Диссертация (1091538), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Рассмотрены две модели планеты: впервом случае планета моделируется однородным изотропным вязкоупругим телом, а во втором случаем — телом, состоящим из абсолютно твердогоядра и вязкоупругой оболочки. В естественном недеформированном состоянии тело имеет шаровую форму. Спутник моделируется материальнойточкой.
Функционал потенциальной энергии упругих деформаций вводится в соответствии с классической теорией упругости малых деформаций, афункционал диссипативных сил соответствует модели Кельвина-Фойгта.Содержание работыВ первой главе рассматривается задача о движении спутника в полепритяжения планеты. Планета моделируется однородным изотропным вязкоупругим телом, имеющим сферическую форму в естественном недеформированном состоянии, а спутник — материальной точкой. Формулируетсяпостановка задачи, и из вариационного принципа Даламбера-Лагранжа выводятся уравнения движения механической системы «планета-спутник». В21качестве невозмущенной задачи рассматривается движение спутника в поле притяжения абсолютно твердого сферически симметричного тела, когдавектор упругого смещения u равен нулю.
Методом разделения движенияна основе невозмущенного движения строится возмущенная система уравнений движения.Вводится малый параметр, обратно пропорциональный модулю упругости Юнга. Для определения вектора упругого смещения u решается квазистатическая задача теории упругости. После подстановки найденного решения в уравнения движения и вычисления тройных интегралов полученная система дифференциальных уравнений описывает движение системы«планета-спутник» в поле сил взаимного притяжения с учетом возмущений, вызванных упругостью и диссипацией. Указанная система имеет первый интеграл — закон сохранения момента количеств движения системы«планета-спутник» относительно общего центра масс.Далее рассматривается случай, когда масса планеты много больше массы спутника, основной кинетический момент сосредоточен во вращательном движении планеты, вектор угловой скорости планеты можно считатьпостоянным.
Исследуется стационарное движение спутника и его устойчивость для ограниченной постановки задачи. Рассматриваются два случаядвижения: плоское, когда движение спутника происходит в фиксированной плоскости, а вращение шара осуществляется вокруг нормали к этойплоскости, и пространственное движение. В обоих случаях имеется стационарное решение, которое является неустойчивым.Для дальнейшего исследования системы вводятся переменные Делоне.Также рассматриваются два случая: плоского и пространственного движения. Выводятся канонические уравнения движения механической системы и производится их усреднение по быстрой угловой переменной —средней аномалии.
Полученная в результате замкнутая система обыкновенных дифференциальных уравнений относительно переменных «действие»и медленных угловых переменных описывает эволюцию движения системы«планета-спутник».Вторая глава посвящена неограниченной постановке задачи о дви-жении спутника в гравитационном поле вязкоупругой планеты. Задачарассматривается без ограничения постоянства вектора угловой скорости22вращения планеты. Исследуются стационарные движения спутника и ихустойчивость. Выводится эволюционная система уравнений.Рассматриваются частные случаи движения спутника: плоское движение, когда наклонение орбиты спутника равен нулю, и движение, когдаэксцентриситет орбиты равен нулю. В обоих случая найдены стационарныерешения и исследована их устойчивость.
Показано, что рассматриваемыесистемы уравнений могут иметь не более двух стационарных решений. Вслучае существования двух решений, одно из них является асимптотическиустойчивым, а второе неустойчивым.На основе полученной системы эволюционных уравнений для некоторых планет Солнечной системы и их спутников проведено численное интегрирование уравнений в будущее с помощью программного комплекса типаOctave, построены графики эволюции орбитальных параметров движенияспутника.Дается описание разработанной программы для численного интегрирования системы эволюционных уравнений, построения эволюционных графиков параметров орбиты спутника и 3D-визуализации движения спутникаВ третьей главе рассматривается задача о движении спутника в полепритяжения планеты с ядром.
Планета моделируется телом, состоящим изабсолютно твердого ядра и вязкоупругой оболочки, а спутник — материальной точкой. Из вариационного принципа Даламбера-Лагранжа выводятсяинтегро-дифференциальные уравнения движения исследуемой системы.Строится возмущенная система уравнений движения. Решается краеваязадача теории упругости для определения первого приближения u1 вектораупругого смещения по степеням малого параметра , обратно пропорционального модулю Юнга. Исследуется деформация вязкоупругой оболочкипланеты.
Получены уравнения для описания поверхности вращающейсядеформируемой планеты без учёта приливных деформаций, а также выражение, позволяющее определить величину приливного горба, создаваемогона поверхности планеты спутником.Рассматриваются приливные деформации планеты в гравитационномполе притягивающего центра и спутника. Получена в явном виде функция,описывающая зависимость величины приливного горба в фиксированнойточке поверхности планеты от координаты этой точки и времени.
Построе-23ны графики этой функции в зависимости от числа оборотов Земли вокругсвоей оси для точки поверхности Земли, находящейся на экваторе, а такжена широтах 30∘ и 60∘ .В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.В приложении представлен программный код, используемый для расчета эволюционных параметров систем «планета-спутник» и построенияфазовых портретов с использованием системы GNU Octave, описание программы визуализации движения спутника на языке Python, а так же графики эволюции орбитальных параметров систем «планета-спутник» в Солнечной системе.Основные результаты опубликованы в работах [46–56, 81].24ГЛАВА 1ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕВРАЩАЮЩЕЙСЯ ВЯЗКОУПРУГОЙ ПЛАНЕТЫ(ОГРАНИЧЕННАЯ ПОСТАНОВКА)Рассматриваетсятяжениязадачавязкоупругойодвижениипланеты.Изспутникаввариационногополепри-принципаДаламбера-Лагранжа выводятся уравнения движения механической системы «планета-спутник».
Методом разделения движенияна основе невозмущенного движения строится возмущенная система уравнений движения. Исследуется стационарное движенияспутника и его устойчивость. Рассматривается частный случай- плоское движение, а также пространственный случай. Выводится эволюционная система уравнений движения в каноническихпеременных Делоне.§1.1.
Постановка задачи. Уравнения движенияРис. 1.1Рассмотрим задачу о движении системы планета-спутник в гравитационном поле сил взаимного притяжения. Планету будем моделироватьоднородным изотропным вязкоупругим телом, имеющим шаровую формув естественном недеформированном состоянии, а спутник — материальнойточкой (рис. 1.1). Пусть , — массы планеты и спутника соответственно, 0 — радиус планеты в естественном недеформированном состоянии, —ее плотность ( = 403 /3).25Введем инерциальную систему координат с началом в центремасс системы.
Для описания вращательного движения планеты введем подвижную систему координат 1 2 3 с началом в центре масс вязкоупругой планеты и систему осей Кенига 1 2 3 . Положим R = CP.Радиус-вектор точки вязкоупругого шара в инерциальной системекоординат имеет вид:(1.1)R = OC + Γ(r + u)где Γ — оператор перехода от подвижной системы координат 1 2 3 к системе осей Кенига, u = u(r, ) — вектор упругого смещения точек планеты.Так как — центр масс системы планета-спутник, то⎧⎨ · OC + · OP = 0⎩OP − OC = R⎧⎨OC = − R+⇒⎩OP = R(1.2)R, R = −R + Γ(r + u),++(1.3)+ТогдаR =где R — радиус-вектор точки .Следующие условия однозначно определяют радиус-вектор центра масс деформированной планеты и связанную с нейкоординат 1 2 3 [13]:∫︁∫︁∫︁1R (r, ),u = 0,rot u = 0,OC =где =систему(1.4)}︀r ∈ 3 : |r| ≤ 0 .Потенциальная энергия гравитационного поля определяется функционалом:∫︁∫︁ Π = −= −,(1.5)|R − R ||R − Γ (r + u)|{︀где — универсальная гравитационная постоянная.Функционал потенциальной энергии упругих деформаций введем в со-26ответствии с линейной моделью теории упругости:∫︁E =E [u],E [u] = 1 (E2 − 2 E ),1 > 0, 0 < 2 < 3,(1.6)где1 =E =E(1 − ),2(1 + )(1 − 2)3∑︁ , E ==1∑︁2 =2(1 − 2),1−( − 2 ),<1 =2(︂+)︂,E — модуль упругости Юнга, — коэффициент Пуассона деформируемойпланеты, E , E — инварианты тензора малых деформаций u = (1 , 2 , 3 ).Для описания диссипативных свойств вязко-упругой планеты введемдиссипативный функционал, соответствующий модели Кельвина-Фойгта:∫︁D = D[u̇], D [u̇] = E [u̇] , > 0(1.7) — коэффициент внутреннего вязкого трения, D — диссипативный функционал.Уравнения движения рассматриваемой механической системы получимиз вариационного принципа Даламбера-Лагранжа [13]:∫︁ (︁)︁)︁(︁R̈ , R + R̈ , R + Π +∫︁+(∇u E [u] + ∇u̇ D [u̇] + 1 , u) +∫︁+(2 , rot u) = 0,∀u ∈ (21 ( ))3 (1.8)где 1 , 2 — неопределенные множители Лагранжа, порожденные условиями (1.4).Подставим R , R , определяемые формулами (1.3), в (1.8).
Для этого27найдем R̈ , R :Ṙ + Γ { × (r + u) + u̇} ,+R̈ + Γ { × [ × (r + u)] + 2 × u̇ + ˙ × (r + u) + ü} ,R̈ = −+R = −R + Γ { × (r + u) + u} ,+R.R̈ =R̈, R =++Ṙ = −Здесь × (·) = Γ−1 Γ̇ (·) , Γ × (·) = Γ [ × (·)] , — вектор угловойскорости вращения планеты, задаваемый в подвижной системе координат1 2 3 .Далее преобразуем слагаемые в левой части равенства (1.8):1)∫︁ (︂)︂R̈ , −R̈ , R =R + Γ { × (r + u) + u} =+∫︁ (︁∫︁ (︁)︁)︁−1=−R̈ , R +Γ R̈ , × (r + u) + u =+[︁]︁= (a, b × c) = (c × a, b) =∫︁ (︁∫︁ (︁)︁)︁−1R̈ , R +(r + u) × Γ R̈ , +=−+∫︁ (︁)︁+Γ−1 R̈ , u ∫︁ (︁)︁2)(︁ R̈ , R)︁)︁2 (︁=R̈, R( + )23)F = F(, , ) = (1 (, , ), 2 (, , ), 3 (, , ))√︁|F| = 12 + 22 + 322811== √︀ 2|F|1 + 22 + 3211(F, F)= − (︁√︀)︁3 · (21 1 + 22 2 + 23 3 ) = −2|F|312 + 22 + 324)3 · (−R + Γ (r + u) , −R + Γ ( × (r + u) + u)) =|−R + Γ (r + u)|∫︁Π = ∫︁ (−R + Γ (r + u) , −R)+|−R + Γ (r + u)|3(︀)︀)︀∫︁ (︀(r + u) × −Γ−1 R + r + u , = +|−R + Γ (r + u)|3)︀∫︁ (︀ −1−Γ R + r + u, u+ |−R + Γ (r + u)|3 +Подставляя выражения, полученные в пунктах 1), 2), 4) в уравнение(1.8) и приравнивая коэффициенты при независимых вариациях R, ,u, получим уравнения движения механической системы:−+∫︁2R̈ +R̈ + ( + )2∫︁(r + u)×Γ−1 R̈ −∫︁ (︂∫︁∫︁R − Γ(r + u) = 0 (1.9a)|R − Γ(r + u)|3(︀)︀(r + u) × Γ−1 R − (r + u)|R − Γ(r + u)|3 = 0 (1.9b))︂Γ−1 R − (r + u)Γ R̈ − ·, u +|Γ−1 R − (r + u)|3∫︁∫︁+ (∇u E [u + u̇] + 1 , u) + (2 × n) · u = 0 (1.9c)−1где — граница области , n — единичный вектор внешней нормали к .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
