Диссертация (1091538), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Указанная система уравнений имеет вид:˙ 0 =˙ =16/33Δ1 0−(1 − 2 )15/213/3Δ1 0 (1 − 2 )13/2{︃[︃cos −{︃[︃13/3Δ1 0 sin =−(1 − 2 )5cos −{︂1+21/301/30(︂]︃}︃(1 − 2 )1/2 · 2 () · (1 − 2 )3/2 − 0 · 3 () ,]︃}︃(1 − 2 )1/2 · 5 () · (1 − 2 )3/2 − 0 · 4 () ,9 3 2− sin 4 2)︂2 +(︂51− sin2 16 4)︂4}︂,(2.16)75{︂ 2}︂13/3Δ1 043˙ =· cos · sin 2 ·+−(1 − 2 )548{︃}︃2Δ2 0−3 cos − 1/3 (1 − 2 )1/2 +23/2(1 − )0{︂(︂)︂}︂7/31152032 4Δ3 0 sin 52cos − +1++,+(1 − 2 )222 ( + )(1 − 2 )328{︂ 2}︂13/37/3Δ1 034Δ2 20Δ3 0 cos · sin 2 ·++−.ℎ̇ = −(1 − 2 )548(1 − 2 )2(1 − 2 )3/2Здесь Δ1 ==182 ( +2/31/3 0 ,4/302/3)0(︂0)︂16/332 3032 , Δ2 =, Δ3 =2/3( + )40(︂0)︂13/315 2 45 4 5 631255 4 185 6 25 8 + + , 3 () = 1 + 2 + + + ,2816281664135 2 135 4 45 611 33 2 11 44 () = 9 + + + , 5 () =+ + .486424162 () = 1 +§2.3. Частные случаи движения спутника и их устойчивостьРассмотрим два частных случая движения спутника.Рис.
2.2. Фазовый портрет для случая ≡ 0, = 0.375,76Случай 1: наклонение орбиты спутника ≡ 0. Тогда два первых уравне-ния системы (2.16) образуют замкнутую систему дифференциальных уравнений:16/33Δ1 0˙ 0 = −(1 − 2 )15/2{︃[︃1−1/30]︃}︃(1 − 2 )1/2 · 2 () · (1 − 2 )3/2 − 0 · 3 () ,(2.17)˙ =13/3Δ1 0 (1 − 2 )13/2{︃[︃1−]︃1/30}︃(1 − 2 )1/2 · 5 () · (1 − 2 )3/2 − 0 · 4 () .Стационарные решения системы(2.17): = 0, 0 = 0* , где значение0* является корнем уравнения0 +1/30=1(2.18)Если > 3 · 4−4/3 , то уравнение(2.18)решений не имеет.
При =3 · 4−4/3 уравнение (2.18) имеет одно решение 0 = 1/4. Если < 3 · 4−4/3 ,то уравнение (2.18) имеет два решения 01 и 02 : 01 < 1/4 < 02 . В случаесуществования двух стационарных решений исследуем их устойчивость наоснове уравнений в вариациях. Положим 0 = 0 + 1 , = 2 ( = 1, 2).Тогда{︃}︃16/3˙ 1 = −3Δ1 0− 1 · 1 ,(2.19)4/33{︃ [︃ 0}︃]︃1113/3˙ 2 = Δ1 01 − 1/3 − 90 · 2 .20Решение уравнений(2.19)будем искать в виде:{︁}︁13/31 = 1 exp Δ1 0 ,{︁}︁13/32 = 2 exp Δ1 0 ,где 1 , 2 — произвольные постоянные. Характеристическое уравнениедля величины имеет вид:(︃ + 30[︃4/330]︃)︃ (︃−1·11−2(︃1−4/30)︃)︃+ 90= 0.(2.20)77С учетом равенстванения(2.18)получим следующие значения корней урав-(2.20):1 = 40 − 1,2 = −3.50 < 0.Так как 1 < 0 при = 1 и 1 > 0 при = 2, то стационарное решение = 0, 0 = 01 асимптотически устойчиво, а стационарное решение = 0, 0 = 02 неустойчиво.
На рисунке 2.2 изображен фазовый портретсистемы уравнений (2.17) для = 0.375.На рисунках 2.3, 2.4, 2.5 представлены фазовые портреты при значениях = 0.31, = 0.2 и = 1 · 10−4 соответственно. Видно, что при уменьшении значения фазовый портрет становится схожим с фазовым портретомсистемы уравнений (1.68) для случая ограниченной задачи (рис. 1.6).
Изтаблицы 2.1 видно, что для рассмотренных систем планета-спутник значение достаточно мало. Таким образом, ограниченная задача являетсяхорошим приближением для рассматриваемой полной задачи.Рис. 2.3. Фазовый портрет для случаяСлучай 2 ≡ 0, = 0.31: эксцентриситет орбиты спутника ≡ 0. В этом случае по-лучим замкнутую систему дифференциальных уравнений второго порядка78Рис. 2.4. Фазовый портрет для случая ≡ 0, = 0.2относительно переменных 0 , :{︃16/3˙ 0 = −3Δ1 0cos −1/30}︃− 0,113/3= − Δ1 0 sin .2(2.21)Стационарные решения системы (2.21): 0 = 0* , = 0, где 0* — кореньуравнения(2.18).В зависимости от значения параметра уравнение(2.18)либо не имеет решений, либо имеет одно решение, либо имеет два решения 01 и 02 .
Так же, как и в случае 1, стационарное решение 0 = 01 , = 0 асимптотически устойчиво, а стационарное решение 0 = 02 , = 0неустойчиво. Фазовый портрет системы уравнений (2.21) при значении параметра = 0.375 изображен на рисунке 2.6.В таблице 2.1 представлены численные значения параметра , стационарные значения 01 , 02 и значение величины 0 = 0 (0) в настоящее время для различных систем «планета-спутник». Безразмерная переменнаяпропорциональна среднему движению спутника по орбите и связана с боль)︀2/31/3 (︀шой полуосью орбиты спутника соотношением: = 0 / 0 −1 0.Для всех приведенных примеров, за исключением системы Марс-Фобос,имеет место двойное неравенство: 01 < 0 (0) < 02 .
Согласно первому уравнению системы (2.17) значение переменной 0 во время движенияуменьшается. Это означает, что большие полуоси орбит спутников увеличиваются, стремясь к асимптотически устойчивым стационарным значениям. При этом текущее значение 0 (0) ближе к асимптотически устойчивому79Рис. 2.5. Фазовый портрет для случая ≡ 0, = 1 · 10−4Таблица 2.1. Стационарные значения средних движений по орбите дляспутников планет Солнечной системыПланета-спутник0 (0)0102Земля-Луна0.155357.2589 · 10−33.7922 · 10−30.83503Марс-Фобос1.5235 · 10−63.21713.5358 · 10−18 1−1.5235·10−6Марс-Деймос2.5391 · 10−78.1268 · 10−11.6369 · 10−20 1−2.5391·10−7Юпитер-Ио5.8980 · 10−40.23352.0517 · 10−10 0.9994Юпитер-Европа3.1685 · 10−40.11633.1811 · 10−11 0.9997Юпитер-Ганимед9.7643 · 10−45.7650 · 10−29.3093 · 10−10 0.9990Юпитер-Каллисто7.0902 · 10−42.4717 · 10−23.5644 · 10−10 0.9993значению 01 . Для системы Марс-Фобос 01 < 02 < 0 (0).
Значение переменной 0 увеличивается. Это означает, что Фобос приближается к Марсу.80Рис. 2.6. Фазовый портрет для случая≡0§2.4. Медленная диссипативная эволюция движения спутникаУсредним уравнения системы(2.16)по переменной . Первое и второеуравнения системы сохранят свой вид. Для остальных имеем:⟨*⟩ =1∫︁2* 2013/3Δ1 0 sin 1 (),⟨ ⟩ = −2(1 − 2 )57/3Δ2 20Δ3 0 cos ⟨ℎ⟩ =−(1 − 2 )2(1 − 2 )3/2Рассмотрим эволюционную систему уравнений орбитального движенияспутника в безразмерных переменных 0 , , , где 0 = −10 . Указаннаясистема уравнений имеет вид:81˙ 0 =˙ =16/33Δ1 0−(1 − 2 )15/213/3Δ1 0 (1 − 2 )13/2{︃[︃cos −{︃[︃cos −1/301/30]︃}︃(1 − 2 )1/2 · 2 () · (1 − 2 )3/2 − 0 · 3 () ,]︃}︃(1 − 2 )1/2 · 5 () · (1 − 2 )3/2 − 0 · 4 () ,13/3Δ1 0 sin =−1 (),2(1 − 2 )5Здесь Δ1 =182 2/3)0(2.22)(︂0)︂16/32/3,=1/3 0 4/30,( +31 () = 1 + 32 + 4 ,8154552 () = 1 + 2 + 4 + 6 ,281631255 4 185 6 25 83 () = 1 + 2 + + + ,281664135 2 135 4 45 6 + + ,4 () = 9 +486411 33 2 11 45 () =+ + .2416Для частных случаев планет и их спутников Солнечной системы проведено численное интегрирование системы эволюционных уравнений (2.22)в будущее с помощью программного комплекса GNU Octave и построеныграфики (рис.2.7.), отражающие эволюцию эксцентриситета , наклонения и безразмерного параметра 0 , пропорционального среднему движениюпо орбите.
При интегрировании использовался следующий масштаб времени:˜ = Δ1 ,˙ == ˜1 ⇒=,˜ ˜ Δ1 где Δ1 зависит от физических параметров, упругих и диссипативных свойствпланеты.Физические параметры систем на начальный момент взяты из [36].Для большинства рассмотренных систем (Юпитер-Ио, Юпитер-Европа,Юпитер-Ганимед, Юпитер-Каллисто, Марс-Деймос, Сатурн-Титан) каче-82ЮК = 1 · 1011 ˜(сек)−4Марс-Фобос, МФ = 1, 625 · 10 ˜(сек)12в) Земля-Луна, ЗЛ = 2 · 10 ˜(сек)Рис. 2.7. а) Юпитер-Калисто,б)ственное поведения орбитальных параметров довольно схоже и имеет вид,аналогичный представленному для системы Юпитер-Калисто на рис.2.7.а.:эксцентриситет увеличивается до единицы, параметр уменьшается до нуля, наклонение уменьшается до некоторого стационарного значения.
Дляостальных систем графики представлены в приложении А.1. Большая полуось спутника связана с параметром следующим отношением:1/3=0(0 −1 0 )2/3(2.23)Таким образом, имеем постепенное удаление спутника от планеты. Отличный характер эволюции имеют системы Марс-Фобос и Земля-Луна. Значение параметра 0 для Фобоса увеличивается, орбита становится менее эксцентрической (рис.2.7.б.). Это означает, что Фобос приближается к Марсу.Для Земли-Луны, как видно на графике (рис.2.7.в.), эксцентриситет увеличивается до определенного момента, а затем начинает уменьшаться. Параметр 0 уменьшается так же до некоторого значения, затем медленно уве-83личивается до стационарного значения.
Наклонение уменьшается до нуля.То есть вначале Луна удаляется от Земли, а затем начинает приближаться.Полученная картина согласуется с предшествующими исследованиями.Оценим величину параметров, входящих в Δ1 , системы Земля-Луна.Воспользуемся тем, что по данным наблюдений Луна удаляется от Землисо скоростью 3,8 см/год [59].Неизвестные параметры выразим из эволюционного уравнения для большой полуоси.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
