Диссертация (1091538), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Один из подходов основывается на том, что в дополнениек жесткости , реакция однородной несжимаемой сферы на возмущающийпотенциал характеризуется приливной диссипативной функцией , которая определяется по аналогии с теорией гармонических осцилляторов как = 2 ×(Максимальная энергия, запасенная в течение цикла)(Энергия, рассеиваемая за один цикл)(8)Это определение сродни добротности для затухающего линейного осциллятора и не зависит от того, как именно рассеивается энергия. Иногда в литературе называют так и величину −1 , например (Голдрайх и Соттер)[2],аналогично вводят эффективную диссипативную функцию:−1)︃∮︁ (︃=−,201где 0 — максимальная амплитуда энергии приливной деформации, а интеграл от скорости диссипации −/ оценивает потерю энергии за полныйцикл работы прилива. Таким образом, параметр позволяет выразить отклонение тела, возмущенного приливными силами, от идеальной упругостиили идеальной текучести.Для простого возмущаемого гармонический осциллятора, tg = −1 ,вывод этого соотношения можно найти, например, у Гринберга (2009)[67].Такая связь позволяет вычислять исходя из геофизической модели какэнергию накапливаемую и рассеиваемую в периодических деформацияхпланеты, спутника или звезды.
В зависимости от типа исследуемого объекта, рассеяние может включать вязкоупругое поведение твердых тел, потоки в жидких слоях, турбулентность в газах или любые другие динамические процессы, происходящие внутри астрономического тела. Затем, после того как удалось оценить , отношение между и дает отставание для периода возмущения(например, Хат (1981), Огилви и Лин (2004,132007))[69, 79, 80].Другой метод для оценки учитывает сейсмические наблюдения и измерения на Земле и Луне.
Идея состоит в том, что сейсмические волны,как известно, ослабевают с различной скоростью в зависимости от частоты (Эфроимский и Лайней, 2007)[61]. Таким образом, у нас есть данные,непосредственно связанные с фактическим наблюдаемым поведением планетарного тела, по крайней мере, для каменистых планет. Это ослаблениеиспользуется для вычисления из уравнения (8). Эфроимский и Лайней, учитывая сейсмические данные, предполагают для Земли ∼ ,где = 0, 2 − 0, 4, а частота год−1 . . 107 Гц. Для газообразных планет и звезд, численное моделирование и аналитические исследования даютсложный спектр частот, который крайне чувствителен к размеру и глубинеконвективного и радиационного слоев (Огилви и Лин, 2004)[79].Все эти подходы основаны на неявно обоснованной аналогии с простымгармоническим осциллятором.
Гринберг показал[67], что для многих изподходов, которые были применены к моделированию поведения сложныхпланетных систем, использование такой аналогии не всегда оправдано. Вчастности, в методе «lag-and-add» такой подход, вероятно, разумен, покавсе частоты изменяющегося приливного потенциала сопоставимы, как этоимеет место при учете в уравнениях членов только низших порядков дляэксцентриситета и наклонения. При исследовании уравнений с более высоким порядком членов, что ведет к более широкому спектру частот, такойподход может быть не очень надежен. Этот результат ставит под сомнениенекоторых допущения и методы во многих приливных моделях.Во всех работах отмечается проблема оценки значения для тел Солнечной системы, которая была в общей постановке сформулирована Голдрайхом и Соттером (1966)[2].Недавние критические обзоры многих различных моделей, исследований и предположений в истории этой области были представлены ФерразМелло и соавт.
(2008)[66] и Эфроимским и Вильямсом (2009)[62]. Последний включает в себя описание использования гармоник более высокого порядка в реакции прилива, в том числе явный вывод отдельных задержекпо фазе (без каких-либо предположений об их частотной зависимости).Теория приливов и её результаты могут быть применены к широкому14кругу задач.
Стоит отметить, что каждая работа имеет свою направленность, исследования в разной мере точности описывают эволюцию приливного взаимодействия, приложены к конкретной задаче и включают различные ограничения и предположения. Естественно, что предпосылки этихработ берут своё начало в исследованиях взаимного движения системыЗемля-Луна.Впервые фундаментальное исследование этой проблемы провел Дж.
Г.Дарвин[60]. Им было показано влияние приливного трения на радикальноеизменение орбитальных элементов небесных тел в масштабах космическихинтервалов времени. Он рассмотрел приливные деформации вязких и полуупругих сферических тел, поведение материала которых зависит от характера прилагаемой к нему силы. Он показал, что вязкость приводит кзначительному уменьшению амплитуды приливов и их задержке по фазе.Изучая данные о приливах океанов, Дарвин сделал вывод, что Земля, какцелое, обладает большой эффективной жесткостью.Работа Дарвина по праву считается классической в теории приливов ипослужила основой многим последующим исследованиям: Голдрайх (1963),Каула (1964), Александр (1973), Миньяр (1979), Хат (1981), Тоума и Виздом (1994), Эфроимский и Вильямс (2009), Ферраз-Мелло (2009, 2013) и др.[2, 58, 62, 65, 66, 69, 72, 73, 75, 84, 85].
Таким образом, теория Дарвина является достаточной для понимания основных эффектов приливного трения вСолнечной системе. Многие последующие работы являются уточнением иразвитием различных аспектов классической теории.Методы механикиОбратимся к общим методам, которые применяются при исследованиидинамических систем.Большинство задач небесной механики имеют неинтегрируемый характер. Обычно, если каким-либо известным методом удается получить уравнения движения рассматриваемой механической системы, то эти уравнения, как правило, избыточно громоздки и сложны для аналитического иличисленного анализа. Поэтому стараются перейти к более простым моделям динамической системы, которые описываются более простыми уравнениями.
Таким образом, со временем появились и стали развиваться методы, позволяющие заменить неинтегрируемую задачу интегрируемой, реше-15ние которой приближенно соответствует решению исходной задачи. Каждый метод характеризуется своей степенью точности получаемого решения.Многие асимптотические методы 5 позволяют получить уравнения, описывающие лишь вековую эволюцию.
Но существуют так же методы, дающиеи более высокое приближение, чтобы описать небольшие вариации.Одна из реальных возможностей сократить и формализовать процессупрощения уравнений движения динамических систем связана с применением методов малого параметра. Довольно часто (например, при исследовании периодических движений в небесной механике и теории колебаний)встречаются случаи, когда в уравнении можно выделить члены двух видов:главные и второстепенные, при этом второстепенные члены характеризуются наличием в них малых постоянных множителей. Если отбросить второстепенные члены, то возможно получить уравнение, которое допускаетточное решение. Затем решение основного уравнения ищется в виде ряда,первым членом которого является решение уравнения только с главнымичленами, а остальные члены ряда расположены по степеням малых постоянных величин, входящих во второстепенные члены (малых параметров).При этом уравнения для коэффициентов при степенях малых параметровлинейны, что облегчает их решение.
В роли малого параметра иногда выступают начальные значения (например, при изучении колебаний околоположения равновесия).При применении таких методов строится приближенное решение исходной системы, т.е. получают упрощенные уравнения, которым удовлетворяют приближенные решения. При этом проводятся дополнительныеисследования уравнений, позволяющие проверить соответствие полученных результатов исходной задаче.Стоит отметить, что происходит, как постоянное развитие классическихметодов, из-за необходимости усовершенствования для решения новых задач, так и процесс появления новых асимптотических методов.
Так как одной из основных областей математического естествознания, требовавшаяОбщее название группы методов в математике, физике, механике и других областях, позволяющих получить приближенное решение исходной сложной задачи. Сюда входят как классическиеметоды Лапласа, методы малого параметра, метода осреднения для дифференциальных и интегродифференциальных уравнений, содержащих быстро колеблющиеся по времени и/или по пространствукоэффициенты либо свободные члены, методы разделения переменных, так и более специализированные и узкоприкладные методы.516быстрейшего развития приближенного решения дифференциальных уравнений, явилась небесная механика[57], то метод малого параметра началприменяться при решении задачи о возмущённом движении в небесной механике Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
