Густав Олссон, Джангуидо Пиани - Цифровые системы автоматизации и управления (1087169), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Описание и моделирование смети 89 прорывные моДели Динамических систем 33. Нв"Р ные методы. Кроме того, четко прослеживается физическая сущность проце~, в частности связь между внутренними переменными и внешними входным и вд ладным сигналами. Аналогично, изучение систем управления с более чем одя„„ входом и выходом, проще в форме уравнений состояния. Основой математическь,„ аппарата для моделей в пространстве состояний служит, главным образом, ливек ная алгебра — векторная и матричная нотации значительно упрощают описав„, Однако методы линейной алгебры не требуются, чтобы получить основные пре ставления о динамике системы.
!Большинство физических процессов можно моделировать на основе функцвь нальных блоков, аналогичных описанным в примерах раздела 3.2. В общем сдула, уравнения баланса нелинейны и, как правило, связаны друг с другом. Таким обрааак описание динамики процесса может представлять собой набор нелинейных, связал. ных между собой лифференциальных уравнений первого порядка для баланса вне~ гни, общей массы, массы компонентов, сил и моментов. Уравнения состояния представляют собой практичный и удобный способ опяса.
ния динамических систем. Состоянием называется набор всех переменных — так на. зываемых переменных состояния (агате оаатаЫвв), производные первого порядка я которых входят в уравнения описания динамической системы. Концепция уравне ций состояния имеет фундаментальное значение, Если известны текущее состояни~ системы (переменные состояния) и входные сигналы, то можно предсказать ее дала нейшее поведение.
При этом предысторию, т.е. как было достигнуто текущее состоя ние, знать не нужно. Другими словами, состояние — это минимальное количества ил. формации о системе, которое необходимо, чтобы предсказать ее будущее поведениа Состояние х можно представить как вектор-столбец, компоненты которого — пе ременные состояния х=(хахг - х,) Т Непосредственно измерить все переменные состояния можно в редких случаль т. е, существуют внутренние переменные, за которыми не удается следить с помошав датчиков.
Поэтому описание в пространстве состояний называют также внутреннии описанием (йнегпи( г(влспрхаоп). Выходные величины — измерения, обозначаются ле рез ун уг, ..., ур и составляют вектор у у = (уа уг - у„) В общем случае число датчиков р, связанных с техническим процессом, меньк' числа переменных состояния п. Поэтому вычисление х по у — нетривиальная зад ача алы На любую техническую систему влияют входные сигналы двух типов -- сигнал кима которые можно изменять вручнуао нли автоматически какими-либо технически средствами, и сигналы, которыми управлять невозможно. Сигналы первого типа а Иа. зываются управляющими сигналами или переменными управления и, иг, ..., и„и и св' став пяют вектор ц о =-(иа иг - иг) Т Входные сигналы второго типа могут влиять иа систему, но не подлааотся управ' лешоо.
Вели чипа этих сигналов отРажает влияние внешней среды на систему, напрИ мер изыепенис (возмущение) нагРузки, вызванное температурой, радиацией, неаьв ,и магнитным воздействием ("наводками") и т. и. Все эти сигналы обозначаательньам * катся я вектором ч (оа пг — цп) возиуи1внил опорные значения (унравляюиаив пврвмвнныв) н выходные сигналы (рвзультааны измерений) нврвмвнныв х состояния (внутрвннив) Рис. 3.13.
Блок-схема управляемой системы Эта концепция объясняется на следующем простом примере. Пример 3.11 Механическая система Система в примере 3.2 (раздел 3.2.1) имеет две переменные состояния — положение з и скорость м Входная переменная и — это сила г. Положение а (выходная переменная) можно измерить. В векторной форме система описывается как х=(з о); ц=г"; у=И=-(1 О) х Уравнения состояния имеют вид х' а .ц; У=(10) х 3 З.З. О„ Огаисание линейной системы в пространстве состояний агльшинств яство примеров из Раздела 3.2 представляют собой линейные линамичесие системы, и мы, и поэтому их можно смоделировать линейными дифференциальными Равнениям ям и, в которых отсутствуют члены, содержащие произведения переменных остояни, г ия, входных и выходных сигналов — типа х, х и или х х .
Линейная снсема име а'-г. ' имеющая и переменных состояния и г входных переменных, описывается еле'~щи. "ми уРавнениями состояния с постоянным п коэффициентами: ью системы управления является вычисление на основе имеющихся измере- ний у та эких управляющих сигналов ц, чтобы, несмотря на влияние возмущений ч, технич ческая система выполняла поставленные задачи. Управляемую систему можно тставить в виде блок-схемы (рис. 3.13), на которой показаны управляюнаие сигпредстав ' палы, лы, возмущения и выходные переменные.
90 Глава 3. Описание и моДелиРование снстее 91 Н „ерывные модели динамических систем 2 2 Непре Ж, — =а х +... "а х +6 и е.,+Ь и ,(Г 111 "' 1и и 11 1 - 1г г и "= а„1х1 + ... + аиих, + Ь 1и1+ „+ Ь иг где параметры а; и Ьу — константы. Поскольку эти уравнения являются дифференциаль ными уравнениями с постоянными коэффициентами, они обладают рядом принлехз.
тельных свойств. Например, всегда можно найти аналитическое решение х(г) при пронз. вольных входных сигналах ц(г). Начальные условия определяются и константами Х(0) = (Х10 Х2о ... Хио) В матричном виде уравнения состояния записываются значительно проще ах — =А х+В ц с(г (3.1) где А н  — матрицы, содержащие постоянные коэффициенты Ь11 ... 61 Ь21 ... 62 Ьи2 ... Ьи а!1 а12 "' а1 А= а21 а22 " а2и .1 а.2 — аи. При единственном управляющем сигнале матрица В имеет только один столбец.
Между внутренними переменными состояния х и измерениями у существует яи. нейная зависимость. Кроме того, иногда имеется прямая связь между управляюши. ми переменными ц и выходными переменными у У1 = С11Х1'- ... Е С1иХи + С(1 1и1+ ... + ~1и„ у, = с,1х1 +,. + срихи + д 1и1 + ...
ь с1р,иг или в векторно-матричных обозначениях (3.2) У=С-х+1) ц где С11 с12 ... С1и СЕ!1 - г21„ С21 С22 - С2и 22 21 -' 2г С 1 Ср2 ... Сри р2 ... Ирг Если имеется только одна выходная переменная, то С состоит нз одной строки Обычно нет прямой связи между входными н выходными переменными, н тогда ма ' рнца Р— нулевая, Линейная система имеет много преимушеств (сравните, например, с некоторымИ свойствами нелинейных систем, упомяну™ в Разделе2.2.7). Наиболее важныи линейных систем является принцип суперпозицни (зирегрозгг1оп рппстр(е). войство .ч ет, в частности, что если при каком-либо изменении амплитуды входного 3то овна „.
ди выходной сигнал изменится на величину Ду, то при удвоенном изменении спгнала . ногос гнала2 Див однойсипализме итсянавеличину2.Ду, входного 2 ННЕ йные системы обладают свойством аддитивности входных сигналов, т. е. если входи „ной сигнал и1 вызывает выходной сигнал у1, а и2 — сигнал у2, то общий сигнал и1 2 и + и на входе приведет на выходе к у1 +у2. Как следствие, влияние сигналов управл веления и возмущеннй можно анализировать отдельно.
Несмотря на все достоинства линейного описания, применять его следует с большов лон осторожностью, поскольку большинство технических процессов существенно и линейны, Если нелинейности "гладкие", т. е. отсутствуют скачки, то при определе„ных условиях нелинейную систему можно рассматривать как линейную. Тогда линейное описание справедливо для малых отклонений вокруг точки равновесия. Многие параметры промышленных процессов должны поддерживаться вблизи некоторых постоянных — опорных — значений; целью систем управления является приведение параметров процесса к их опорным значениям.
Пока отклонения от опорного значения малы, линейное описание является адекватным. Однако прн больших отклонениях могут потребоваться более точные модели, поскольку влияние нелинейности будет существенным. 3.3.4. Описание в виде отношений входных и выходных переменных Частотные методы (пример ЗА и раздел 3.3.1) используют анализ функций комплексной переменной и преобразование Лапласа.
Главные элементы этого подхода — переда~очные функции, функциональные блок-схемы и их преобразование, анализ нулей и полюсов. К преимушествам анализа систем в частотной области относится возможность '"бРать соответствующие экспериментальные данные, позволяющие непосредственно пост оит встроить удовлетворительную модель системы. Из-за этого метод частотных характе- Р т1к обычно используют при описании сложных систем, например усилителей с обрнстнко ь Ратной свя связью, а также многих электромеханических устройств и систем. Если опи н описывается только связь между входными и выходными сигналами, то некоторгяе ш, Р внутРенние переменные и их взаимосвязи ос гаются скрытыми, представлевне системы с ' емы становится более компактным и имеет меньшее число параметров, чем описание в п пространстве состояний.
Поскольку в модель включены только входные н выходные пе е переменные, то она называется внешним описанием ( ехтегпаЫезспрн оп) протнвополож РегулЯто ь сложность внутреннему представлению уравнениями состояния. Многие Ры например ПИд-регулятор, описанный в главе 6, настраиваются на базе ' одели техннческ ннческого процесса в виде отношений входных н выходных переменных. У Р ннего описания системы можно исключить вектор х и получить описа'не системы в виде и и-1 ' — +ау=Ьо Ь1 — е...еЬ и коэфа н фнцненты а; н Ь,. могут быть получены нз матриц А, В, С н Р, В системах со ногнмн „ ходнымн н выходными пеРеменными для каждой пары вход/выход суще- Глава 3.
Описание н моделирование си, ствует своя зависимость (в дальнейшем рассмотрение будет ограничено систеьц 00 только с одним входом и'и одним выходом у), для дифференциального уравнел порядка л можно выполнить преобразование Лапласа (5" ьа1 5" ь ... жал) у(5) =(Ьо .5" ь Ь1 5" ь ... + Ь„) (1(5) где 5 — переменная Лапласа, а у(5) и (1(5) — результат преобразования Лапласа (и0й ражение) для у(г) и и(Г) соответственно. Преимущество этого метода в том, что к, и плексными переменными 5, которые представляют собой операторы дифференции ванна, можно манипулировать алгебраическими методами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
