Диссертация (1091538), страница 15
Текст из файла (страница 15)
с. 295-29957. История математики под редакцией А. П. Юшкевича в трёх томах, М.:Наука, 197058. Alexander, M. E. 1973. “The weak-friction approximation and tidalevolution in close binary systems.” Astrophysics and Space Sciences, Vol.23, pp. 459 - 51059. Chapront, J.; Chapront-Touzé, M.; Francou, G. (2002). "A newdetermination of lunar orbital parameters, precession constant and tidalacceleration from LLR measurements". Astronomy and Astrophysics 387(2): 700–709. doi:10.1051/0004-6361:20020420.60. Darwin, G.
H. 1879. “On the precession of a viscous spheroid and on theremote history of the Earth.” Philosphical Transactions of the Roy. Soc. ofLondon, Vol. 170, pp. 447-53061. Efroimsky, M., and V. Lainey. 2007. “The Physics of Bodily Tides inTerrestrial Planets, and the Appropriate Scales of Dynamical Evolution.”124Journal of Geophysical Research – Planets, Vol. 112, id. E12003.doi:10.1029/2007JE00290862.
Efroimsky, M., and Williams, J. G. 2009. “Tidal torques. A critical reviewof some techniques.” Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, Vol.104, pp. 257 - 28963. Efroimsky, M. 2012 a. “Tidal dissipation compared to seismic dissipation:in small bodies, earths, and superearths.” The Astrophysical Journal, Vol.746, id.
15064. Efroimsky, Michael 2012 b. “Bodily tides near spin-orbit resonances.”Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, Vol. 112, pp. 283 - 330.65. Efroimsky, M., Makarov, V.V.: Tidal friction and tidal lagging.Applicability limitations of a popular formula for the tidal torque. Astrophys.J. 764, article id. 26 (2013)66. Ferraz-Mello, S.; Rodrı́guez, A.; and Hussmann, H. 2008. “Tidal friction inclose-in satellites and exoplanets: The Darwin theory re-visited.” CelestialMechanics and Dynamical Astronomy, Vol. 101, pp.
171 - 201.67. Greenberg, R.: Frequency dependence of tidal Q. Astrophys. J. Lett. 698,L42–L45 (2009)68. Henning, W.; O’Connell, R.; and Sasselov, D. 2009. “Tidally HeatedTerrestrial Exoplanets: Viscoelastic Response Models.” The AstrophysicalJ., Vol. 707, pp.
1000 - 101569. Hut, P.: Tidal evolution in close binary systems. Astron. Astrophys. 99,126–140 (1981)70. Kaula, W. M. 1964. “Tidal Dissipation by Solid Friction and the ResultingOrbital Evo- lution.” Reviews of Geophysics, Vol. 2, pp. 661 - 68471. Krasinsky G.A., Brumberg V.A. Secular increase of astronomical unit fromanalysis of the major planet motions, and its interpretation // Celes. Mech.and Dynam. Astronomy. 2004. V. 90. P.
267–288.12572. Lambeck, K. 1975, Effects of Tidal Dissipation in the Oceans on the Moon’sOrbit and the Earth’s Rotation, J. Geophys., Res. 80, 291773. Lambeck, K. 1980, The Earth’s Variable Rotation:Geophysical Causes andConsequences, Cambridge Univ. Press, Cambridge, Ch. 5-6, 10-1174. Love, A.E.H.: 1927. “A Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity”,CUP, Cambridge.75. Mignard, F.: The evolution of the lunar orbit revisited. I. Moon Planets 20,301–315 (1979)76.
Mignard, F.: The evolution of the lunar orbit revisited II. Moon Planets23, 185–201 (1980)77. Mignard, F. 1982, Long Time Integration of the Moon’s Orbit, in TidalFriction and the Earth’s Rotation II ed. by Brosche, P., Sundermann, J.,Springerverlag, Berlin Heidelberg, 6778. Nimmo, F.; Faul, U. H.; and Garnero, E. J. 2012. “Dissipation at tidal andseismic frequencies in a melt-free Moon.” Journal of Geophysical Research –Planets, Vol. 117,79.
Ogilvie, G., Lin, D. N. C. Tidal Dissipation in Rotating Giant Planets. TheAstrophysical Journal, 2004, Volume 610, Issue 1, pp. 477-509.80. Ogilvie, G. and Lin, D. Tidal dissipation in rotating solar-type stars. TheAstrophysical Journal, 2007, 661, 1180.81. Shatina, A.V., Sherstnev, E.V. The evolution of a satellite motion in thegravitational field of a viscoelastic planet with a core.//Proceedings of theXLI Summer School-Conference “Advanced Problems In Mechanics”, St.Petersburg, 2013, pp.82-89.82. Singer, S. F. 1968.
“The Origin of the Moon and GeophysicalConsequences.” The Geo- physical Journal of the Royal AstronomicalSociety, Vol. 15, pp. 205 - 22683. Sung-Ho Na. Tidal Evolution of Lunar Orbit and Earth Rotation. Journalof The Korean Astronomical Society 45 (2) 49 (2012)12684. Touma, J. Wisdom, J. Evolution of the Earth-Moon system. //TheAstronomical Journal (ISSN 0004-6256), 1994, vol. 108, no. 5, p.
1943-196185. Wisdom, J. Tidal Dissipation at Arbitrary Eccentricity and Obliquity. 2008,Icarus, 193 , 637.86. Van der Pol B. A theory of the amplitude of free and forced triodevibrations. The Radio Review. London. 1 . 1920. P. 701-710.373127ПРИЛОЖЕНИЕАГРАФИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ§А.1. Графики эволюции параметров систем «планетаспутник»Приведены графики, отражающие эволюцию эксцентриситета , наклонения и безразмерного параметра 0 , пропорционального среднему движению по орбите, для следующих систем: Юпитер-Калисто, Юпитер-Ио,Юпитер-Европа, Юпитер-Ганимед, Марс-Деймос, Марс-Фобос, Сатурн-Титан,Земля-Луна.
Графики получены путем численного интегрирования системыс помощью программного комплекса GNU Octave. Масштаб вре-(2.22)мени зависит от неизвестного параметра Δ1 , входящего в уравнения системы(2.22).UpiterKalisto0.03n00.020.01000.10.20.30.40.50.60.70.80.910.60.70.80.910.60.70.80.91tUK0.80.6e0.40.2000.10.20.30.40.5tUK−3x 105i, 4.5rad 43.5300.10.20.30.40.5tUKРис.
А.1. Юпитер-Калисто, в масштабе времениUK = 1 · 1011 Δ1,UK (сек)128UpiterIo0.40.3n00.20.1000.10.20.30.40.50.60.70.80.910.60.70.80.910.60.70.80.91tUI1e0.5000.10.20.30.40.5tUI−4x 108i, 6rad4200.10.20.30.40.5tUIРис. А.2. Юпитер-Ио, в масштабе времениUI = 1 · 108 Δ1, UI (сек)UpiterEurope0.20.15n00.10.05000.10.20.30.40.50.60.70.80.910.60.70.80.910.60.70.80.91tUE1e0.5000.10.20.30.40.5tUE−3x 1010i,rad86400.10.20.30.40.5tUEРис.
А.3. Юпитер-Европа, в масштабе времениUE = 1 · 108 Δ1,UE (сек)129UpiterGanimed0.06n00.040.02000.10.20.30.40.50.60.70.80.910.60.70.80.910.60.70.80.91tUG0.80.6e0.40.2000.10.20.30.40.5tUG−3x 103.53i,rad 2.521.500.10.20.30.40.5tUGРис. А.4. Юпитер-Ганимед, в масштабе времениUG = 1 · 1011 Δ1,UG (сек)MarsDeimos1n00.5000.10.20.30.40.50.60.70.80.910.60.70.80.910.60.70.80.91tMD0.40.3e0.20.1000.10.20.30.40.5tMD0.04i, 0.03rad0.020.0100.10.20.30.40.5tMDРис. А.5. Марс-Деймос, в масштабе времениMD = 1 · 108 Δ1,MD (сек)130MarsFobos108n064200.10.20.30.40.50.60.70.80.910.60.70.80.910.60.70.80.91tMF0.020.015e0.010.005000.10.20.30.40.5tMF0.0195i,rad0.0190.01850.01800.10.20.30.40.5tMFРис. А.6. Марс-Фобос,MF = 1, 625 · 10−4 Δ1,MF (сек)SaturnTitan0.03n00.020.01000.10.20.30.40.50.60.70.80.910.60.70.80.910.60.70.80.91tST1e0.5000.10.20.30.40.5tST−3x 106i, 5rad4300.10.20.30.40.5tSTРис.
А.7. Сатурн-Титан, в масштабе времениST = 1 · 1010 Δ1,ST (сек)131EarthMoon0.0080.007n_0 0.0060.0050.0040.00300.20.40.60.810.60.810.60.81t_{EM}e0.180.160.140.120.10.080.060.0400.20.4t_{EM}i,0.10.080.06rad0.040.020-0.0200.20.4t_{EM}Рис. А.8. Земля-Луна,EM = 2 · 1012 Δ1,EM (сек)132ПРИЛОЖЕНИЕБПРОГРАММНЫЙ КОД§Б.1. Программный код для построения фазовых портретовФункции для построения фазового портрета на рис. 1.6fp_ne.mfunction fp_nefigure, hold on;xlabel(’e’,’interpreter’,’tex’,’fontsize’,14,’rotation’,0);ylabel(’n^~ ’,’interpreter’,’tex’,’fontsize’,14,’rotation’,0);% Рисуем фазовые линииs=[0.92 0.8 0.7 0.5 0.96;0.08 0.1 0.2 0.4 0.02]for i=sy0=i;[t1,y1]=ode45(@systNI, [0.1 70000], y0); % Интегрируем вперед[t2,y2]=ode45(@systNI, [0.1 -10], y0); % Интегрируем в прошлоеt = [flipud(t2); t1]; % Объединяем значения по времениy = [flipud(y2); y1]; % Объединяем значения по значениям функции%построение графикаplot(y(:,2), y(:,1));end% Рисуем фазовые линии, уходящие в бесконечность в нулеs=[1.2 1.4];for i=sy0=i;[t,y]=ode45(@systFP, [0.005 0.99], y0);plot(t, y, ’-b’);end% График точек, в коротых производная равна 0 (зеленый) и в которых% производная не существует (красный)otv1=[];otv2=[];z=0:0.01:1;for i=zotv1=[otv1 G1(i)];otv2=[otv2 G2(i)];endplot(z, otv1,’-g’,z, otv2,’-r’);133endfunction dx=systFP(e,n)%Система двух переменных n,eh = helpers;dx= 3*n*(n*h.F_3(e) - ((1-e^2)^1.5)*h.F_2(e))/(- e*(1-e^2)*(n*h.F_4(e) ˓→((1-e^2)^1.5)*h.F_5(e)));endfunction dx=systNI(t,x)%Система двух переменных n,eh = helpers;n=x(1);e=x(2);%Уравнения системыdn = -3*(n^(16/3)/((1-e^2)^(15/2)))*(((1-e^2)^1.5)*h.F_2(e) - n*h.F_3(e));de = (e*n^(13/3)/((1-e^2)^(13/2)))*(((1-e^2)^1.5)*h.F_5(e) - n*h.F_4(e));dx=[dn;de];endfunction x=G1(e)h = helpers;x = h.F_2(e)*((1-e^2)^1.5)/h.F_3(e);endfunction x=G2(e)h = helpers;x = h.F_5(e)*((1-e^2)^1.5)/h.F_4(e);endФункции для построения фазовых портретов на рис.
2.2, 2.3, 2.5, 2.5function plotFP_n0eglobal p time;˓→plotFP_n0e.mp=0.375;time=1e+12;% Масштаб времениw=[[0.00001,0.99]; [0.00005,0.99]; [0.00020,0.99]; [0.00045,0.99];[0.00065,0.99];[0.00075,0.99]; [0.00084,0.99]; [0.00085,0.99]; [0.00095,0.99]; ];top=0.8;fp_n0e(w,top,@ode23s);p=0.310;134˓→˓→w=[[0.000007,0.99]; [0.0005,0.99]; [0.0009,0.99]; [0.0012,0.99]; [0.0015,0.99];[0.00175,0.99]; ];fp_n0e(w,top,@ode23s)p=0.200;time=1e+13;w=[[0.0012,0.99]; [0.0016,0.99]; [0.0019,0.99]; [0.00217777,0.99]; [0.0023,0.99];];top=1;fp_n0e(w,top,@ode23s);p=1e-4;time=1e+10;w=[[0.005,0.98]; [0.007,0.98];[0.008,0.98]; [0.0015,0.99]; [0.003,0.99];];top=1.2;fp_n0e(w,top,@ode23s);endfunctionfunction fp_n0e(w,top, solver)% Система (n0,e)% p - параметр уравнения% w - массив начальных точек для построения% top - ограничиваем значения по y для нормального отображения% solver - решатель ОДУglobal p time h;h = helpers;figure,hold on;% Именуем осиxlabel(’e’,’interpreter’,’tex’,’fontsize’,14,’rotation’,0);ylabel(’n_0’,’interpreter’,’tex’,’fontsize’,14,’rotation’,0);% Отмечаем на графике стационарные точки (черные линии)xc=GetRoot(1,0,0,-1,p); %Находим корни из уравненияplot([-0.01 0.01], [xc(1) xc(1)],’-k’);plot([-0.01 0.01], [xc(2) xc(2)],’-k’);% Рисуем фазовые линииfor j=w’y=plotFP(j, top, solver);end% График точек, в коротых производная равна 0 (зеленый) и в которых%производная не существует (красный)135otv1=[];otv2=[];z=0:0.005:.99;z1=0;z2=0;for i=1:length(z);%находим корниotv1=[otv1; GR2(z(i),1)];otv2=[otv2; GR2(z(i),2)];%Не учитываем комплексные корниif(imag(otv1(end))~=0 && z1==0)z1=i;endif(imag(otv2(end))~=0 && z2==0)z2=i;endend%Если все корни действительные, то последний индекс - конец массиваif(z1==0)z1=length(z);endif(z2==0)z2=length(z);endplot(z(1:z1), otv1(1:z1,:),’-g’,z(1:z2), otv2(1:z2,:),’-r’);endfunctionfunction y=plotFP(y0, top, solver)% Построение графика по численному решению системы[t,y]=solver(@systN0E, [0 1], y0);ind=find(y(:,1)>top);% Ограничиваем значения по y для нормального отображенияif(~isempty(ind))y(ind,:)=[];t(ind)=[];endplot(y(:,2), y(:,1), ’-b’);endfunctionfunction dx=systN0E(t,x)%Система двух переменных n0,eglobal p time h;n0=x(1);e=x(2);136˓→˓→%Уравнения системыdn0 = -3*(n0^(16/3)/((1-e^2)^(15/2)))*((1 p*sqrt(1-e^2)/n0^(1/3))*((1-e^2)^1.5)*h.F_2(e) - n0*h.F_3(e));de = (e*n0^(13/3)/((1-e^2)^(13/2)))*((1 p*sqrt(1-e^2)/n0^(1/3))*((1-e^2)^1.5)*h.F_5(e) - n0*h.F_4(e));dx=[dn0;de];dx=dx.*time; %Изменяем масштаб времениendfunctionfunction x=GR2(e,flag)% Вычисление коэффициентов для поиска корнейglobal p h;if(flag==1)K= h.F_2(e)*((1-e^2)^1.5)/h.F_3(e);elseK= h.F_5(e)*((1-e^2)^1.5)/h.F_4(e);endc1=K;c2=K*p*sqrt(1-e^2);A=1;B=0;C=0;D=-c1;E=c2;x=GetRoot(A,B,C,D,E);endfunctionФункции для построения фазового портрета на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
