Главная » Просмотр файлов » Диссертация

Диссертация (1091538), страница 9

Файл №1091538 Диссертация (Моделирование приливной эволюции орбитального движения спутника в гравитационном поле вязкоупругой планеты) 9 страницаДиссертация (1091538) страница 92018-01-18СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

В этой главе будут получены и исследованы уравнениядвижения спутника без этого ограничения.§2.1. Стационарное движение спутника и его устойчивость для неограниченной задачиРассмотрим задачу о движении системы планета-спутник в гравитационном поле сил, когда планета моделируется вязкоупругим телом, а спутник — материальной точкой. В главе 1 подробно изложена постановка задачи, асимптотическим методом разделения движения получена векторнаясистема дифференциальных уравнений, описывающая движение рассматриваемой механической системы с учетом возмущений, вызванных упругостью и диссипацией (1.34)–(1.35). Указанная система уравнений имеетпервый интеграл — закон сохранения момента количеств движения относительно общего центра масс (1.40).Вектор кинетического момента вязкоупругого шара относительно центра масс L, определяемый равенством (1.30), можно представить в виде:L = Γ + .

. . ,2 2 — момент инерции шара относительно диаметра, Γ — орто5 0гональный оператор перехода от подвижной системы координат 1 2 3 ксистеме осей Кёнига, — вектор угловой скорости планеты. Так как правые части уравнений (1.34)–(1.35) содержат только в возмущенной частипри 1 , то, сохраняя линейное приближение по малому параметру , в уравгде =65нениях (1.34)–(1.35) можно считать, что=1 −1Γ L.(2.1)Выражая вектор L из равенства (1.40) и учитывая (2.1), получим векторное дифференциальное уравнение, описывающее орбитальное движениеспутника:(2.2)R̈ = F0 + F1 + F2где ( + )R,3{︃(G0 − R × Ṙ)22(R, G0 )(G0 − R × Ṙ)F1 = −1R+−2 52 5}︂5R(R, G0 )2 6 −+ 8R ,2 7[︁]︁⎧⎫⎨ ṘG0 − R × Ṙ × R ⎬2˙+R−F2 = −2,⎩ 8 9⎭8F0 = −(2.3)3 2 ( + ), 2 = 6 1 , =1 =+Компоненты векторов R, Ṙ, G0 в уравнении (2.2) заданы в инерциальной системе координат , ось которой направим по вектору G0 .Тогда G0 = (0, 0, 0 ).

При выводе равенств (2.3) из (1.36), (1.37) былиучтены следующие соотношения:Γ =R,Γ˙ = (Γ)˙− [Γ × Γ] =(︂R[︃)︂·−(G0 − R × Ṙ) R×]︃Выпишем компоненты вектора R в сферических координатах , , : R =66( cos sin ; sin sin ; cos ) (см. рис. 1.3). Тогда]︁ [︁R × Ṙ =L = G0 −+⎞⎛ ⎞⎛˙⎜0⎟⎜cos cos sin · + sin · ˙ ⎟⎟⎜ ⎟ 2 ⎜⎟⎜ ⎟⎜=⎜ 0 ⎟+ ⎜sin cos sin · ˙ − cos · ˙ ⎟⎟⎜ ⎟ + ⎜⎠⎝ ⎠⎝2˙0− sin · Уравнения движения спутника в сферических координатах имеют вид:(︁)︁2¨ − ˙ 2 sin2 + ˙ 2 + ( + ) + 0 (1 − 3 cos2 ) + 6 + 18 ˙ +24 234)︁2 2 (︁ ˙ 2 220 ˙ 22+ 2sin+˙− sin = 0,(2.4) ( + )22 2 ( + ){︂(︂)︂6 2¨˙˙˙ sin + 2 sin + 2 ˙ cos ++ 1 sin · ˙ −7( + )}︂6 020−sin − 2 2cos · ˙ sin = 0,(2.5)7 ( + )(︂ )︂2(︂)︂2602¨ + 2˙ ˙ − ˙ sin cos − 4sin 2 ++ 1 ˙ +7( + )0+ 2sin 2 · ˙ = 0,(2.6) ( + )2{︂}︂где = 1 /.Будем искать стационарные решения системы(2.4)–(2.6),соответству-ющие такому движению спутника, когда:˙ = 0, ˙ = 0, ¨ = 0, sin ̸= 0Тогда из˙ =(2.5)получим0, + 2где =, из+(2.7)(2.6) = /2.

Из уравнения ( + )− ++24˙2(2.4)найдем = :}︂20 6 + 3 +22 2 ˙ 220 ˙+ 2− = 0, ( + )22 2 ( + ){︂(2.8)67Уравнение(2.8)поделим на ˙ 2 . С учетом соотношения(2.7)получим:(︂)︂2 ( + )− +2 2 + 2 + 2 +2(︂ 02)︂26 2 ++= 0,++203574(2.9)Стационарное решение = , ˙ =0, = /2, + 2где величина является корнем уравнения(2.10)(2.9),соответствует движе-нию спутника по круговой орбите радиуса в плоскости, ортогональнойвектору G0 .Так как уравнение(2.9)содержит малый параметр , то стационарноезначение будем искать в виде разложения по степеням : = 0 + 1 + 2 2 + . .

.Уравнение для функции 0 нулевого приближения по малому параметру имеет вид:(︂)︂ ( + )22 2−0 + 0 + 2 + 2 = 0200(2.11)Выразим 20 :20(︂)︂2 22= ( + ) 0 ++ 300Рассмотрим функцию (0 ) = 20 и найдём промежутки возрастанияи убывания этой функции с помощью производной:)︂232′ (0 ) = ( + ) 2 −− 4 =020(︂ 2 4)︂( 0 − 2 02 − 32= ( + )04(︂Стационарные точки функции определяются равенством2 2 − 2 − 32 = 0, ( = 02 )(2.12)68Квадратное уравнение1 =(2.12)имеет два корня3, 2 = −Так как √︃> 0, то функция (0 ) имеет одну стационарную точку * =√︂√︂36( + )1630= 0, (* ) = 2 0 . При 0 < * функция545 + (0 ) убывает, при 0 > * — возрастает. Следовательно уравнение (2.11)может иметь не более двух корней (рис.

2.1).Рис. 2.1Если 20 < (* ), то уравнение(2.11)решений не имеет, если 20 =(* ), то уравнение (2.11) имеет одно решение 0 = * , а если 20 > (* ),то уравнение (2.11) имеет два решения 1 и 2 , причем 1 < * < 2 .Исследуем устойчивость стационарного решения (2.10) в случае существования двух стационарных орбит. Положим = (1 + 1 ) , ˙ =0(1 + 2 ) , = /2 + 3 + 2и выпишем уравнения первого приближения возмущенного движения си-69стемы:⎧⎪⎪¨ + 31 ˙ 1 − 2 1 − 3 2 = 0⎪⎨ 1˙ 2 + 4 2 + 2˙ 1 + 5 1 = 0⎪⎪⎪⎩¨3 + 4 ˙ 3 + 6 3 = 0где 1 =(2.13)6 ,8(︂)︂)︂(︂204 22 ( + ) 42 2 =1++1++,538( + 2 )2{︂}︂(︂)︂220 21+, 4 = 1+1 ,3 =3( + 2 )2(︂(︂)︂)︂2 22 2201+ 55 =1 , 6 =+1.( + 2 )2Решение уравнений(2.13)будем искать в виде: = ( = 1, 2, 3).Получим характеристическое уравнение:⃒⃒⃒⃒⃒2 + 31 − 2 −3⃒0⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒ 2 + 5⃒=+04⃒⃒⃒⃒⃒⃒200 + 4 + 6 ⃒⃒(︀)︀ (︀)︀= 2 + 4 + 6 3 + (31 + 4 )2 + (31 4 − 2 + 23 ) + (3 5 − 2 4 ) = 0Квадратный трехчлен 2 + 4 + 6 имеет корни с отрицательной вещественной частью.

Рассмотрим кубическое уравнение3 + 1 2 + 2 + 3 = 0где 1 = 31 + 4 , 2 = 31 4 − 2 + 23 , 3 = 3 5 − 2 4 .Согласно критерию Гурвица, для того, чтобы все корни последнегоуравнения имели отрицательные вещественные части, необходимо и доста-70точно, чтобы все главные диагональные миноры матрицы⎞⎛⎜ 1 3 0 ⎟⎟⎜⎟⎜⎜ 1 2 0 ⎟⎟⎜⎠⎝0 1 3были положительными, т.е.

Δ1 = 1 > 0, Δ2 = 1 2 − 3 > 0, Δ3 = 3 Δ2 >0. Очевидно, что 1 = 31 + 4 > 0, рассмотрим Δ2 :1 2 − 3 = (31 + 4 )(31 4 − 2 + 23 ) − (3 5 − 2 4 ) == (31 + 4 )(31 4 + 23 ) − 3 5 − 31 2 == 921 4 + 31 24 + 61 3 + 23 4 − 31 2 − 3 5Отбрасывая члены второй малости по и учитывая, что 23 4 − 3 5 =3 (24 − 5 ) = 21 3 , получим:1 2 − 3 ≈ 81 3 − 31 2 ={︂}︂16203206 ( + )= 1 (83 − 32 ) ≈ 1−−3( + 2 )2 ( + 2 )2Из(2.11),выражая20 ( + ), окончательно получим:=3( + 2 )2Δ2 = 1 2 − 3 ≈7 ( + )42 2 ( + )=>01311Теперь определим знак 3 :3 = 3 5 − 2 4 ≈ 2{︃20}︃ (︂)︂2 ( + ) 21 −+ 1 1 =≈22 +3( + 2 ) ( + 2 ){︂}︂)︀ ( + ) 3 ( + ) ( + ) (︀2=−=−311334203имеем 3 > 0, и, согласно критериюГурвица стационарное решение (2.10) асимптотически устойчиво, а приТаким образом, при 02 >713значение 3 меньше нуля, и стационарное решение (2.10) неустойчиво.

Это означает, что стационарное движение по орбите меньшего радиуса 1 является неустойчивым, а по орбите большего радиуса 2 асимптотически устойчивым.02 <§2.2. Эволюционная система уравнений для неограниченной задачиВыделим потенциальную составляющую возмущающей силы F1 в уравнении(2.2)F1 = F10 + F11Здесь{︃2}︃2 (R, G0 ) G0 5R (R, G0 )6 −+R ,2 52 78(︁)︁⎧⎫⎨ 2 G0 , R × Ṙ − 2 [R × Ṙ]22 (R, G0 ) [R × Ṙ] ⎬= 1R+.⎩⎭2 52 5F10 = −1F1120R2 5+Имеют место равенстваF0 = grad 0 , F10 = grad 1{︂}︂ ( + )20(R, G0 )20 =, 1 = 1+−.6 32 32 5Получим систему уравнений движения спутника в переменных Делоне, , , , , ℎ [6].

Компоненты вектора R в переменных Делоне в системекоординат 1 2 3 имеют вид:R = ( , , ) , = (cos( + ) cos ℎ − sin( + ) cos sin ℎ), = (cos( + ) sin ℎ + sin( + ) cos cos ℎ), = sin( + ) sin ,(2.14)722cos = , =, =0 2 (1 + cos )√︃1−22, 0 = ( + )где — эксцентриситет орбиты спутника, — долгота перигелия от восходящего узла, — истинная аномалия, зависящая от переменных , , ,через соотношенияcos = + cos ,1 + cos = − sin ,в которых — средняя аномалия, — эксцентрическая аномалия.Невозмущенный гамильтониан задачи о движении спутника под действием силы F0 в переменных Делоне имеет вид:0 = −02 3,22а дополнительный член возмущенного гамильтониана равен 1 = −1 ;вектор R определяется равенством(2.14),при этом его модуль — функ-ция переменных , , .В переменных Делоне дополнительный член 1 гамильтониана приметвид:{︂1 = 1202 3)︂(︂}︂122− 6sin ( + )(1 − 2 ) −3Канонические уравнения возмущенного движения в переменных Делоне имеют вид:1˙ = −+ ,1˙ = −+ ,1˙ = −+ ℎ ,ℎ 2 3˙ = + 1 − ; = 031˙ = − ,1ℎ̇ = − ,Обобщенные силы , ..., определяются из выражения для элементарной работы: = (F11 + F2 , R) == ( + + ℎ ℎ + + + ) .(2.15)73RRR, = (F11 + F2 ) ·, ℎ = (F11 + F2 ) ·,ℎRRR, = (F11 + F2 ) ·, = (F11 + F2 ) · = (F11 + F2 ) · = (F11 + F2 ) ·Выражения для обобщенных сил имеют вид:{︂}︂ 2 = 1 2 420 −− {︂(︂)︂}︂20 sin 1 0 − 8 3+ (+ 2) − 2 1 0 = − 6 ((+ 2) −) 02 ℎ = −1 2 3 sin(2( + ))(1 − 2 ) − {︂(︂)︂}︂22 01 2− 6sin ( + )(1 − 2 ) − 1 + (+ 2) 2 102 0 = −1 2 3 sin2 ( + ) + 6 sin(2 + 2) 2{︂(︂)︂}︂2 20 220 −+sin ( + ) − = 1 2 4 {︂}︂20 sin 1 0 10 − 6 3·+ ((+ 2) −)+ sin(2 + 2)2 2 2После вычисления обобщенных сил и усреднения правых частей канонических уравнений по «быстрой» угловой переменной получим замкнутую систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительнопеременных «действие» , , и медленных угловых переменных , ℎ˙ = 1 4 Λ2 (cos , , ), ˙ = 1 4 Λ1 (cos , , ){︃40 − cos 1 (1 − 2 )3/2 1 () − 2 () cos −˙ =26(1 − )}︃0[︀]︀−(1 − 2 )3/2 sin2 4 () + 25 () sin2 2747/32 (1 − 2 )5˙ ={︃20 (︀)︀1522 35cos−1(1−)+4 ()222( + )}︃−3 24 13/3 0− 2[30 cos − ] +5 () cos sin(2)(1 − 2 )5 (1 − 2 )3/222 7/3 03 2 04 13/3 0ℎ̇ = −cos +−5 () sin(2)(1 − 2 )2 2(1 − 2 )3/2 2 (1 − 2 )5 ЗдесьΛ (cos , , ) ={︃= (1 − 2 )−3(3+)/2}︃0 cos − (1 − 2 )3/2 () − +1 ()27()2 019()02/31 =,=,=,, 2 =32402/32/370( + )1400201545531 () = 1 + 32 + 4 , 2 () = 1 + 2 + 4 + 68281631 2 255 4 185 6 25 83 () = 1 + + + + ,28166433314 () = 1 + 2 + 4 , 5 () = 2 + 42824Используя полученную эволюционную систему уравнений движения впеременных Делоне, можно получить эволюционную систему уравненийорбитального движения спутника в безразмерных переменных 0 , , , ,ℎ, где 0 = −10 .

Характеристики

Список файлов диссертации

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6489
Авторов
на СтудИзбе
303
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее