Кугушев А.М., Голубева Н.С. Основы радиоэлектроники. Линейные электромагнитные процессы (1969) (1092090), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Начальная энергия, СИ че (р'1 = — = —, й йс' а энергия в обоих конденсаторах после их соединения и полного окончания переходного процесса ((Ув=дс74С. Следовательно, за время переходного процесса произошло рассеяние энергии величиной 0 йл пл Рис 9Л. Перехолный процесс при включении е. д. с, в цепь, содерисепсую индуктив- ность.
Е + 0 +=0. У Рнс. 94Ь Переходный процесс при изыененни сопротивления цепи, облвде- ющей индуктнвностью. Из найденных значений т, следует, что время переходного процесса (см. выражение (1-6-22)] определяется соотношением параметров цепи С, А, Я.
Если в уравнениях электрической цепи величинами Е и С можно пре- 666— В'р „., — — К,— Ф'е= 46 При этом напряжение на конденсаторах устанавливается в 2 раза меньше, т, е. (//2. Часть рассеянной энергии преобразуется в джоулево тепло в соединительных проводах, а другая часть расходуется на излучение.
Очевидно, что если бы соединительные провода и обкладки конденсаторов обладали идеальной проводимостью, энергия рлсходовалась бы только на излучение (предполагается, чго потерь в диэлектрике конденсаторов нет). Когда оба конденсатора находятся внутри замкнутой оболочки из идеального проводника, а обкладки конденсаторов и соединительные провода обладают идеальной проводимостью, то после соединения конденсаторов возникнут незатухающие электрические колебания, представляющие собой периодическое превращение энергии электрического поля в энергию магнитного поля и обратно.
Такие колебания возникают всегда при включении или выключении любой электрической цепи, ие обладаюшей потерями. Так как запасенная энергия пропорциональна второй степени напряжения и тока, то из выражения (1-6-21) следует, что переходный процесс тока или напряжения описывается формулой т и, ю'=Му ~ е це здесь (9-1-6!) т, = 2т, — постоянная времени электрической цепи. За время то величины тока и напряжения умеиьшеюгся в е раз. С учетом выражения (9-1-6) на основании формулы (1-6-22) при %'!=0 время переходного процесса (х = 2,3то. (9-1.6) Классический метод исследования переходных пр,сцессов в электрических цепях сводится к непосредственному нахождению решений дифференциальных уравн:- ний (6-2-8) или (6-2-16).
Рассмотрим применение этого метода иа примерах анализа цепей с сосредоточенными постоянными, электромагнитные процессы в которых описываются системой неоднородных уравяений вида о сд 1(д + ~, 7,; — ' + — ( сд с(с = ед (9-1-7) ос и! с,,) д с=! о плп сс' с, ' с=-! В общем случае решением этих уравнений является сум- ма, состоящая из частного решения их и общего решения системы однородных уравнений вида в ((,, — +~, (.„,— с+ —;д=-о, сид чв в'в с> 1 (9-1-8) сгс в'в " Сс'-' С с=.! определяющих токи или напряжения в цепи, обусловлен- ные запасом энергии в элементах цепи, при отключенном внешнем источнике э.д.с. (свободные или собственные колебания). Частное решенне системы неоднородных уравнений (9-1-7) и (9-1-7а) зависит от вида внешнего воздействия (вынужденные колебания) и находится как решение для установившегося режима.
Таким образом, Сд Сдав« + сд св (9-1-9) или (9-1-10) Ид = Ид ~си, + Ид ~~. ссс(С, = — ~ 5,()со)е' 'с(с>, 2л (9 1-11) где 5,(со>) = ) сс,(1) е ' 'Й о (9-! -12) — спектральная характеристика входного напряжения. Аналогично напряжение на выходе четырехполюс- ника и, (с) = — ( 5»(1 о>) ес ' Йо 2я,1 (9 1-13) Амплитуды и фазы составляющих тока и напряжения определяются начальными условиями.
Так как начальный запас энергии в реактивных элементах ограничен, то при наличии потерь свободные колебания с течением времени затухают и при 1 — сов цепи будут наблюдаться только вынужденные колебания (установившийся процесс). Переходные процессы в сложных цепях можно исследовать с помощью преобразования Фурье, исстсграла Дюамеля и преобразования Лапласа. Задача исследования переходных процессов в каком- либо линейном четырехполюснике состоит в том, что требуется вычислить напряжение на выходе четырехполюсника ид(1), возникающее при включении на его вход в момент времени 1=0 некоторого напряжения и,(1).
При этом задается электрическое состояние четырехполюсиика в момент включения, определяемое начальными условиямн. Чаще всего встречаются задачи, в которых в момент включения четырехполюсник является «пустым», т. е. запасенной энергии в нем нет. В качестве основной величины, характеризующей четырехполюсник, обычно задается комплексный коэффициент передачи напряжения К()о>), используемый для расчетов в установившемся режиме (сх!. выражение (6-6-1)).
Преобразование Фурье может быть использовано, если входное напряжение четырехполюсника представляет абсолютно интегрируемую функцию. В этом случае непериодическое напряжение описывается интегралом Фурье (Д-7-12): 44 — 552 — 889— и спектральная плотность 5з((ю) = $ и,(1)е ' 'й. з Так как комплексные амплитуды или комплексные действующие значения напряжения на входе и выходе свя.
заны через комплексный коэффициент передачи К (1 ю) = и, и так как комплексные амплитуды пропорциональны спектральным плотностям, то 5з(! ы) = К(1 ю) 5 ((ю), (9-1-14) т. е. спектр выходного напряжения отличается от спектра входного напряжения умножением на коэффициент передачи. Подставляя правую часть равенства (9-1-14) в первое выражение (9-1-13), получаем: 1 пе(1) = ~К(/го)5т(/ю)е "чйо, 2п, (9-1-15) где спектральная плотность 5,()оз) определяется интегралом (9-1-12). Таким образом, согласно метод п еобоазо- а' б~з У р вания Фурье выходное О напряжение четырсхпо- 9 з, „„, люсиика из Я определяется по частотному спектру напряжения на входе и,(1). Спектральные характеристики 5(1ю) некоторых функций приведены в 9 Д-7. Метод интеграла Дюамеля проще метода преобразования Фурье в том отношении, что вместо двух интегралов (9-1-12) и (9-1-15), вычисление которых обычными методами затруднительно, задача сводится к вычислению одного интеграла, но предварительно нужно найти решение, соответствующее единичной функции на входе четырехполюсника.
График напряжения в форме единнчной функции имеет вид, приведенный на рис. 9-3: (О при 1<0 (9-1-15) (1 при т>0. Физически эта функция реализуется при включении в момент 1=0 источника постоянного единичного напряжения. В более общей форме единичную функцию с запаздывающим аргументом можно записать в следующем виде: !1 при г >т. Вид этой функции приведен на рис. 9-4. Рис. 9-4.
Единичная функция Рис. 9-6. Представление напряжес запаздывающим аргументом. ния с помощью единичной функции с запаздывающим аргументом. Особое значение единичной функции среди других объясняется тем, что любую другую функцию можно представить с помощью единичной. Действительно, пусть величина напряжения на входе четырехполюсника при т(0 иг(г) = О, при 1=0 из(1) = и,(0) и затем изменяется по некоторой кривой (рис. 9-5). При этом напряжение из(1) можно представить суммой единичных запаздывающих функций ит(г) .= и,(0) а(1) + Х и,' (т)п(1 — т) Л т, (9-1-17) =в где и', (т) — производная функция из(1) при (=т Если — 690— — 691— 44з интервал Ат бесконечно мал, то суммирование переходит в интегрирование (/ п1 = ао, где У, = сопз1; 1' о ~ !51пыг(Ж = со. о Согласно преобразованиям Лапласа (Д-7-20) и (Д-7-19) непериодическое напряжение на входе четырех- полюсника (5( ) м,1 2п/ 1 (9-1-18) где 5,(р) = ~ и,(!) е — мо1 (9-1-19) о — комплексный спектр входного напряжения в комплексной плоскости р.
Ц(г) = и,(0)о(1) + ~и, '(т) о(~ — г) с(т. (9-1-17а) 'о Если единичная функция вызывает на выходе четырехполюсника напряжение Ь(1), то согласно принципу суперпозиции напряжение и~(1) вызовет напряжение из(1) = и,(0) й(1) +) й(1 — т)и', (т) А.. (9-1-17б) з Величина й(1), называемая п е р е х од н о й ф у н к ц и е й и л и х а р а к т е р и с т и к о й, определяет напряжение на выходе четырехполюсника при включении па его вход единичной функции.
Преобразование Лапласа в отличие от преобразования Фурье применимо к более широкому классу функций, которые не удовлетворяют условию абсолютной интегрируемости, К числу таких функций, в частности, относятся постоянная э. д. с. и синусоидальная э. д. сл Аналогично напряжение на выходе четырехполюсника ;Н ( 5 (р)ем 1р 2л/ 1 (9-1-20) где 5,(р) = ~ иЯ е "' й1 = К(р) 5,(р) (9-1-21) а (9-1-22) и,(1) = — ~К(р)5,(р) е" г(р. зл/ Таким образом, согласно методу преобразования Лапласа выходное напряжение из(1) определяется по изображению спектра напряжения на входе и,(1). Напряжение на выходе линейного четырехполюсиика зависит от вида входного напряжения и свойств самого чстырехполюсника. Следовательно, любая формула, определяющая напряжение на его выходе, должна содержать две функции, из которых одна выражает входное напряжение, а вторая характеризует свойства четырехполюсннка.
Рассмотрим с этой точки зрения выражения (9-1-18), (9-1-20) и (9-1-17б). Эти формулы представляют собой интегральные выражения, что обусловлено применением при их выводе принципа суперпозиции. В интегралах Фурье и Лапласа входное напряжение представлено спектром 5~()ы) или его изображением 5,(р), а в интеграле Дюамеля — производной функции и,(1). В интегралах Фурье и Лапласа свойства четырехполюсника выражены через коэффициент передачи — 693— — комплексный спектр выходного напряжения в комплексной плоскости р; К(р) — комплексныв коэффициент передачи системы, в котором величина )е заменена на р.
Допустимость такой замены следует из того, что К()ы) и 5, ()ы) получаются, если задано изменение напряжения в форме е'" . Очевидно, если задать напряжение в форме ег',то получим К(р) н 5~(р). Подставляя правую часть соотношения (9-1-21) в формулу (9-1-20), получаем: .-Н К()тв) или К(Р), а в интеграле Дюамеля — через переходную функцию й(!), Выясним связь между переходной характеристикой й(!) и коэффициентом передачи К(р) системы в плоскости комплексного переменного р. Переходная характеристика Ь(!) представляет собой напряжение на выходе при подаче иа вход напряжения в виде единичной функции, т. е. (9-1-23) ~м(!) = й(!), если п,(!) = о (!). По согласно табл. Д-6 1 и(!) —:--- Р и, следовательно 8з(Р) = —, К( ) Р Таким образом, функция й(г): "" Р (9-1-24) (о-!-26) е(!) = %+ А — + — ~~! Щ. ья ! е( с,) Пусть !(!) —:! (р) и е(!) —: Е(Р).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
