Густав Олссон, Джангуидо Пиани - Цифровые системы автоматизации и управления (1087169), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Здесь полагается,тк начальные значения переменных состояния — нулевые. Связь между входными и выходными переменными линейной системы моль выразить ее передаточной функцией (гган5/ег/илст(ол), которая определяется кь отношение между изображениями Лапласа выходного и входного сигналов спстех1 г'(5) ЬО5" ь Ь15" 1 ч... т Ь„ С(5) = — = (31 (1(5) 5к + а15" ~ + ... + И„ Передаточную функци2о также можно рассчитать непосредственно из внутреннп описания в переменных состояния 1уравнения (3.1) и (3.2) ~. Имеет место следуют соотношение У(5) С(5)= =С (51 — А) В+1) Ц5) (31 Пример 3.12 Передаточная функция механической системы Передаточная функция системы из примера 3.2 (раздел 3.2.1) имеет внд х(5) 1 2 Е(5) т52 где 7(5) и Г(5) — изображения Лапласа для координаты г и силы Е соответ.
ственно. Уравнения состояния были получены в примере 3 11 Передаточную функцию можно также вычислить непосредственно из уравнений состояния 1см. уравнение (ЗА)] -1 С(5) = С. (51 — А)  — (1 О) О 5 т-1 т52 ы1е 1 — единичная матрица порядка и. Вывод этого выражения очень прост и прив0 дится в болыпинстве книг по управлению.
В системе с одним входом и одним впп дом матрица С состоит из одной строки, а матрица  — из одного столбца, матрнш1 имеет размерность и 0с п. Обычно матрица 1) (имеющая при этом размернос' 1 х 1) — нулевая. В этом случае С становится скаляром. Для нескольких входо0" выходов С(5) является матрицей с элементами Сй(5), которые суть передаточю' функции для каждой пары вход и,. и выход у.. рерывные модели динамических систем 3 3 НепреРь Пример 3.13 кочастотный фильтр Инзкочастотный ЛС-фильтр из примера ЗА можно характеризовать его передато о~ной функцией. В предположении, что начальные напряжения равны нулю, связь вход/выход можно записать как )2,(5) 1 С(5) = $'1(5) 1 + 5 Я . С Изменение амплитуды выхода и фазовый сдвиг для синусоидального сигнала получаются при замене в передаточной функции 5 на 1тш Поскольку описание вход/выход содержит меньшее число коэффициентов, чем внутреннее описание в пространстве состояний, то его всегда можно получить из последнего; однако обратное преобразование неоднозначно.
Это совершенно естественно, так как вектор состояний х получается с помощью подстановки в исходные уравнения новых переменных, которые можно выбрать произвольно, а у и и зависят от физической природы процесса и поэтому определены однозначно. Знаменатель передаточной функции называется характеристическим уравнением (сбагасгеп51(с едиаг(оп). Корни характеристического уравнения называются полюсамн (ро1е5) и имеют фундаментальное значение. Значения полюсов идентичны собственным числам матрицы А. Корни числителя передаточной функции называются нулями (гьто5).
Если нули обозначить 21, ..., х, а полюса — р1, ..., Рл, то при п > т передаточную функцию (уравнение 3.3) можно записать в виде (5 21) "' (5 хт) п1 ал С(5) ( -Р1)- ( -Рл) где а -- е" — действительные или комплексные константы Это означает что выходную перемени ю Р нуюу можно представить суммой показательных функций, которые называются сос оставляющими движения или модами (то01е5) У(г) = с1 е ~" ь ... ь с„е л 'ь 1слагаемые, зависящие от и(г)1 Вещественн нный полюс соответствует слагаемому с вещественным показателем степени, а два ко. д комплексно-сопряженных полюса всегда можно представить в виде одного слагаемого, Если два полюса имеют значения Рь Ь„1 =.
— О -~- 0Ш то этой паре со соответствует слагаемое передаточ ноя функции с1 е ° 51п(шт) Полюса (или (или собственные числа матрицы А) линейной системы полностью опреу ойчивость. Если вещественные части полюсов — отрицательные, то ре- яют ее уст " 'Рапиченный входнон сигнал и также всегда ограничена, т. е, система усня на ог йчива Глава 3.
Описание и моДелиРование сис, Пример 3.14 Ограничения сигнала 8,35 5 63 $2.5 2 0.2 ОА О.б 0.8 1 0 ч Пример 3.15 Нули определяют значения коэффициентов экспоненциальных функций в я клике, но при этом не влияют на устойчивость системы. Если полюс располш ает, близко к нулю, то соответствующая мода мала. Если полюс и нуль совпадают,, мода исчезает. З.З.5. Область применения линейных моделей Существуют динамические явления, которые нельзя описать линейными дифф, ренциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Рассмотрим влиянь нелинейности на примерах.
Системы, описываемые ниже, ведут себя как линейва, при малых значениях входных сигналов, а при больших — появляется нелинейносп В реальных условиях все сигналы ограничены. Во многих технических системах в качестве конечных управляющих элементов используются клапаны. Поскольку клапан не может быль открыт больше, чем на 100 %, рассчитанный математически сигнал управления иногда просто нельзя реализовать (рис. 3.14). Это вызывает определенные трудности в управлении, обсуждаемые в главе 6. Другой пример ограничения сигнала — ток ротора электрического двигателя. Ток должен быть ограничен, иначе двигатель сгорит. Соответственно, система управления двигателем не может быть линейной, особенно прн больших ускорениях и моментах, когда ток тоже должен быть большим.
Рис. 3.14. Выходной сигнал исполнительного механизма с огРаничениями Процесс аэрации Рассмотрим снова станцию аэрации сточных вод (пример 3.8, раздел 3 2 3). для процесса аэрации принцип супеРпозиции не выполняется. Предположилк что входной поток воздуха и н скорость поглощения кислорода й' не меняются, ерывные модели динамических систем 3 3 НепреРь а конце центрация РаствоРенного кислорода поддерживается постоянной около и равновесия со значением равным 3 л1г/л. точки Р На Рис 3 15 показано, что когда входной поток изменЯетсЯ скачком (2 %, н т д,), концентрация достигает нового стационарного значения за час. 4,4 н П и изменении расхода воздуха на 4 % изменение концентрации практически При точи но вдвое превышает изменения концентрации по сравнению с 2 % изменения расхода воздуха.
При этом обе кривые симметричны относительно точки овесия. Однако уже при 8 % изменения расхода воздуха очевидна ассиреаюгнн системы При изменении расхода на 20 % изменения в кон центрации уже существенно несимметричны и, более того, не в пять раз отличаются от изменений, вызванных 4 % изменения расхода. Приведенные кривые иллюстрируют практическое проявление нелинейности, $ 3.5 0 3 и. й 2.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Рнс. 3.15, с. 3.15. Изменение концентрации Растворенного кислорода в баке аэрации при скачке О~схода воздуха (входвая переменная) в момент временит = О.
Результаты приведены для значений входной переменнон: а 2%, а 4% н Х 8% (а); ь 20% (б) Систем истемы, описанные выше, имеют "слабые'* нелинейности, т. е. ведут себя практическ чески линеино при малых значениях входного сигнала. Многие системы прн больши ших отклонениях от точки равновесия требуют более точного описания, чем лин " инейные дифференциальные уравнения, поэтому необходимо добавлять нелиие" иейные слагаемые. При моделировании должны быть четко определены грани ы, в гр цы, в рамках которых линейное описание является адекватным.
336 Н . Нелинейные системы Системы, оппса аш ' писанные в Разделе 3.3.5, ЯвлЯютсЯ нелинейными, но пРи некотоРых вущевиях их можп можно аппроксимировать линейными уравнениями. Другие типы ельзя свести к линейному описанию. Наиболее часто встречающий' "нейносгей пе р . ейные системы. Реле вырабатывают бинарные сигналы типа "вклюРимер — еле Еаге ю~выключено"; идеальное реле для щобого положительного входного сигнала рованный положительный выход н, соответственно, фиксированный от'е1 фикси ательны" ~й выход при любом отри цательнол1 входе.
Очевидно, что в такой системе Ынол лняется принцип суперпозиции. 96 Глава 3. Описание и моделированиавист „ непрерывные модели динамических систем з.з не Примеры систем с существенными нелинейностями: различные виды реле (с зоной нечувствительности, гистерезисом и т. дз); — клапаны (зоньр нечувствительности, насыщение); нелинейные деформации механических пружин; — падение давления в сужении трубы; силы трения; аэродинамическое сопротивление; свойства пара; двигатели постоянного тока с последовательной обмоткой возбуждения (ир мент — функция квадрата тока роторной цепи); двигатели переменного тока.
Нелинейные системы (см. примеры 3.8 н 3.9 в разделе 3.2.3) можно описать встр дующем виде Ж~ — = 11(хр, х2, ..., хкп 1, ..., и„) г~тп ррг =~,(Х1,Х2,...,хп и1,...,ип) где определены и переменных состояния и гвходов, или в компактной векторитрй фора ртх — = 1(х, п) р(г (3.5! где вектор состояний х и вектор управления и определены в разделе 3.3.2, а каждьр компонент вектора 1 является функцией (Л -Р2 - Рп) В состоянии равновесия производные Ихруррг равны нулю, Пусть точке разновеса ескр х соответствует постоянный управляющий сигнал и, тогда условие равновесия 1(х, й) = 0 З.б' „, =- ~,(тн ха ..., х„, ир, ..., и,) - Эр(Х1, Х2, .-, Хп, и1, ..., и„) Заметим, что уравнение (3.6) эквивалентно л скалярным уравнениям. Эти УР зр отора" нения могут иметь несколько решений, каждое из которых соответствует некот Р точке равновесия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
