Кугушев А.М., Голубева Н.С. Основы радиоэлектроники. Линейные электромагнитные процессы (1969) (1092090), страница 101
Текст из файла (страница 101)
4 . Д.З4. Экспоненциальный адсначиыи ицп)льс (а), ега спектральная плотность и распределение фазы (б). Спектральная плотность акспоненциальяо~о (рис. Д-34, а)„ описываемого уравнениями: У(г) = Е е аг при г > О, У (г) = 0 при с ( О, согласно (Д-7-13) определяется выражеииеы ьь ь ()ы) = " Ем е ™ е им бг = — м с!. 1 Графики )3()ы)! и ф[ге) приведены на рис Д34 б Если функцич )(1) не обладает свойством абсолютной интегрнруемасти, ее нельзя представить в виде интеграла Фурье. Чтобы обойти зто затруднение, умножим !(1) на е ~~, выбрав величину ае>0 такой, чтобы произведение е ~~)(1) удовлетворяло условию абсолютной иитегрируемостн.
Тогда преобразования Фурье (Д-У-13) принимают вид: Переход от переменной ез к переменной р означает изменение пути интегрирования. В первач случае интегрирование ведется по вещественной оси ы, во втором — по примой, лежащей в плоскости комплексного переменного р пе+)ы н расположенной параллельно мнимой оси /ез при ое=сопз1 (рис. Д-35). Соотношения (Д-7-20) и (Д-7-19), преобразующее функцию 7(г) вещественного переменного г а функцию Е(р) комплексного о ((ы) = ль 5ь (!ы). А — ! (Д "7-22) Отсюда следует, что спектр суммы функций равен сумме спектров слагаемых. При нахождения спектра сложной функции целесообразно разложить ее на сумму простых функций, найти их спектры и сложить.
Умножение оригинала иа постоянный множитель а соответствует умножению на тот же множитель иэображения: лг(!) -в- а5(р) т. е. прн изменении амплитуды сигнала во столько же раз измеияетсн спектральная плотность. переменного р н обратно, называются соответственно прямым и обратным преобразованиями Лалла са. Функция 5(р) называетси преобразованной по Лапласу функцией ((!) или изображен и ем ф ун кн ни !(!), Функция )(!) называется ори!нин а л о и. Если функция 7(!) является абсолютно интегрируемой (п»=0), то преобразования Лапласа переходят в преобразования Фурье (Д-7-13) . Каждой функция пространства оригиналов соответствует апре.
деленная функция в пространстве изображений. Переход ат ориги- нала к изображению осу,7 пг ществляется с помощью табляц соответствия (табл. Д-5). Обычно иэображения представляют собой более простые функции, чем оригиналы. Символически этот переход записывается выражением ! (!) —: 5(р) Каждой операции иад б; функциями в пространстве оригиналов соответствует Рис.
Д-35. Путь интегрировании определенная операция в в плоскости комплексного пере- пространстве изображений. мениого р. На практике наиболее часто используют следующие операции. Сложение Если функция Ц!) равна сумме нескольких функций л )(!)- ~ (.(!), ь ! то изображение функции Ц!) равно сумме изображений слагаемых: 5 (р) = Е 5ь (р) (Д-7-21) в=! Если функции !в(!) являются абсолютно интегрируемыми (п»=0), то ! (а!) —: — 5 ( — ).
',Д-7-24) В случае абсолютной интегрируемости функции ( — ) 1 7!ы '! 1(аг)е 'н !(! = — 5~ — ~. а !,а! о (Д-7-25) Иэ етого выражения следует, что при «сжатии» импульсов (а> ) спектр сигнала расширяется, а при их «растягивании» (а<Ц, т. е. при замедлении передачи сигналов, спектр сжимается. а) Рис, Д-36. К определению эапаздывающей функции. а — фупвцвя !(О.
б — ввпввлмввюмвя фувпцпя, Смешение (запаздывание). Запаздываюшей функцией называет. ся функция ((! — т), определяемая условием ! (! — т) ы. О при ! > г, 7(! — т) = 0 при ! «.т, где т — время запаздывания. График функции ((! †) (рис. Д-36,6) можно получить из графика фуйкцни Ц!) (рис. Д-Зб,о), смешан его вправо иа величину т. Изображение функции.
запаздывающей на время т, определяется произведением изображения втой функции без учета запаздывания на величину е лт, т. е. (Д-7-26) !(! — т) —: е лт5(р), где ЦО ' 5(р). Очевидно также, что (Д-7-26а) ((!+т) —: в'5(р), — 845— Умножение аргумента оригниала на постоянную величину о>0 приводит к делению аргумента изображения и самого иэобра. жеиия на зту величину, т. е. тле )(1)-7(р), ф(ф-ф(р) (Д-7-27) Отиода ф(р) = 7 (р) (Д-7-28) или !(1) 81- —, 5 (р) Р (Д-7.30) 1 81 ~ 81... ~)(1) Д1-. — „5(,). о о с (Д-7-3() ф (1) = )' 7 (1) а, то Нф )Д) =; ф(О) =О, г(1 — 846— где ) (1+т) — опережаюшая функция. В случае абсалютиа иитегрируемай функции ()(1 —.).-1"' 0-.-1 5() ).
й (1(1+ ) ' 31=в' 5()ю), б где 5(1рп) = ~/(1) е 1~'лг з Отсюда следует, что запаздываиие сигиала во зремеии приводит к изменению спектра фаз при иеизмеииом спеитре амплитуд. Дифференцирование оригинала. Изображение первой произ. водной функции 1(1) определяется выражеиием 7 (ф-ьр5(р) — )(О), где 5 (р) — -- ! 7 (1) е ж г(1.
з В этом случае изобрэжеиие первой производной определяется вы- ра жеиием (1) Š— г~ г(Г й Интегрируя его по частим, получаем: (7'(1) е г'г(1=(ффе г'(о +Р(7(1)е ггг(т=р5(р) 7(0), о что совпадает с выражением (Д-7-28). Обобшзя палучеииый результат иа производные высших поряд. ьсг, получаем: 1" (О ч рч 5 (р) — р"-' 7(О) — р"-' 7' (О) ... (ч-' (О), (Д.7.29) где 1'(О)...
7" (О) — производные соответсгвуюших порядков при 1-0. В частном случае при нулевых начальных условиях )'"' (В р" 5(л) (Д-7-29а) т. е. операции дифференцироваиия оригинала соответствует в пространстве изображеиий умножеиие изображеиия иа степеиь комплексного перемеииого р. Интегрирование оригинала от нуля да 1 соответствует в пространстве изображений делению изображеиня иа р. Действительно, если Воспользовавшись формулой (Д-7-29а), получим: ((р) = р ф (р) ° Рис. Д-37. Едииичизя функция (о)~ ее сяектральиая плотность и распределении фазы (6).
где ((1) —: 5(р) . Изображение и-крапюго интеграла имеет вид: Рассмотрим спектры некоторых наиболее распростраиеиими функций (сигиалов). 1 1 -аьф- ~) л Отсюда а ( Рт -Р-у! 5(р) = — ~е — е Р (Д-7-33) 5!П( ) (Д-7-33а) 15 (/ ы) 1 = а т б) При в=О егт з1ив 2 Иш — =! „о ыт 2 При о; О получим: 1 ! -lз и 5(/ ы) = —,= — е /ы ы и, следовательно, т. е. ! Я 15(/ы)1= —; !р(ы) = —. в 2 (Д-7-32а) 849 Спектр единичной функции, определяемой условием о(!) =1 при /~О, о(/) О при /(О и иеявляюшейся абсолютно интегрируемой, можно исследовать с помощью преобразования Лапласа (Д-7-26) ! е!х( ! 5(Р)-1 "б/=- — ~ = —. (Д.732) р (о р Ряс.
Д-38. Представление одиночного прямоугольного импульса (а) и его спектральная плотность (б). Графики единичной функции и ее спектров приведены на рис. Д-37. Из этого рисунка видно, что при нулевой частоте кривая спектраль- ной плотности уходит в бесконечность. Следовательно, величина 15(/ы)1 Йо имеет конечное значение, т. е. в составе сплошного спектра имеетси дискретная составляющая. Спектр прямоугольного одиночного импульса найдем, воспольаовавшись приипипом суперпозяции, Представим прямоугольный импульс с амплитудой а длительностью т с помощью разности двух единичных функций, включаемых в моменты Г -г/2 и Г=т/2 (рис Д-38) /(г) = а [и (г -1- — ) а (/ — )1, Пусть аа (/+ — .
5!(Р), аа(! — т/2) 5з(р), На основании вы. 2) ражеиия (Д-7-2!) спектр импульса 5(Р) = 5! (Р)-5з(Р). Согласно выражениям (Д-7-32), (Д-7-26), (Д-7-26,а) и (Д-7-23) Р т ае ае 5,(р) = — и 5з(р) = Р Р ПРи ач О спектРальнаЯ плотность 2а, ыт 5(/ы) = — з!п —; 03 2 15 (О) 1 = а т. (Д-7-34) Итак, спектральная плотность одииочиого прямоугольного импульса на нулевой частоте равна его площади, а огибающая спектральной плотности (рис.
Д-38, б) совпадает с огибающей амплитудного спектра последовательности прямоугольных импульсов той же длительности (рис. Д-29, б). Изображении наиболее часто встречаюшихси функций приведены в табл. Д-б. Изебрзженее Оригяезз Изебрзжееее а(!) а(! — т) 1/Р е-р /р !ь/рг 1 ыь ы/рз 1 ыг 1/рг соз ы/ зьп ы! 1/р+сз е — ет / (!) е Р ь(Г = 5 (р) . и н,(о) чрх н,(р » Н,(О) С ! (Д-7.35) 54е Таблица Д5 Таблица соответствия Функций Нахождение оригинала по изображению сводится к нахшкдению решения интегрального уравнения При этом функция 5(р) известна, а искомой является подынтеграль- ная функция /(!).
Однако если 5(р) = —, Н (р) (Д-7-35) рн,(р) ' где Н,(р) и Н,(р) — полнномы, причем степень Н,(р) меньше степени Нг(р), то можно показать, что здесь рь — карин уравнения Нг(р) О, и — число этих корней, Нх (р,) — производная ь(Нз/ь!р при р рь. Выражение (Д-7-36) называется формулой Хе ни сайда. Она прильеняется толька в случаях, когда Н,(р) ие имеет кратных корней. Дй.
СПЕКТРЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ Электрический сигнал является величиной (ток, напра!кение, напаяжеиность поля), изменяющейся ва времени в соответствии с передаваемой информацией. Простейшим видом электрического сигнала является нерегулярная последовательность прямоугольных импульсов. Они имеют постоянную длительность в случае передачи информации, закоднроваанай в двоичной системе исчисления, или неодинаковую длительность, когда передача инфарыапии производится азбукой Морзе. Электрический сигнал может представлять и регулярную (периодическую) последовательность пльпт.гьсав (рпс. Д-39, а), адин пз параметров которых (амплитуда, длительность, фаза или частота повторения) изменяется в соответствии с передаваемой информацией.
Изменение параметра называется модуляцией; сягнал, содержалци з й акадираванную янфармацию, под действием которого изменяются параметры ныпульсов, называется у п р а в л я ю м о л у л н р у ю ш н м. В соответствяи с модулируемым параметром периодической последовательности импульсов модуляция называется амплитудно-ими льсной (АИМ), фазонмпульсной (ФИМ), частотно-импульсной (4ИМ), модуляцией длительности импульсов (ДИМ), Рис. Д-39. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов с неизменной во времени амплитудой (а) и амплитудно-модулированных (б), Спектр модулированных импульсов при АИМ. Последователь. ность прямоугольных импульсов, модулированных по амплитуде косинусоидальным управляющим сигналом, показана на рис Д-39, б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
