Диссертация (1091538), страница 13
Текст из файла (страница 13)
3.4 представлен график функции 10 ( ), описывающей приливные деформации для точки на экваторе рассматриваемой двуслойной модели Земли за 30 суток. В начальный момент времени Солнце, Земля, Лунанаходились на одной прямой, причем Солнце и Луна — по разные стороныЗемли, при этом на поверхности Земли взята точка с нулевыми значениями широты и долготы ( = 0, = 0, 1 (0) = 0, 2 (0) = 0, 2 (0) = 0).Амплитуда колебаний точки зависит от фазы Луны.2′ =Рис. 3.4. Приливные деформации на экваторе планеты (= 0, = 0)107Одно деление по оси абсцисс соответствует одному обороту планетывокруг своей оси.
Таким образом, видно, что за одни сутки в среднем имеемдва максимума и два минимума приливной деформации.На рис. 3.5, 3.6 изображены графики функции 10 ( ) для точки поверхности планеты, расположенной на широтах 30∘ и 60∘ соответственно.Графики построены c использованием Python библиотеки matplotlib.Рис. 3.5. Приливные деформации на широте30∘ ( = /6, = 0)Рис. 3.6. Приливные деформации на широте60∘ ( = /3, = 0)108§3.2.3.
Приливные деформации планеты в гравитационном полеспутникаРассмотрим деформацию планеты, вызванную только влиянием спутника, без учета притягивающего центра. Т.е. в функции 10 (r , ) оставимтолько второе слагаемое:311 (r , ) = 30 (1 + 2 cos 2 )(︁)︁3 ( 2 , e ) − 1 .2(3.37)Построены графики функции 11 (r , ) на примере параметров системы «Земля-Луна» для двух случаев, когда угол наклона экватора Земли кеё орбите 0 = 0∘ (рис. 3.7–3.9) и 0 = 23, 45∘ (рис. 3.10–3.12). В начальныймомент времени Луна находилась в перицентре.Рис.
3.7. Приливные деформации на экваторе планеты (0 = 0∘= 0, = 0),Можно выделить два периода изменения функции на графиках. Короткопериодические изменения: локальные максимумы функции соответствуют случаю, когда планета повернута исследуемой точкой к спутнику и когда точка находится на противоположной стороне планеты. Период этих колебаний соответствует половине периоду обращения планеты вокруг своей оси, т.е. наблюдаются полусуточные приливы.
В формуле(3.37)за это отвечает множитель 3( 2 , e )2 − 1 . Скалярное произведение(︀)︀( 2 , e ) равно косинусу угла между вектором, направленным на спутник,и вектором, направленным на выбранную точку на поверхности планеты,обозначим данный угол за . Таким образом, экстремумы на графиках со-109Рис. 3.8. Приливные деформации на широте30∘ ( = /6, = 0), 0 = 0∘Рис. 3.9. Приливные деформации на широте60∘ ( = /3, = 0), 0 = 0∘ответствуют экстремумам cos2 (для случая 0 = 0∘ это углы 0, и /2,3/2, соответственно). На графиках точки ( 2 , e ) соответствуют максимуму cos , а ( 2 , e ) — минимуму cos .
Для случая 0 = 0∘ и точекна экваторе эти значения совпадают.Имеются и долгопериодические изменения. Ввиду того, что спутниквращается по эллиптической орбите, то так же имеются глобальные перепады максимумов и минимумов. Наибольший максимум соответствуетслучаю нахождению спутника в перицентре, наименьший перепад уровней- спутник в апоцентре (для случая нулевого наклонения орбиты спутника).Период соответствует периоду обращения спутника по орбите. В формуледля компонента 11 (r , ) за это отвечает множитель (1 + 2 cos 2 )3 .110Деформация планеты больше со стороны, направленной на спутник.В случае, когда угол наклона экватора планеты равен 0∘ , при выбореточки планеты выше некоторой широты колебания максимумов и минимумов деформации могут стать отрицательными (рис. 3.9).В случае ненулевого угла наклона закон изменения высоты приливногогорба усложняется (рис.
3.11–3.12). Колебания максимумов и минимумовимеют разные составляющие, зависящие от значения скалярного произведения ( 2 , e ). В большинстве максимумов на графиках значение | cos |не достигает единицы.Колебания минимумов соответствуют половине периода вращения планеты /2. Характер колебаний максимумов меняется в половину этогопериода, т.е. /4.Рис.
3.10. Приливные деформации на экваторе планеты (= 0, = 0),0 = 23, 45∘§3.3. Возмущенная система уравнений движенияДля построения возмущенной системы уравнений движения механической системы «планета-спутник» линеаризуем уравнения (3.8)–(3.9) по ком-111Рис. 3.11. Приливные деформации на широте30∘ ( = /6, = 0)Рис.
3.12. Приливные деформации на широте60∘ ( = /3, = 0)понентам вектора u: ( + )R+3∫︁3 ( + )+Γ [5(, r)(, u) − (r, u) − r(, u) − u(, r)] 1 1 = 0,4R̈ +1(3.38)L̇ −3 Γ3∫︁[[u × ](, r) + [r × ](, u)] 1 1 = 0.(3.39)1Подставим в уравненияравенством(3.14)(3.38), (3.39)u = u1 , где u1 определяетсяи вычислим тройные интегралы по области 1 . Будем112использовать сферические координаты (, , ). Для перехода к сферическим координатам используются следующие формулы: = sin cos , = sin sin , = cos ; якобиан равен = 2 sin .∫︁∫︁ ∫︁ ∫︁(*)1 =1(*)2 sin 1Проводить вычисления будем отдельно по каждому компоненту вектораu1 = u10 + u11 + u12 . Рассмотрим сначала интеграл из уравнения (3.38).Для u10 :(︃)︃∫︁442(r, u10 )1 = − 1 2(17 − 07 )1 + (15 − 05 )2 + 2(12 − 02 )3 3751∫︁∫︁r(, u10 )1 =1∫︁u10 (, r)1 =1(, r)(, u10 )1 =1∫︁(r, u10 )1311Таким образом∫︁[5(, r)(, u10 ) − (r, u10 ) − r(, u10 ) − u10 (, r)] 1 = 01Для u11 получим следующий результат:∫︁(r, u11 )1 = 0,1∫︁∫︁r(, u11 )1 =1∫︁11u11 (, r)1 = −1 ( 2 − (, )),311(, r)(, u11 )1 = −1 ( 2 − (, )2 ),3113где14(1 + 2 ),35(︃ )︃1 71231 = (1 − 07 ) + (15 − 05 ) + (12 − 02 ) + 4 ln,7520(︃ )︃5612 = (17 − 07 ) + (12 − 02 ) + 7 ln.720=∫︁[5(, r)(, u11 ) − (r, u11 ) − r(, u11 ) − u11 (, r)] 1 =1= 1 (−5 (, )2 + 2 + 2(, ))Вектор u12 ≈ u120 − u̇120 можно представить следующим образом:(︃)︃ (︂ {︂}︂{︂}︂ )︂3 1111˜1u12 ≈ −r − (, r) + ˜22 − (, r)2 r −3362}︁)︁3 1 (︁˜ {︁ ˙˙˜˙−1 (, r) + (, r) + 2 (, r)(, r)r ,3)︂(︂)︂(︂4673где ˜1 = 1 2 + 2 + 3 + 5 , ˜2 = 5 + 5 + 7 .3˙1+∫︁[5(, r)(, u12 ) − (r, u12 ) − r(, u12 ) − u12 (, r)] 1 =1(︃)︃6 13˙6 1 ˙=1++ =33[︃(︃)︃]︃˙6 13=1+ + ˙3Окончательно получаем:∫︁[5(, r)(, u) − (r, u) − r(, u) − u(, r)] 1 1 =1{︃6 = 21 −5 (, )2 + 2 + 2(, ) + 3[︃(︃3˙1+)︃]︃}︃ + ˙114Для интеграла из уравнения(3.39)имеем:∫︁[[u10 × ](, r) + [r × ](, u10 )] 1 = 01∫︁[[u11 × ](, r) + [r × ](, u11 )] 1 = −21 ( , ) [ × ]1∫︁]︁6 1 [︁ ˙[[u12 × ](, r) + [r × ](, u12 )] 1 = − ×31Таким образом:∫︁[[u × ](, r) + [r × ](, u)] 1 1 =1=−221 (︂)︂]︁3 [︁ ˙ × + ( , ) [ × ]3Получили векторную систему дифференциальных уравнений, описывающую поступательно-вращательное движение системы «планета-спутник»с учетом возмущений, вызванных упругостью и диссипацией: ( + )3 ( + )21 R̈ +R+Γ {−5 (, )2 + 2 + 2(, )+43 }︃(︃)︃6 3˙6 ˙+ 3 1++ = 0,(3.40)3{︂}︂]︁6 21 3 [︁ ˙L̇ +Γ × + ( , ) [ × ] = 0,(3.41)33417(, ),105(1 + ) {︀(, ) =−16(9 + 14)17 − 200(3 + 8)14 + 672(4 + 9)12 −Δ0−(210 2 + 3044 + 5824)10 + (525 2 + 1256 + 1576)7 +}︀+ 84(17 + 12)5 − 25(21 2 + 92 + 56)3 + 210 2 + 716 + 416 .=Система уравнений(3.40)–(3.41)имеет первый интеграл — закон сохра-нения момента количеств движения системы «планета-спутник» относи-115тельно общего центра масс: R × Ṙ + L = G0 ,(3.42), G0 — постоянный вектор.+Полученная возмущенная система уравнений движения (3.40)–(3.41)совпадает с полученной в главе 1 системой уравнений (1.32)–(1.33).
Различие состоит в коэффициенте , характеризующем вязкоупругие свойствапланеты. Это означает, что динамика рассматриваемой в данной главе механической системы не отличается от динамики системы планета-спутник,когда планета моделируется вязкоупругим шаром.где =116ЗАКЛЮЧЕНИЕПроведено исследование орбитального движения спутника в гравитационном поле вязкоупругой планеты, когда планета моделируется однородным изотропным вязкоупругим телом, имеющим шаровую форму в естественном недеформированном состоянии, либо телом, состоящим из твердого ядра и прикрепленной к нему вязкоупругой оболочки, а спутник –материальной точкой.Основные результаты диссертации∙ Получена система обыкновенных дифференциальных уравнений ввекторном виде, описывающая поступательно-вращательное движение системы планета-спутник с учетом возмущений, вызванных упругостью и диссипацией.∙ Описана форма вращающейся вязкоупругой планеты с ядром на основе решения квазистатической задачи теории упругости для деформируемой оболочки планеты.∙ Найдены стационарные решения уравнения орбитального движенияспутника и исследована их устойчивость.
Для ограниченной постановки задачи, когда вектор угловой скорости вращения планеты постоянен, стационарное решение соответствует движению спутника покруговой орбите в экваториальной плоскости планеты с угловой скоростью, равной угловой скорости вращения планеты. Показано, чтоэто стационарное движение является неустойчивым. Для неограниченной постановки задачи стационарное решение соответствует движению спутника по круговой орбите в плоскости, ортогональной постоянному вектору, при этом число стационарных орбит не можетбыть более двух.
Показано, что в случае существования двух стационарных орбит стационарное решение, соответствующее движениюпо орбите большего радиуса, асимптотически устойчиво, а по орбитеменьшего радиуса – неустойчиво.∙ Получена эволюционная система уравнений, описывающая изменениепараметров орбиты спутника на основе усредненной системы урав-117нений движения в переменных Делоне. Построены фазовые портреты.
Для ряда планет Солнечной системы и их спутников проведеночисленное интегрирование и построены графики зависимости среднего движения, эксцентриситета, наклонения орбиты от времени. Проведен сравнительный анализ с результатами других исследователейприливной эволюции орбитального движения небесных тел.∙ Проведено исследование приливных деформаций планеты, состоящейиз твердого ядра и жестко прикрепленной к нему вязкоупругой оболочки, в гравитационном поле притягивающего центра и спутника.Получена скалярная функция, описывающая деформации в фиксированной точке поверхности планеты в зависимости от времени. Построены графики этой функции для планеты «Земля», движущейсяв гравитационном поле Солнца и Луны.∙ Написана программа визуализации движения спутника, интерфейскоторой имеет следующие зоны и компоненты: 1) графики изменения эксцентриситета, наклонения и большой полуоси орбиты спутника в зависимости от времени для эволюционной системы уравнений;2) слайдер для перемещения по интервалу времени, 3) 3D анимированное изображение движение спутника относительно планеты.118СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
