Диссертация (1091538), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Уравнение (1.48) поделим на : ( + ) Ω2 6 + 5 += Ω23842С точностью до членов 1-го порядка по справедливы соотношения:11==3(0 + 1 )3103(︁1)︁3 ≈ 3011 + 0(︂)︂11 − 30(︂)︂111≈ 5 1 − 5500(︂)︂111≈ 8 1 − 8800Тогда(︂)︂(︂)︂(︂)︂16 ( + )1111 − 3+Ω2 5 1 − 5+1 − 8= Ω238000000Приравнивая коэффициенты при 0 и 1 , получим:√︂0 =3 ( + ),Ω22( + 7)Ω1 =·3 ( + )2√︃3Ω2 ( + )(1.49)Итак, * ≈ 0 + 1 , где 0 , 1 определяются формулами (1.49),3 2 ( + )4 () 07(1 + ) (9 + 13) =, =, () =, где —1055 + 7коэффициент Пуассона, 0 — радиус планеты в естественном недеформированном состоянии.Найденное стационарное решение системы (1.46)–(1.47) соответствуетдвижению спутника по круговой орбите радиуса * относительно центрамасс планеты с орбитальной угловой скоростью равной угловой скоростивращения вязкоупругого шара.Заметим, что уравнение (1.48) имеет только одно решение относительнопеременной , так как в левой части равенства (1.48) имеем строго монотонно убывающую функцию.Исследуем устойчивость указанного стационарного решения.
Положим = * (1+1 ), ˙ = Ω(1+2 ). Подставляя эти значения в уравнения (1.46),(1.47), получим уравнения возмущенного движения: ( + )* ¨1 − * (1 + 1 ) · Ω2 (1 + 2 )2 + 2+* (1 + 1 )2{︂}︂6 18 * ˙ 12+ 4Ω + 3+=0* (1 + 1 )4* (1 + 1 )3 *4 (1 + 1 )4(1.50)432* ˙ 1 Ω(1 + 2 ) + * (1 + 1 )Ω˙ 2 +6 (Ω(1 + 2 ) − Ω) = 0+ 1 )7*7 (1(1.51)Уравнения 1-го приближения возмущенного движения имеют вид:{︃¨1 + 31 ˙ 1 − 2 1 − 3 2 = 0˙ 2 + 1 2 + 2˙ 1 = 0(1.52)(1.53)6 2 ( + ) 42 4Ω22где 1 =, 2 = Ω +++, 3 = 2Ω2 .*8*3*8*5Решение уравнений (1.52),(1.53) ищем в виде: 1 = 1 , 2 = 2 .Подставляя указанные функции в уравнения (1.52),(1.53) получим системулинейных уравнений относительно постоянных 1 , 2 :{︃(2 + 31 − 2 )1 −3 2 = 021 + ( + 1 )2 = 0Для существования ненулевого решения необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы системы был равен нулю:⃒⃒⃒⃒ 2⃒ + 31 − 2 −3 ⃒⃒⃒⃒⃒ = 3 + 41 2 + (321 − 1 + 23 ) − 1 2 = 0⃒⃒⃒2 + 1 ⃒Так как −1 2 < 0, то характеристическое уравнение имеет корень сположительной вещественной частью, следовательно, стационарное движение неустойчиво.44§1.4.2.
Случай 1б. Пространственное движение спутникаРис. 1.3Теперь рассмотрим пространственное движение спутника.Выпишем компоненты вектора R в сферических координатах , , :(1.54)R = ( cos sin ; sin sin ; cos )Тогда⎞⎛˙˙⎜ cos sin − sin sin · + cos cos · ˙ ⎟⎟⎜⎟⎜˙Ṙ = ⎜ sin sin + cos sin · ˙ + sin cos · ˙ ⎟ ,⎟⎜⎠⎝˙ cos − sin · ˙R̈ = (1 ; 2 ; 3 ),¨ cos sin − 2˙ sin sin · ˙ + 2˙ cos cos · ˙ − 2 sin cos · ˙ · −1 = ˙− cos sin · ˙ 2 − cos sin · ˙ 2 − sin sin · ¨ + cos cos · ¨ ,¨ sin sin + 2˙ cos sin · ˙ + 2˙ sin cos · ˙ + 2 cos cos · ˙ · −2 = ˙− sin sin · ˙ 2 − sin sin · ˙ 2 + cos sin · ¨ + sin cos · ¨ ,¨ cos − 2˙ sin · ˙ − cos · ˙ 2 − sin · ¨ .3 = 45⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜ cos sin 0⎟ ⎜cos sin ⎟ ⎜cos( − ) sin ⎟⎟⎟ ⎜⎟⎜⎜⎟⎟ ⎜⎟⎜⎜−1 R=Γ= ⎜− sin cos 0⎟ ⎜ sin sin ⎟ = ⎜ sin( − ) sin ⎟ ,⎟⎟ ⎜⎟⎜ ⎜⎠⎠ ⎝⎠⎝⎝cos cos 001⎞⎛⎞⎛⎜cos( − ) cos ⎟⎜− sin( − ) sin ⎟⎟⎟ (︁⎜)︁ ⎜⎟⎜⎟ ˙˙ = ⎜⎜ cos( − ) sin ⎟ − Ω + ⎜ sin( − ) cos ⎟ ˙ ,⎟⎜⎟⎜⎠⎝⎠⎝− sin 0⎞⎛⎞⎛⎜cos cos ⎟⎜− sin sin ⎟⎟⎟ (︁⎜)︁ ⎜⎟⎜⎟ ˙⎜˙Γ = ⎜ cos sin ⎟ − Ω + ⎜ sin cos ⎟ ˙ ,⎟⎜⎟⎜⎠⎝⎠⎝− sin 0Ω = (0; 0; Ω), = Γ−1 Ω = Ω, (, ) = Ω cos .Уравнения движения спутника (1.34) в сферических координатах имеют вид:⎧⎪ ( + )⎪2⎪22˙¨⎪−˙−sin++⎪2⎪⎪{︃}︃⎪⎪618⎪(︀)︀⎪⎪˙ = 0,⎨+ 4 Ω2 1 − 3 cos2 + 3 +4⎪(︁)︁(︁)︁⎪6 ⎪⎪¨˙˙˙˙⎪ + 2 sin + 2 ˙ cos +sin − Ω = 0,⎪7⎪⎪⎪⎪6 ⎪⎪⎩¨ + 2˙ ˙ − ˙ 2 sin cos − 4 Ω2 sin 2 +˙ = 0,7(1.55)где = 1 /.Система уравнений (1.55) имеет стационарное решение: = /2, ˙ = Ω, = * ,(1.56) ( + ) Ω2 6 + 5 += Ω2 .38Полученное решение (1.56) соответствует движению спутника по круговой орбите радиуса * в экваториальной плоскости планеты с орбитальнойскоростью, равной угловой скорости вращения планеты.где * является корнем уравнения46Исследуем устойчивость стационарного решения (1.56).
Положим =* (1 + 1 ), ˙ = Ω(1 + 2 ), = /2 + 3 и выпишем уравнения первогоприближения возмущенного движения системы:⎧⎪⎪¨ + 31 ˙ 1 − 2 1 − 3 2 = 0⎪⎨ 1(1.57)˙ 2 + 1 2 + 2˙ 1 = 0⎪⎪⎪⎩¨3 + 1 ˙ 3 + 4 3 = 0где6 2 ( + ) 4Ω2 42 2,=Ω+++,2*8*3*5*8)︂(︂2223 = 2Ω , 4 = Ω 1 + 5 .*1 =Решение уравнений (1.57) будем искать в виде: = ( = 1, 2, 3).Получим характеристическое уравнение:⃒⃒⃒⃒⃒2 + 31 − 2 −3⃒0⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒=2+01⃒⃒⃒⃒⃒⃒200 + 1 + 4 ⃒⃒(︀)︀ (︀(︀)︀)︀= 2 + 1 + 4 3 + 41 2 + 321 − 2 + 23 − 1 2 = 0 (1.58)Так как 1 2 > 0, то характеристическое уравнение (1.58) имеет положительный корень, следовательно, стационарное решение (1.56) являетсянеустойчивым.§1.5.
Эволюционная система уравнений движения спутника§1.5.1. а. «Плоский» случайПолучим уравнения движения в переменных Делоне, описывающих изменение параметров орбиты спутника. Для начала рассмотрим случай, когда движение спутника происходит в плоскости , а ось вращения пла-47неты ортогональна этой плоскости.Рис. 1.4Так как в рассматриваемом случае Ω⊥R, то сила F1 в выражении (1.41)примет вид:{︂F1 = −1Ω26 R+R58}︂В качестве обобщенных координат возьмем полярные координаты (, ).Тогда кинетическая энергия спутника равна)︁11 (︁ ˙ 222 ˙2 = Ṙ = + .22(1.59)Перейдем от обобщенных координат и скоростей (, , ˙ , ˙ ) к обобщенным координатам и импульсам (, , , ):= ˙˙ == 2 ˙˙ =⇒˙ =˙ =2Гамильтониан задачи определяется равенством:⃒⃒˙˙ = · + · − − 0 − 1 ⃒˙→˙→Тогда из (1.42), (1.59) получим:1=2(︃22 + 2)︃ ( + )−− 1{︂Ω2+6 33}︂(1.60)48Гамильтониан можно представить в виде суммы(1.61) = 0 + 1 ,где(︃)︃21 ( + )2 + 2 −,0 =2{︂}︂Ω21 = −1+.6 33(1.62)(1.63)Уравнения движения в канонических переменных (, , , ) имеютвид:⎧⎪⎪˙ = − ⎪ + ⎪⎪⎪⎨˙ = − + ⎪⎪˙ = ⎪⎪⎪⎪⎩˙ = (1.64)где обобщенные силы , определяются из выражения для элементарной работы неконсервативной силы:2 = F2 · R = { + }Уравнения (1.64) можно получить из вариационного принципаГамильтона-Остроградского:∫︁2( + ) = 0, = (F0 + F1 + F2 , R)1∫︁21( · ˙ + · ˙ − ) +∫︁2 { + } = 01К сравнению допускаются кривые () + (), () + (), () + (), () + () и ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = 0, = 1, 2.От переменных , , , перейдем к переменным Делоне , , , 49[6, 43] с помощью производящей функция канонического преобразования = (, , , ) = 1 (, , ) + ,∫︁ √︂2 2 ( + ) 2 ( + )2 4 2где 1 = ±−− 2 .2, =,=,=Тогда =Фактически переход к новым переменным осуществляется с помощьюследующих соотношений:2= 2 ( + )(1 + cos ) =+(1.65) = ( + )2 sin =√︂2где = 1 − 2 — эксцентриситет орбиты; — истинная аномалия, зависящая от переменных , , с помощьюследующих соотношений: = − sin (уравнение Кеплера) + cos ;cos =1 + cos — эксцентрическая аномалия; — долгота перигелия; — средняя аномалия.Рис.
1.5Справедливы также равенства2=, — большая полуось орбиты; ( + )2(1 − 2 ) = (1 − cos ) =.1 + cos 50В переменных Делоне выражение для 0 (1.62) имеет простой вид: 2 ( + )2 30 = −22Таким образом, в новых переменных 0 зависит только от переменной .Уравнения движения в переменных Делоне имеют вид:⎧⎪1⎪˙ = − ⎪ + ⎪⎪⎪⎨˙ = − 1 + ⎪1⎪˙ = () + ⎪ − ,⎪⎪⎪⎩˙ = 1 − () = 2 (+)2 33(1.66)Уравнения (1.66) могут быть получены из вариационного принципаГамильтона-Остроградского:∫︁2( · ˙ + · ˙ − ) +1∫︁2 { + + + } = 01Обобщенные силы , , , определяются из выражения для элементарной работы неконсерватвной силы: = F2 · R = { + + + }RRRR, = F2 ·, = F2 ·, = F2 ·где векторная величина F2 , определяемая равенством (1.38), и радиусвектор R необходимо выразить через переменные Делоне.
В переменныхДелоне = F2 ·R = (cos( + ); sin( + ); 0) ;2=; 2 ( + )(1 + cos )Γ = R/ = (cos( + ); sin( + ); 0) .51ДалееΓ˙ = (Γ)˙− Γ̇ = (Γ)˙− Γ [ × ] = (Γ)˙− Ω × Γ;)︃(︃− Ω (− sin( + ); cos( + ); 0) ;Γ˙ =2˙ =F2 = −=27 ( + ) sin ;{︃(︃2)︃− Ω (− sin( + ); cos( + ); 0) +}︃˙3(cos( + ); sin( + ); 0) .+Для вычисления обобщенных сил понадобятся частные производные ,: (1 + cos )2 3 sin 2 sin =,== 2 ( + ) 2 ( + )(1 − 2 )3/2(1 − 2 )3/2С учетом вышеизложенного обобщенные силы , примут вид:{︂}︂1 · 7= = −2 ( 2 − Ω) ·+3· {︂}︂1 2 sin2 = −2 ( 2 − Ω) · 6 ·+3 8 (1 − 2 )3/2{︂}︂11 = −2 ( 2 − Ω) · 7 = −2 ( 2 − Ω) · 6Усредним первые два уравнения системы (1.66) по быстрой угловой переменной :1⟨ * ⟩ =2∫︁201( * ) =2∫︁20(*)52Вычисления для переменной :˙ = −2⟨⟩2∫︁2 {︂1 2 sin2 +3 8( 2 − Ω) · 6 · (1 − 2 )3/2}︂ =0=−2(1 + 2 ),2∫︁21 =1 ( 2 − Ω) · 6 · = 0=∫︁21( 2 − Ω) · 6 =∫︁200 8 15 ( + )1528 ∫︁(1 + cos )8 − Ω26 ∫︁ 6 12 ( + )120 − Ω8∫︁21 =60(1 + cos )6 =0 8 15 ( + )8105 4 35 635 82=21+14+++ −1544128(︂)︂ 6 12 ( + )615 2 45 45 6−Ω2 1 + + + 122816(︂∫︁22 = 3)︂2 8 15 ( + )82 sin2 =38 (1 − 2 )3/21502815∫︁208sin2 (1 + cos )6 = ( + )5 61 15 2 15 4=3+++2152816128(︂)︂Окончательно получаем}︂6 1268 158(+)(+)˙ = −23 () − Ω2 () =⟨⟩1512{︁}︁−2 42 3/2=3 () − Ω2 ()(1 − ),(1 − 2 )15/2 2 ( + )2{︂где15 2 +2313 () = 1 + 2 +22 () = 1 +45 45 + 6 ,816255 4 185 6 25 8 + + .8166453Вычисления для переменной :˙ = −2⟨⟩2}︂∫︁2 {︂1−2 (1 − 2 )3/2× 3( 2 − Ω) · 6 =20}︂∫︁2 {︂113 =( 2 − Ω) · 6 · =(1 + cos )2026 126 ∫︁(+)(1 + cos )6 −Ω(1 + cos )4 =1200(︂)︂8 15815 2 45 45 6 ( + )21+++ −=152816(︂)︂3 6 12 ( + )62 1 + 32 + 4−Ω128 8 15 ( + )8=15∫︁2Усредненое уравнение для перемененной имеет вид:}︂6 1268 158(+)(+)˙ = −2 (1−2 )3/22 () − Ω1 () =⟨⟩1512{︁}︁−2 42 3/22 () − Ω1 ()(1 − )=(1 − 2 )6 2 ( + )2{︂38С учетом соотношенийгде 1 () = 1 + 32 + 4 .√︃2 2 3 ( + )2=, = 1− 232 2218 ( + )43()2722 =, =()0 , =0105140получим замкнутую систему дифференциальных уравнений относительнопеременных и в виде:{︁}︁Δ1 42 3/23 () − Ω2 ()(1 − )(1 − 2 )15/2{︁}︁4Δ⎪123/2⎪2 () − Ω1 ()(1 − )⎩˙ =(1 − 2 )6⎧⎪⎪⎨˙ =,(1.67)54−27()2 0где Δ1 =.70( + )Так как{︂ 2}︂34/31˙ ˙ =˙ = − 2/3,˙ − 2 ˙ ,32/3 ( + ) √︀ 2/3 ( + )2/3 = 1 − 2 , =,1/3то используя систему (1.67), можно получить замкнутую систему диф.уравнений, описывающую эволюцию среднего движения по орбите и эксцентриситета :⎧}︁3Δ2 16/3 {︁⎪2 3/2⎪3 () − Ω2 ()(1 − )⎨˙ =(1 − 2 )15/2}︁Δ2 13/3 {︁⎪2 3/2⎪⎩˙ =Ω5 ()(1 − ) − 4 ()(1 − 2 )13/2где Δ2 =,(1.68)27()0,70 2/3 ( + )5/3135 2 135 4 45 6 + + ,486411 33 2 11 45 () =+ + .24164 () = 9 +На рис.
1.6 изображен фазовый портрет системы уравнений (1.68) вплоскости безразмерных переменных (, ˜ ), где ˜ = Ω−1 , т.е. для диф.уравнения˜3˜=−(1 − 2 ){︂}︂(1 − 2 )3/2 2 () − ˜ 3 ().(1 − 2 )3/2 5 () − ˜ 4 ()Стрелками указано направление движения по интегральным кривым. Пунктирными линиями изображены кривые, в точках которых интегральныекривые имеют касательные, параллельные координатным осям.На фазовом портрете имеется кривая с началом в точке (1; 0) и с концомв точке (0; 1), которая разбивает фазовую плоскость на две части.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
