Диссертация (1091538), страница 9
Текст из файла (страница 9)
В этой главе будут получены и исследованы уравнениядвижения спутника без этого ограничения.§2.1. Стационарное движение спутника и его устойчивость для неограниченной задачиРассмотрим задачу о движении системы планета-спутник в гравитационном поле сил, когда планета моделируется вязкоупругим телом, а спутник — материальной точкой. В главе 1 подробно изложена постановка задачи, асимптотическим методом разделения движения получена векторнаясистема дифференциальных уравнений, описывающая движение рассматриваемой механической системы с учетом возмущений, вызванных упругостью и диссипацией (1.34)–(1.35). Указанная система уравнений имеетпервый интеграл — закон сохранения момента количеств движения относительно общего центра масс (1.40).Вектор кинетического момента вязкоупругого шара относительно центра масс L, определяемый равенством (1.30), можно представить в виде:L = Γ + .
. . ,2 2 — момент инерции шара относительно диаметра, Γ — орто5 0гональный оператор перехода от подвижной системы координат 1 2 3 ксистеме осей Кёнига, — вектор угловой скорости планеты. Так как правые части уравнений (1.34)–(1.35) содержат только в возмущенной частипри 1 , то, сохраняя линейное приближение по малому параметру , в уравгде =65нениях (1.34)–(1.35) можно считать, что=1 −1Γ L.(2.1)Выражая вектор L из равенства (1.40) и учитывая (2.1), получим векторное дифференциальное уравнение, описывающее орбитальное движениеспутника:(2.2)R̈ = F0 + F1 + F2где ( + )R,3{︃(G0 − R × Ṙ)22(R, G0 )(G0 − R × Ṙ)F1 = −1R+−2 52 5}︂5R(R, G0 )2 6 −+ 8R ,2 7[︁]︁⎧⎫⎨ ṘG0 − R × Ṙ × R ⎬2˙+R−F2 = −2,⎩ 8 9⎭8F0 = −(2.3)3 2 ( + ), 2 = 6 1 , =1 =+Компоненты векторов R, Ṙ, G0 в уравнении (2.2) заданы в инерциальной системе координат , ось которой направим по вектору G0 .Тогда G0 = (0, 0, 0 ).
При выводе равенств (2.3) из (1.36), (1.37) былиучтены следующие соотношения:Γ =R,Γ˙ = (Γ)˙− [Γ × Γ] =(︂R[︃)︂·−(G0 − R × Ṙ) R×]︃Выпишем компоненты вектора R в сферических координатах , , : R =66( cos sin ; sin sin ; cos ) (см. рис. 1.3). Тогда]︁ [︁R × Ṙ =L = G0 −+⎞⎛ ⎞⎛˙⎜0⎟⎜cos cos sin · + sin · ˙ ⎟⎟⎜ ⎟ 2 ⎜⎟⎜ ⎟⎜=⎜ 0 ⎟+ ⎜sin cos sin · ˙ − cos · ˙ ⎟⎟⎜ ⎟ + ⎜⎠⎝ ⎠⎝2˙0− sin · Уравнения движения спутника в сферических координатах имеют вид:(︁)︁2¨ − ˙ 2 sin2 + ˙ 2 + ( + ) + 0 (1 − 3 cos2 ) + 6 + 18 ˙ +24 234)︁2 2 (︁ ˙ 2 220 ˙ 22+ 2sin+˙− sin = 0,(2.4) ( + )22 2 ( + ){︂(︂)︂6 2¨˙˙˙ sin + 2 sin + 2 ˙ cos ++ 1 sin · ˙ −7( + )}︂6 020−sin − 2 2cos · ˙ sin = 0,(2.5)7 ( + )(︂ )︂2(︂)︂2602¨ + 2˙ ˙ − ˙ sin cos − 4sin 2 ++ 1 ˙ +7( + )0+ 2sin 2 · ˙ = 0,(2.6) ( + )2{︂}︂где = 1 /.Будем искать стационарные решения системы(2.4)–(2.6),соответству-ющие такому движению спутника, когда:˙ = 0, ˙ = 0, ¨ = 0, sin ̸= 0Тогда из˙ =(2.5)получим0, + 2где =, из+(2.7)(2.6) = /2.
Из уравнения ( + )− ++24˙2(2.4)найдем = :}︂20 6 + 3 +22 2 ˙ 220 ˙+ 2− = 0, ( + )22 2 ( + ){︂(2.8)67Уравнение(2.8)поделим на ˙ 2 . С учетом соотношения(2.7)получим:(︂)︂2 ( + )− +2 2 + 2 + 2 +2(︂ 02)︂26 2 ++= 0,++203574(2.9)Стационарное решение = , ˙ =0, = /2, + 2где величина является корнем уравнения(2.10)(2.9),соответствует движе-нию спутника по круговой орбите радиуса в плоскости, ортогональнойвектору G0 .Так как уравнение(2.9)содержит малый параметр , то стационарноезначение будем искать в виде разложения по степеням : = 0 + 1 + 2 2 + . .
.Уравнение для функции 0 нулевого приближения по малому параметру имеет вид:(︂)︂ ( + )22 2−0 + 0 + 2 + 2 = 0200(2.11)Выразим 20 :20(︂)︂2 22= ( + ) 0 ++ 300Рассмотрим функцию (0 ) = 20 и найдём промежутки возрастанияи убывания этой функции с помощью производной:)︂232′ (0 ) = ( + ) 2 −− 4 =020(︂ 2 4)︂( 0 − 2 02 − 32= ( + )04(︂Стационарные точки функции определяются равенством2 2 − 2 − 32 = 0, ( = 02 )(2.12)68Квадратное уравнение1 =(2.12)имеет два корня3, 2 = −Так как √︃> 0, то функция (0 ) имеет одну стационарную точку * =√︂√︂36( + )1630= 0, (* ) = 2 0 . При 0 < * функция545 + (0 ) убывает, при 0 > * — возрастает. Следовательно уравнение (2.11)может иметь не более двух корней (рис.
2.1).Рис. 2.1Если 20 < (* ), то уравнение(2.11)решений не имеет, если 20 =(* ), то уравнение (2.11) имеет одно решение 0 = * , а если 20 > (* ),то уравнение (2.11) имеет два решения 1 и 2 , причем 1 < * < 2 .Исследуем устойчивость стационарного решения (2.10) в случае существования двух стационарных орбит. Положим = (1 + 1 ) , ˙ =0(1 + 2 ) , = /2 + 3 + 2и выпишем уравнения первого приближения возмущенного движения си-69стемы:⎧⎪⎪¨ + 31 ˙ 1 − 2 1 − 3 2 = 0⎪⎨ 1˙ 2 + 4 2 + 2˙ 1 + 5 1 = 0⎪⎪⎪⎩¨3 + 4 ˙ 3 + 6 3 = 0где 1 =(2.13)6 ,8(︂)︂)︂(︂204 22 ( + ) 42 2 =1++1++,538( + 2 )2{︂}︂(︂)︂220 21+, 4 = 1+1 ,3 =3( + 2 )2(︂(︂)︂)︂2 22 2201+ 55 =1 , 6 =+1.( + 2 )2Решение уравнений(2.13)будем искать в виде: = ( = 1, 2, 3).Получим характеристическое уравнение:⃒⃒⃒⃒⃒2 + 31 − 2 −3⃒0⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒ 2 + 5⃒=+04⃒⃒⃒⃒⃒⃒200 + 4 + 6 ⃒⃒(︀)︀ (︀)︀= 2 + 4 + 6 3 + (31 + 4 )2 + (31 4 − 2 + 23 ) + (3 5 − 2 4 ) = 0Квадратный трехчлен 2 + 4 + 6 имеет корни с отрицательной вещественной частью.
Рассмотрим кубическое уравнение3 + 1 2 + 2 + 3 = 0где 1 = 31 + 4 , 2 = 31 4 − 2 + 23 , 3 = 3 5 − 2 4 .Согласно критерию Гурвица, для того, чтобы все корни последнегоуравнения имели отрицательные вещественные части, необходимо и доста-70точно, чтобы все главные диагональные миноры матрицы⎞⎛⎜ 1 3 0 ⎟⎟⎜⎟⎜⎜ 1 2 0 ⎟⎟⎜⎠⎝0 1 3были положительными, т.е.
Δ1 = 1 > 0, Δ2 = 1 2 − 3 > 0, Δ3 = 3 Δ2 >0. Очевидно, что 1 = 31 + 4 > 0, рассмотрим Δ2 :1 2 − 3 = (31 + 4 )(31 4 − 2 + 23 ) − (3 5 − 2 4 ) == (31 + 4 )(31 4 + 23 ) − 3 5 − 31 2 == 921 4 + 31 24 + 61 3 + 23 4 − 31 2 − 3 5Отбрасывая члены второй малости по и учитывая, что 23 4 − 3 5 =3 (24 − 5 ) = 21 3 , получим:1 2 − 3 ≈ 81 3 − 31 2 ={︂}︂16203206 ( + )= 1 (83 − 32 ) ≈ 1−−3( + 2 )2 ( + 2 )2Из(2.11),выражая20 ( + ), окончательно получим:=3( + 2 )2Δ2 = 1 2 − 3 ≈7 ( + )42 2 ( + )=>01311Теперь определим знак 3 :3 = 3 5 − 2 4 ≈ 2{︃20}︃ (︂)︂2 ( + ) 21 −+ 1 1 =≈22 +3( + 2 ) ( + 2 ){︂}︂)︀ ( + ) 3 ( + ) ( + ) (︀2=−=−311334203имеем 3 > 0, и, согласно критериюГурвица стационарное решение (2.10) асимптотически устойчиво, а приТаким образом, при 02 >713значение 3 меньше нуля, и стационарное решение (2.10) неустойчиво.
Это означает, что стационарное движение по орбите меньшего радиуса 1 является неустойчивым, а по орбите большего радиуса 2 асимптотически устойчивым.02 <§2.2. Эволюционная система уравнений для неограниченной задачиВыделим потенциальную составляющую возмущающей силы F1 в уравнении(2.2)F1 = F10 + F11Здесь{︃2}︃2 (R, G0 ) G0 5R (R, G0 )6 −+R ,2 52 78(︁)︁⎧⎫⎨ 2 G0 , R × Ṙ − 2 [R × Ṙ]22 (R, G0 ) [R × Ṙ] ⎬= 1R+.⎩⎭2 52 5F10 = −1F1120R2 5+Имеют место равенстваF0 = grad 0 , F10 = grad 1{︂}︂ ( + )20(R, G0 )20 =, 1 = 1+−.6 32 32 5Получим систему уравнений движения спутника в переменных Делоне, , , , , ℎ [6].
Компоненты вектора R в переменных Делоне в системекоординат 1 2 3 имеют вид:R = ( , , ) , = (cos( + ) cos ℎ − sin( + ) cos sin ℎ), = (cos( + ) sin ℎ + sin( + ) cos cos ℎ), = sin( + ) sin ,(2.14)722cos = , =, =0 2 (1 + cos )√︃1−22, 0 = ( + )где — эксцентриситет орбиты спутника, — долгота перигелия от восходящего узла, — истинная аномалия, зависящая от переменных , , ,через соотношенияcos = + cos ,1 + cos = − sin ,в которых — средняя аномалия, — эксцентрическая аномалия.Невозмущенный гамильтониан задачи о движении спутника под действием силы F0 в переменных Делоне имеет вид:0 = −02 3,22а дополнительный член возмущенного гамильтониана равен 1 = −1 ;вектор R определяется равенством(2.14),при этом его модуль — функ-ция переменных , , .В переменных Делоне дополнительный член 1 гамильтониана приметвид:{︂1 = 1202 3)︂(︂}︂122− 6sin ( + )(1 − 2 ) −3Канонические уравнения возмущенного движения в переменных Делоне имеют вид:1˙ = −+ ,1˙ = −+ ,1˙ = −+ ℎ ,ℎ 2 3˙ = + 1 − ; = 031˙ = − ,1ℎ̇ = − ,Обобщенные силы , ..., определяются из выражения для элементарной работы: = (F11 + F2 , R) == ( + + ℎ ℎ + + + ) .(2.15)73RRR, = (F11 + F2 ) ·, ℎ = (F11 + F2 ) ·,ℎRRR, = (F11 + F2 ) ·, = (F11 + F2 ) · = (F11 + F2 ) · = (F11 + F2 ) ·Выражения для обобщенных сил имеют вид:{︂}︂ 2 = 1 2 420 −− {︂(︂)︂}︂20 sin 1 0 − 8 3+ (+ 2) − 2 1 0 = − 6 ((+ 2) −) 02 ℎ = −1 2 3 sin(2( + ))(1 − 2 ) − {︂(︂)︂}︂22 01 2− 6sin ( + )(1 − 2 ) − 1 + (+ 2) 2 102 0 = −1 2 3 sin2 ( + ) + 6 sin(2 + 2) 2{︂(︂)︂}︂2 20 220 −+sin ( + ) − = 1 2 4 {︂}︂20 sin 1 0 10 − 6 3·+ ((+ 2) −)+ sin(2 + 2)2 2 2После вычисления обобщенных сил и усреднения правых частей канонических уравнений по «быстрой» угловой переменной получим замкнутую систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительнопеременных «действие» , , и медленных угловых переменных , ℎ˙ = 1 4 Λ2 (cos , , ), ˙ = 1 4 Λ1 (cos , , ){︃40 − cos 1 (1 − 2 )3/2 1 () − 2 () cos −˙ =26(1 − )}︃0[︀]︀−(1 − 2 )3/2 sin2 4 () + 25 () sin2 2747/32 (1 − 2 )5˙ ={︃20 (︀)︀1522 35cos−1(1−)+4 ()222( + )}︃−3 24 13/3 0− 2[30 cos − ] +5 () cos sin(2)(1 − 2 )5 (1 − 2 )3/222 7/3 03 2 04 13/3 0ℎ̇ = −cos +−5 () sin(2)(1 − 2 )2 2(1 − 2 )3/2 2 (1 − 2 )5 ЗдесьΛ (cos , , ) ={︃= (1 − 2 )−3(3+)/2}︃0 cos − (1 − 2 )3/2 () − +1 ()27()2 019()02/31 =,=,=,, 2 =32402/32/370( + )1400201545531 () = 1 + 32 + 4 , 2 () = 1 + 2 + 4 + 68281631 2 255 4 185 6 25 83 () = 1 + + + + ,28166433314 () = 1 + 2 + 4 , 5 () = 2 + 42824Используя полученную эволюционную систему уравнений движения впеременных Делоне, можно получить эволюционную систему уравненийорбитального движения спутника в безразмерных переменных 0 , , , ,ℎ, где 0 = −10 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
