятому по объем У, огрзниченному этой поверхностью, т. е у (Д-3-29) 1 А г( Б = ) бгч А а(У (Д-3-30) илн ~ Алг(5= ) Йч Аг(У, 5 ч ности 5 где А„ — проекция вектора А иа направление нормали п к поверх- а Если поверхность 5 столь мала, что во всех лежащих внут и нее точках сЗч А можно считать постоянной, то Ал 35 бгч А ЛУ. поверхности, т е. Эта формула справедлива в предельном случае бесконечн и . о налог — 78б— ~Ал 35 б!чА= !!ш —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
