Кугушев А.М., Голубева Н.С. Основы радиоэлектроники. Линейные электромагнитные процессы (1969) (1092090), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Й > 2 "~7 — или С 1 Я< —. 2 (9-2-16) -97 йт = — а+ива' йв = — а — нво, (9-2-17) где вГ Нвв ~/ 40 (9-2-17аз (9-2-18) — 705— 45 — 552 — 704— д1 и можно переписать в виде су ыс Р свис лс Есв -!- — — + ни Е си ЕС ЕС Рнс. 9-!1. Заряд конденсатора постоянным напряжением через со- противление н нндуятнвность. Сплошными линиями показано изменение тока в цепи, а цунятнрны- мн — изменение напряжения иа иоиденсаторе. Изменения тока в цепи и напряжения на конденсаторе во время переходного процесса можно согласно формулам (9-1-9) и (9-1-10) выразить такс 2 = авыв ссв = гсв1 1 ис ис +исс о+все ' Здесь величина ис„,в представляет частное решение уравнения (9-2-13), а ис„— общее решение однородного уравнения сипс Р ""с "с †и †, + — „ + = О, (9-2-13а) Здесь йз и йа — корни характеристического уравнения й'+ 2ай+ в2 = О, (9-2-14а) Очевидно, возможны три случая.
1. Апериодический процесс имеет место, 2 если ая>во, В этом случае оба корня уравнения (9-2-14а) веществен- ны, но различны: Следовательно, решение уравнения (9-2-14) можно переписать в следующем виде: 1-о+ .12, (7 <- -с „12 Так как в момент времени 7=0 напряжение на конденсаторе и проходящий через индуктивность ток равны нулю, =а,с с со са ~ =О ~с о Прн Я (— 1 в или / 7. 0=2 у — или У с где (9-2-20) с)17 =- —; 1 2О й у=-х; у=!и (х+ ) а ха+1), (9-2-176) саа )аа=йа= с". =- с ма. 2О получим; ис = Уа + и Сса оо аь (хаааа + т) а)а т ,! = с)о ~/ — — 'е оо - / ~ ьй(~<а,~> 7.
агат (9-2-19) Оса Ф При хсаа1= у = О. с=о (9-2-19а) ис=()а 1 — е т а — ао' о — 707— 45а то постоЯнные ннтегРиРованиЯ У, и Уз опРеделЯ1отсЯ нз уравнений ()о+исс !1=о (7,+(7,= (7,. (7~ ( — ос+исаа)+У, ( — и — хоа,) Решая эти уравнения, находим: и=(7(" о 2хааа (7 (7 ( и+ хааа) а= а 2хааа после Если подставить эти значения в формулу (9-2-!8), , то еле соответствующих преобразований, при которых учитывают, что сйхгоа1+ — йхы1=- — й(х 1+ ) 1 1 2Ях х 1' = (макс = ()о ~7а' — е 1' а — Щ' 7. а Время переходного процесса [см.
формулу (1-6-22)! най- дем из решения уравнения гоа(д (9-2-196) Следует отметить, что в момент включения (1=0) =0; с=о сн Ф,с=о 2. Кр ити ческий с луч ай, если а'=ооо, т. е. Прн этом оба корня уравнения (9-2-14а) вещественны и одинаковы: В этом случае решением уравнения (9-2-13а) является выражение и „= (А+В!) е — "', (9-2-21) в котором постоянные А и В определяют из уравнений и „),,= — В„ Решая этн уравнения, получаем: А = — (7а, В = гоаА. (9-2-26) (9-2-22) здесь При во!=1 ып~р= — '= 41 1 —— во 1 созор = —; 2Я 1 ср=з)п ' 2, 1 — —. 4Яс .
Г~, 1макс ('о ~ур С е и =У,(1 — — ~. (9-2-22а) (9-2-22б) т. е. )с < 2 ~7 — или Г 7. С Я> —. 1 2 1 1 (9.2-26а) о+се вор!о р ис =- Уо ! — ( — 1)" Я (9-2-23) здесь (9-2-25) (9-2-25а) х=)— вс вр м "с .м* = ('о ! + е — 708— — 709— Подставляя полученные значения в правую часть выра- жения (9-2-21), находим: ив — — (У вЂ” и „=Ц !1 — (!+во!) е м~); с1мс 1=с,„=С вЂ” с = у $/ — в !е- 'р. =со= „,' = о'$/ — ', о Аналогично предыдущему находим, что вегу=3,9. 3. Колеба тельный процесс возникает в цепи, если а'<во* 2 В этом случае оба корня уравнения (9-2-14а) комплексные н различные: й, =- — а +!вс; (9-2.24) — собственная частота контура, причем 1вс хво Заменяя в формулах (9-2-19) хво на !во и х на 1 — ', во находим выражения, описывающие изменения напряжения и, и тока 1' при колебательном процессе и=По 1 — ' е вп (в,у+ Ч1 с Б1пф 1 м„р С о!п вру 1=с7о ~7 — ' е о1п ~р Если орс(=рр+пп, т.
е. когда во!= — ', где п = О, 1, 2, 3 со+ дя о1п ср оМ-мм /с 1= 1'м,„, =( — 1)" (у,р ф7— Аналогично предыдущему находим, что в этом случае время переходного процесса определяется выражением во 1у = 2Я ~2,3 — !и ып гр]. (9-2-26б) Если добротность 1;1) 2, то во 1у = 4,61ч'. Напряжение на конденсаторе достигает максимума при значениях во!, определяемых из уравнения — ! е з! п (з)п ф во ! + рр) ~ = О, л, т. е. при во(=пп(з1про, где и=1, 2, 3... Подставляя в первую формулу (9-2-26) первое значение во1=хррып ср, получаем: Следовательно, при колебательном процессе в цепи ьС)с на конденсаторе возникают перенапряжения — напряжения, превышающие э.
д. с. источника. Ток заряда конденсатора проходит через значение 1=О при отсд=л, 2л, Зл..., т. е. в те же моменты времени, в которые напряжение на конденсаторе достигает максимальных значений. Если в момент времени, определяе- л Я ас г ~1 и пр Рнс. 9-!2. Заряд конденсатора Рнс, 9-13. Разряд нонденсатора на через вентиль.
цепь И.. мый условием со,(=л, источник э. д. с, отключается, например, с помощью вентиля (рис. 9-12), то переходный процесс в цепи заканчивается за время 1=л/то„а энергия, поступившая от источника э. д.с., остается в конденсаторе. Величина этой энергии 2 нс макс 11 а )О?расс 2 т. е. больше энергии, рассеиваемой при заряде; последняя с учетом значения тока 1 из второй формулы (9-2-26) равна: цзс ( кт мс о Если добротность цепи 1;! > 1О, го г/о~ с (р расс Следовательно, относительная величина потерь энергии, рассеиваемой при колебательном процессе заряда конденсатора через вентиль, может быть весьма малой. Действительно, при О) 1О 2м 'й'„„, 1 — е Р ~ л Энергия, рассеянная за все теоретическое время заряда (1- ) без вентиля, разумеется, равна ио С12; это следует из формулы (1-6-21а).
Действительно, используя вторую формулу (9-2-26), находим, что с?72 Кр Р )Р т(1 о Если тт -к 0 (1~ оо ), то выражения (9-2-26) принимают вид; по = ио(! — созотои) (9-2-26в) . Гс = и, 1, — з!пот,1; 'р' следовательно, в этом случае максимальные значения напряжения на конденсаторе достигают значения 2ио и в цепи сразу после включения устанавливается моно. хроматическое колебание без переходного процесса. При этом в течение одного полупериода колебания энергия от источника переходит в цепь, а в течение следующе- го полупериода полностью возвращается источнику.
Разряд конденсатора на цепь Е)с (рис. 9-13) описыва- ется решением уравнений (9-2-!За) с учетом соответст- вующих начальных условий. Так как в этом случае в мо- мент вРемени Т=О напРЯжение ис=ио, то в отличие от процесса заряда знаки перед постоянными интегрирова- ния и1 и из меняются на обратные; при этом — а — нтоо и,= — и, 2нет, — сс + нето 2=+ Π— 710— — ?1!в (9-2-27) ис Е'о ( ! + о'о !) е — Е) 17 — го !е ./ с о~/ о (9-2-28) ! г (9-2-29) Е) во агп (о»с г+'Р) .
"с мин вг 5)п ф пс = ис ввс 1=1,=с —, ев — = гхТ = — . (9-2-30а) 20 б=!п 2Π— — '~2 Ь72 Вследствие этого ток в цепи и напряжение на конденсаторе при разряде определяются следующигни выражениями. !) при апериодическом процессе П (7 Е '2О 5)2 (но»«т+ т) 1 "с ос 5 12 (7 'в С 2О вь но»«т $' 5ЬУ 2) в критическом случае 3) при колебательном процессе Последние выражения представляют затухающие элек- трические колебания, частота которых при ЯЭ ! прак- тически равна ! те«вхо = —.
УЕС Соответствующая этой частоте длина волны в вакууме определяется формулой Томсона )ь = 2п. 3 105 У1 С (ле(. (9-2-30) Затухающие колебания характсрпзуются также декрементом затухания Ь, который равен натуральному логарифму отношения амплитуд, разделенных одним периодом, т, е.
Прн больших значениях Я амплитуда затухающих колебаний медленно убывает, уменьшаясь в е раз за время 1=2Я/тоо. В течение этого времени число периодов собственных колебаний равно ЦТ=Щп. При сравнительно высоких частотах резонатор в виде контура с сосредоточенными постоянными СЕ)т с большой добротностью, так же как и полый (объемный) резонатор (см.
$ З-б), ис- Рис. 944. схема «искрового» раиноперелат«ика (а) и процесс в его колебательном контуре (6). пользуют в качестве эталона частоты («электромагнитный камертон», «эхо-бокс»). В контуре с малыми значениями Е и С при разряде конденсатора возникают высокочастотные колебания. Устройство, состоящее из такого контура, разрядника и источника первичной энергии (рис. 9-14), использовалось на первом этапе развития радиопередающей техники как генератор высокочастотных колебаний. Переходный процесс при выключении постоянного тока 75 в цепи )тСЕ (рис. 9-15), т.
е. «разряд» дросселя на емкость через сопротивление, также описывается решением уравнения (9-2-13а) при соответствующем выборе начальных условий. В этом случае иовы»с=О, !вмк= =0 и, следовательно, откуда А=О В=15»1С. Вследствие этого и=1 !à — в!е . Гс с а !»» С о (9-2-32) 1= С вЂ” „с = 1, '11 — в,ге ""~1. 2О 51л вс1 с о)/ С Мп 1Р (9-2-33) оь» 1 2О е — Мп (ве! — е) Мп »Р или »»„1 / 7, 2О окно» 1 ис=1, ~1 — е с 5!1 т , 5Ь (хво 1 — т) 1о 5'и т (9-2-31) Для критического имеем: в котором э,1 ! (А+В!) е о )1=о =0; С вЂ” (А+В!) е '~ = 1„ ш )1=О *-а )l »»о ( — „" — — ".') .
— 715— — 714— При 1=0 напряжение на конденсаторе ис†- О, а ток 1=1,. Поэтому при апериодическом процессе из выражения (9-2-8) имеем: У,+У,=О; Уь ( — со + хв,) + Уа ( — со — хва) = — о 75 С Рнс. сн15 оРазрнн» ннптнтнонсстн на цепь С!с. у ~о 2хо)о С 7» У,=— 2хво С Подставляя эти значения в формулу (9-2-!4) и учитывая соотношения (9-2-17б), получаем: случая из выражения (9-2-2!) Прн периодическом процессе из формул (9-2-31) путем замены нв, на )в, получаем: На рис. 9-11, 9-!3 и 9-!5 даны кривые тока и напряжения при заряде и разряде конденсатора, а также при переходном процессе выключения постоянного тока. Кривые на рис.
9-11 построены по формулам (9-2-19), (9-2-22) и (9-2-26) для всех трех случаев; 1 1 ! Я< —, Я= — и Я> —; 2 2 2 ' ./ь при этом предполагается, что ! — ' =1, У,=1 и 1о — — 1. с Включение синусоидального напряжения в цепь СИ. В этом случае дифференциальное уравнение, описывающее электромагнитный процесс, имеет следующий вид: '"нС )! Ннп нп гг — + — — + — = — 51п (вг+ф). (9-2-34) иго Е о!! ЛС ЕС Решением этого уравнения (с учетом соотношений (9-1-10) и (9-2-14)) является выражение и = — вп(вг+ф — 1р)+У,е '+У,е'*, (9-2-35) авС ф = агой( —" — — "'); ~ао ау' 1 ао =:О где ас = ао 1/ 7 Ос«о Постоянные интегрирования Уь Уг находим из решения уравнений ис = (г(о,„о+ У, е( "+("с)'+ С(оо с(( ( си +С вЂ” '1 ((7 ( +("'), ( '")'„' (9-2-36) определяемых начальными условиями СО У, = — — ~ — 5!П(ф — ОР) + 2 гаС~ а Г а + 1 — соз(ф — ср) — — 5!и (ф — ф)Я; ((ОС (/г = — —" ~ — яп (с) — ср)— 2 гаС~ .аГ а — ( — СО5 (ОР— ф) — — 51П (ф — ф)]~.
ас а Подставляя эти значения в (9-2-35), получаем выражение, описывающее изменение напряжения на конденса- — 7!б— Рассматривая только колебательный процесс [см. формулу (9-2-23)) как имеющий наибольшее практическое значение, корни й, О характеристического уравнения (9-2-!4а) выберем согласно выражениям (9-2-24) и (9-2-25): й, = — а+(ас, торе при вкл(очении синусоидального напряжения в цепь СГ.)г с г. „с( ис = ~ яп (а( + ф — ф) + е ~яп (ф — ср) соз а, (— гаС вЂ” — ! соз (ф — ф) — — 5|п (ф — ф)] яп а, (ф (9-2-37) СО При включении напряжения в момент, соответствующий ф=ф У„, (. — си СО ис = — ~~5!п а( — е — Яп а.
(~. иОС ! ас При этом ток и напряжение на индуктивности (9-2-37 а) (=С вЂ”; ""с О( (9-2-38) и =Ь вЂ” = О.С вЂ”. сн н "с ш ш' Из этих выражений следует, что ток и напряжение в цепи СЮ при включении ее на синусоидальное напряжение состоят из суммы вынужденных колебаний с частотой а и собственных колебаний с частотой а,. Когда а, + а, то возникают биения — амплитуда суммарного колебания периодически изменяется с частотой ь)= !а— — а,). Так как собственные колебания затухают, то при ( > („, определяемом формулой (9-2-266), биения прекращаютсяя. При «малой» расстройке контура ((а,— а (((а) и если при этом Я>5, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
