Диссертация (1091538), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Второеслагаемое обеспечивает действующую в точке силу, необходимую длядвижения по окружности относительно центра масс системы. Третий члендает значение приливного потенциала: = − 2 132(3 cos2 − 1)(5)это выражение служит основой во многих предыдущих исследованиях, посвященных приливной эволюции сильно разделенных тел [60, 62, 66, 70, 84],таких как система Земля-Луна.Заметим, что отбрасывание старших членов выражения для в (4)кроме первых трех слагаемых дает точную оценку потенциала в (1) только для расстояний между планетой и спутником, превышающих 5 . В8случае меньшего расстояния, что часто встречается среди систем двойныхастероидов, необходимо учитывать члены высших порядков в разложении . Полное выражение для потенциала в (4) можно записать кратко ввиде суммы по полиномам Лежандра (cos ), т.

е. зональных гармоникили гармонических функций следующим образом = −∞ ∑︁(︃)︃ (cos )=0(6)где при значении = 2 получаем главный приливной член из выражениядля (5). Таким образом, для полного приливного потенциала , включающего члены всех порядков, имеем: = −∞ ∑︁=2(︃)︃ (cos )(7)Для простейшего случая движения спутника на круговой орбите в экваториальной плоскости планеты ориентация действия приливного потенциала на планете следует за положением спутника, но во всем остальномдеформация, вызываемая приливным потенциалом, сохраняет амплитудуи форму.

Вслед за вращением спутника (а следовательно, и изменениемнаправления действия приливного потенциала) происходитпериодическаядеформация планеты. Стандартная картина такого взаимодействия представлена на рис.1. Амплитуда деформации приливного выступа предполагается практически равной для случая синхронного периода (на рис.1.а).Но запаздывание прилива за счет диссипации, приводит к угловым смещениям (/2 на рис.1) приливного выступа относительно направления действия потенциала. Представленная асимметрия, как было сказано выше,приводит к моментам, которые меняют как орбиту спутника, так и влияютна вращение планеты.Если орбита спутника является эксцентрической, приливной потенциалменяется более сложным образом. Изменения амплитуды и направленияпотенциала, соответствуют эпициклическому движению спутника (рис. 3).Это можно представить в виде суммы членов сферических гармоник второго порядка(рис.

4): первый компонент соответствует среднему направлению на спутник и два компонента различных амплитуд (каждый пропор-9Приливы(черные выступы) напланете (слева)схематически показаныдля четырех точекорбитыприливообразующегоспутника.Рис.

3.Рис. 4. В правой части равенства изображенполный приливной потенциал из рис. 3, в четырехразличных положениях спутника на орбите.Потенциал может быть разложен на составляющие:один компонент привязан к среднему направленииспутника, а два других - перемещаются по часовойстрелке и против. Запаздывание приливного горбана каждом из компонентов представлено в видесмещения серого цвета.ционален эксцентриситету ), которые циркулируют (по отношению к направлению спутника) вокруг планеты в противоположных направлениях.Четвертый периодический компонент (не показан на рис.4) представляетсобой колебание амплитуды полярного сжатия формы планеты.Каждый из этих компонентов приводит к деформации планеты с определенной частотой.

Например, основной компонент приводит к деформации с частотой двукратной разности между скоростью вращения планеты исредним движением спутника. Кроме того, компоненты, описанные выше,представляют собой только члены первого порядка по . Учет членов болеевысоких порядков по введет к быстрому возрастанию числа гармоник счастотами, всё более отличными от частоты первичного компонента.Разложение в ряд Фурье.

Различные подходы, история.Большинство из разработанных теорий приливов включают в себя:(1) разложение прилива в гармонический ряд Фурье и(2) определения для каждого отдельного члена ряда Фурье фазовойзадержки и собственного коэффициента затухания, которые зависят отсвойств материала.Первая часть, разложение в ряд Фурье, была выполнена в полном объ-10еме Каулой (1964)[70] 2 , хотя частичная сумма ряда Фурье был полученаеще Дарвином (1879)[60].Исследование и разработка второго пункта, нахождение адекватной частотной зависимости от фазовых задержек и динамических чисел Лява, внастоящее время ещё ведется.В то время как ранние работы редко выходили за рамки Максвелловской модели вязкоупругого тела, в настоящее время стали использоваться более реалистичные реологические модели. Реологический подходс комбинированием модели Андраде на более высоких частотах с моделью Максвелла для низких частот был исследован Эфроимским (2012a,2012b)[63, 64].

Необходимость такой комбинированной модели обусловленоразличием физических механизмов трения, оказывающих преобладающеевлияние на приливную диссипация на различных частотах. Несколько другие реологические законы были исследованы Хеннингом и др. (2009)[68] иНиммо и др. (2012)[78].Некоторые авторы пытались избежать использования разложение Фурье путем создания более простых моделей, которые бы сохраняли качественные особенности теории приливов и, в идеале, давали некоторые разумные количественные оценки. Поэтому часто используются два радикально упрощенных и специально разработанных для этого инструмента,применяющихся к скалистым лунам и планетам, газовым гигантам, звездам и тому подобному:1. В нескольких важных исследованиях было сделано простое предположение о том, что одинаково для всех компонентов и не зависит отчастоты.

Этот подход известен как модель с «постоянной фазовой задерж-Каула применил подход, который используется, как правило, в качестве аналитического методаисследования приливов в течение последнего полувека и встречается в литературе под названием «lagand-add» («задержка и сложение» — c англ.). То есть предполагается, что реакция планеты на каждыйиз многочисленных возмущающих компонентов проявляется отдельной деформацией, что задержкипо времени (соответствующие угловой ориентации прилива) связаны с возмущающим потенциалом.Другими словами, предполагается, что каждый компонент ведет себя так, как и в однокомпонентномслучае (рис.1, с нулевыми эксцентриситетом и наклонением). Так что фактически форма прилива влюбой момент времени — это сумма всех этих компонентов.

Предполагается, как правило, что каждыйкомпонент имеет свою собственную задержку по фазе , которая зависит от свойств материала.Стоит отметить, что хотя такой подход оправдывает себя для измерения приливных эффектов натаких системах, как Земля-Луна, Юпитер и Ио, но применимость его к большим эксцентриситетам ( >0.3) оказалась сомнительной (см., например Ферраз-Мелло и др. 2008, Гринберг 2009[66, 67]).

Главныйже недостаток этой теории вытекает из того, что такой метод применим только в узком диапазонечастот приливов (Гринберг, 2009)[67]. До тех пор, пока амплитуда приливной деформации тела мала,отклонение от невозмущенной формы, как предполагается, пропорционально деформирующей силе(Ляв, 1927)[74].211кой»3 (Макдональд (1964), Голдрайх и Соттер (1966), Мюррей и Дермотт(1999))[2, 36] С одной стороны, эта модель кажется достаточно соответствующей реологии Земли. Но проблема с исходным предположением втом, что запаздывание остается постоянным независимо от того, насколько мала частота, а это приводит к разрыву, когда приливная частота близкак нулю, что имеет место в случае почти синхронизированных экзопланет.Кроме того, знак углового смещения так же может измениться дискретно взависимости от направления приливного вращения относительно планеты.2.

Альтернативный подход состоит в предположении, что фазовая задержка пропорциональна частоте. Это предположение эквивалентно предположению постоянной временной задержки (но не постоянного фазовогосдвига) между приливным горбом и линией, соединяющей центры двухтел, для всех частот — модель с «постоянной временной задержкой» 4 (например, Сингер (1968), Миньяр (1979, 1980), Хат (1981))[69, 75, 76, 82].(Обратим внимание, что Миньяр и Хат не раскладывали в ряд Фурье приливной потенциал, но учитывали диссипацию путем добавления временной задержки в ответ, что эквивалентно методу «lag-and-add» с фазовойзадержкой, пропорциональной частоте). Такая модель позволяет избежатьразрыва при нулевой частоте, как это происходит в случае CPL моделидля синхронного вращения, и это позволяет провести полный аналитический расчет приливных эффектов без каких-либо предположений об эксцентриситете.

Это особенно важно при изучении экзопланет на близкихорбитах, которые часто оказываются весьма сильно эксцентрическими. Ноэтот подход имеет другую потенциальную проблему — при очень высокихчастотах задержка компонента может быть велика по сравнению с периодом. И эта модель не учитывает взаимодействия между волнами. Основнаяпричина для учета частотной зависимости (что было показано ещё Дарвином (1879)[60]) следует из конкретной и весьма идеализированной моделиоднородной вязкоупругой планеты. Работы Дарвина показали, что диссипация так же влияет на амплитуду каждого компонента, как и задержка (Эфроимский и Вильямс, 2009)[62], в то время как обычная процедураthe constant phase lag model (CPL), или эквивалентная модель the constant geometric lag modelthe constant time lag model (CTL).

Помимо своей математической простоты, метод постояннойвременной задержки иногда позволяет ассоциировать его с вязким затухающим гармоническим осциллятором. Эта аналогия, однако, в литературе появились апостериорной, Александр (1973)[58] —наиболее ранняя известная работа, где эта аналогия была прописана.3412«lag-and-add» (какими бы ни было предположение о запаздывании) предполагает, что воздействия на амплитуду пренебрежимо малы.Диссипативная функция Предпринимались многочисленные попытки определить зависимостьмежду и частотой, которая менее произвольна, чем любое из вышеуказанных допущений.

Характеристики

Список файлов диссертации