Кугушев А.М., Голубева Н.С. Основы радиоэлектроники. Линейные электромагнитные процессы (1969) (1092090), страница 84
Текст из файла (страница 84)
На основании выражений (Д-7-21), (Д-7-23), (Д 7-28) и (Д-7-30) для контура — 694— является оригиналом изображения К(р) 'р. Операторный метод решения дифференциальных и интегродифференциальных уравнений основан на преобразованиях Лапласа и их свойствах. Сущность этого метода состоит в том, что исходные уравнения заменяются соответствующими уравнениями изображений. Решение последних представляет изображение искомого решения, которое яаходится с помощью обратного преобразования Лапласа. Применим операторный метод к расчету переходного процесса в последовательном 'контуре. Электромагнитный процесс в этом контуре описывается уравнением (6-2-9): с нулевыми начальными условиями (7,(0) =О, !(О) =0 получим: Е(Р) = 7(Р)~((+ Р! + —,,) или Г(Р) = ~(Р) = (Р), (9-1-26) (1+ РЕ+— 1 е(Р) РС где г(Р) = г+ Р7-+ (9-1-27) РС вЂ” операторное сопротивление.
Оно может быть получено из выражения для комплексного сопротивления контура ! 2=)с+!ы!.+ — заменой в нем величины !сэ на р. Ве! оС личины Р!. и 1/РС называются соответственно опер а- торным индуктивным и операторным емкостны м сопрот и ален ия ми. Величина, обратная 2(Р), У(Р) =— х(Р) называется операторной проводимостью. Оригинал изображения (см. формулы (9-1-26)1 можно найти с помощью формулы Хевисайда (Д-7-36), Вредставив функцию У(р) на основании формулы (Д-7-36) в виде дроби, т.
е. 7(Р) = — "'"' РИа(Р) 9ск ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ПРОСТЫХ ЦЕПЯХ При исследовании переходных процессов в простых цепях наиболее пригоден метод непосредственного решения дифференциальных уравнений. Цепь из последовательно соединенных сопротивления и иидуктивности. При подключении такой цепи к источнику э. д.с.
е(!) возникает электромагнитный процесс, описываемый уравнением !)7+ !. — = е(!). ег — 595— и имеет вид: илн г„ = Ае", 19-2-2) у ) гти с ггз где й= — Р/Ь вЂ” корень характеристического уравнения й+ — = О. Е (9-2-4) я Ыв и =Š— = — 'е и л гр ца Рис. 9 7. Ток в цепи йЕ при коротком замыкании. ггв — 696— Решение этого уравнения [см. формулу (9-1 9)); = Гсв+Гвыи~ здесь гсв является решением однородного уравнения — + — г=0 (9-2-1) ш Рцс. 9-6. Переходный процесс прн включении постоянного напряжения в цепь, состояцсую из индуктивности и сопротивления. Таким образом, ток в цепи ггЕ при подключении ее к источнику э.
д. с. определяется выражением 1= АЕ '+гвыив (9-2-3) здесь та = (9-2-За) й — постоянная времени цепи (согласно (9-1-2) и (9-1-6)). Если цепь Ж (рис. 9-6) включается на постоянное напряжение ЕГо, то согласно выражению (9-2-3) прн Г-воо Так как согласно формуле (1-6-21) энергия в цепи не может изменяться скачком, следовательно, в данной цепи не может изменяться скачком и ток. Вследствие этого из выражения (9-2-3) при 1=0 имеем: 0 = А+ —, и„ А= — —. И Подставляя вначения г,„и А в правую часть выражения (9-2-3), находим, что при включении цепи )тЕ ток и напряжение на индуктивности описываются выражениями: Из последней формулы следует, что в момент включения цепи напряжение источника уравновешивается напряжением на индуктивности. Согласно формуле (1-6-21а) в процессе накопления магнитной энергии до величины )и' =АР/2 такое же количество энергии рассеивается; следовательно, за время переходного процесса источник отдает энергию, равную 2 1)тм.
Действительно, зя В' = — + ( Р )тс(1 = — +)ггв~е " Ш =- ЬР. (9-2-4а) ист 9 ) св о о Если цепь )гт'., по которой протекает постоянный ток 1,, замыкается накоротко (рис. 9-7), то переходный процесс описывается выражением (9-2-2), в котором постоянная А с учетом выражения (9-2-4) определяется из решения уравнения Отсюда находим, что при замыкании накоротко индукгнвности ток и напряжение в цепи определяются выра- жениями (9-2-5) ио = Е„э! и ср соэ го 1„ где а=)~ Дг+(юЕ)', с иь р=(й г =— ав откуда — 698— я с=1,е я, и„= Š— = — Иее с.
си Запасенная в индуктивности энергия при этом расходуется на потери в сопротивлении. При подключении цепи Ы к источнику сииусоидальиой э. д. с. е=Е э)п (го1ч-чр) (рис. 9-8) на основании формул (7-2-2) (9-1-9) и с учетом формул (9-2-3) и (9-2-За) ток переходного режима Ею 1 = с,„„+ с',= — з)п(со1+ ф — ~р) + Ае чр — начальная фаза э. д . с.
Так как в начальный момент (1=0) 1=0, то —" э(п(ф — ср) + А = О, г Е,„ А = — — з)п(ф — р), Следовательно, при включении цепи )И, на синусоидальную э. д. с. ток и напряжение на иидуктивности определяются выражениями: с Е г с = — ~ яп (го1+ф — ер) — эсп (ф — ср) е 7 и = Š— = Е,„зс'п ср ~соз (осу + ф — ср) + — е сн спи (сР— ср) 1 сс иге ! (9-2-6) Следует подчеркнуть, что в этом случае характер переходного процесса зависит.от мгновенного значения э. д.
с. источника в момент включения, т. е, от ее начальной фазы ф. Если ф = ср, то 1= — з(пго1; Ет г Рссс. 9-8. !1одкдючеиие цепи ЯЕ к источнику спиусои. далекой а. д. с. т. е. в этом случае переходный процесс отсутствует и сразу после включения в цепи возникает установившийся режим. .— 699— Если ар = !р+ —, то 2 Итак, при подключении цепи )сС к источнику э. д. с. напряжение на емкости С~а 7 ! = — '" ~соя то! — е 'р 7 и, = Е з!и!р( — з!пот(+ — е '). ! ата В этом случае ток в момент от(:и и напряжение в моз мент от(= — и могут достигнуть максимальных значе- 2 нпй, которые почти в 2 раза больше амплитуд соответст. вующих величин в установившемся режиме. Цепь из последовательно соединенных сопротивления и емкости.
При подключении такой цепи к источнику э. д, с, е(!) возникает электромагнитный процесс, описываемый уравнением Д+ — ! ас(! = г(!). ! г. с,) Так как с по опс лт нт то уравнение можно переписать в следующем виде: ""с "с е(т) . Д! + С 7сС ' !7С ЛС ' (9-2-7) здесь ис — напряжение на емкости. Решением последнего уравнения согласно формуле (9.1-!О) является выражение Напряжение ис,а находится из решения однородного уравнения (9-2-7а) в виде экспоненциальной функции ис„— — А е (9-2-8) в которой та = )сС вЂ” постоянная времени цепи)7С согласно (9-1-2) и (9-1-5). — 700— и =и,„„+Ае ™. (9-2-9) Процесс заряда конденсатора через сопротивление постоянным напряжением Уо (рис. 9-9) описывается вы- исЯ 0р ио Рнс.
9-9. Заряд конденсатора постоянным на- пряженнем ~еред сопротналенае. ражением (9-2-9). В этом случае при 1- оо напряжение на конденсаторе ис =- ис,.„ = (7а, а при (=0 ис = 0' вследствие этого из выражения (9-2-9) находим: А = — ()а. Подставляя в формулу (9-2-9) значения ися „и А. находим, что изменения напряжения на конденсаторе и тока заряда описываются выражениями: и.=У (1 — е ~~); (9-2-10) ляс тта .Чс. !=С вЂ” = — е ш й — 70!— е (9-2-11) »!нс с'а яо (=С вЂ”,= — —,е »2! (9-2-12) где 2=~ Я~+( ) Из последнего выражения видно, что в момент включения (г=0) напряжение источника с7о уравновешивается напряжением на сопротивлении.
Так как в процессе накопления энергии в конденсаторе до величины )(т,= =С(7о/2 согласно формуле (1-6-21а) такое же количество энергии рассеивается, то, очевидно, за время заряда Рнс. 9ЛО. Разряд конденсатора на сонро- тннненне. конденсатора источник отдаст энергию, равную 2йта. Действительно, 2 Г 2 г -'— УР„„= — + ~ тй = — + — 1 е й = С(7,. »а!о Г С!то Цй Р яа 2 я 22» о о Разряд конденсатора через сопротивление (рис.
9-10) описывается выражением (9-2-8), в котором то=тсС, а постоянная А = Уо, так как при с=0 напряжение на конденсаторе ис= Уо. Вследствие этого изменения напряжения и тока при разряде конденсатора описываются выражениями: Если цепь )сС подключается к источнику синусоидальной э. д.
с. е=Е з(п(о!1.+ф), то на основании формул (7-2-2) и (9-1-10) с учетом равенства (9-2-9) изменения напряжения на конденсаторе и тока в цепи описываются следуюшими выражениями: пс = — соз(от|+ ф — ср) + + сот(ф — »р) е ""с Ет( . ! = С вЂ” = ! з(п(от!+ф — !р)— Ж соа (»р — Ч) е м со т =)»С. Выражения эти получены из тех же начальных условий (при т=0, ис=0). Как и в случае вклочения цепи Й7. характер переходного процесса и здесь зависит от мгновенного значения э. д. с, в момент включения, т, е.
от начальной фазы»р. Однако в цепи тт»С переходный процесс отсутствует, если ф=ср.» —; при ф=~р напряже- 9 нне на конденсаторе и ток н цепи могут достигать максимальных значений, которые почти вдвое превышают амплитуды напряжения и тока в установившемся режиме. Заряд конденсатора постоянным напряжением Уо через )т и Е (рис, 9-11).
Переходный процесс при этом определяется решением уравнения !)с+Ь вЂ” + и =Ум ап — 703— которое с подстановкой т. е. (9-2-14) и, =(7, Еаи +Ут ели . Ссв (9-2-!3) в котором а= —; 2Е ' 1 ис (9-2-15) тс5 йа т. е. 7,7 й = — а -1- 1с а — в-. с Ь2 в (9-2-1ба) ро 07 I е т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
