Густав Олссон, Джангуидо Пиани - Цифровые системы автоматизации и управления (1087169), страница 18
Текст из файла (страница 18)
При этом полагают, что аэратор работает как дозатор, т. е. жидкость поступает в бак н вытекает из него не постоянно, а только в определенные моменты времени. Воздух подается от компрессора с расходом и. Скорость перехода кислорода из газообразного состояния в растворенное определяется коэффициентом растворимости АЬ а.
Для простоты будем полагать, что этот коэффициент пропорционален расходу воздуха: яь в=с где и — коэффициент пропорциональности. В свою очередь, коэффициент растворимости равен нулю при насыщенной концентрации растворенного кисорода (с = с') и максимален при нулевой концентрации; эта зависимость мод"лируется выражением а и (с' — с). Микроорганизмы потребляют Р" створенный кислород в процессе своего роста со скоростью К. Упрощенное уравнение баланса массы Растворенного кислорода при концентрации с можно записать в виде пс — =и и (с' — с) — я й Из-за наличия произведения и с система нелинейна.
Глава 3. Описание и моделирование сиота„ Пример 3.9 выход очии(виной входной ноток =- Я 1 г) = — (Т1 — Т2) К отстой на лврвраоотку Рвнгвгкуляпия микроорганизмов = Я Кч 5 Р=Р ПРимер З.10 г1Т 1 1 С..— =и — ( — ч ) (Т вЂ” Т) С „~Г О р йл а Станция очистки сточных вод с замкнутым циклом — простая модель взаимодействия микроорганизмов с загрязнениями Качественное описание работы станции биологической очистки сточных вод приведено в разделе 2А.2. Входной поток сточных вод характеризуется концентрацией загрязнений в, и не содержит живых организмов, В азраторе— в предположении, что компоненты равномерно перемешаны, — - смесь загрязнений с концентрацией в и микроорганизмов с концентрацией с . находится во взвешенном состоянии.
Расходы показаны на рис. 3.11. Рис. 3.11. Простая модель азратора станции очистки сточных вод Баланс массы загрязнений и микроорганизмов в азраторе записывается в виде приращение массы .— — втекающая масса — истекающая масса ч. рост — Распад Микроорганизмы возвращаются из отстойника с концентрацией с .. Показатель роста микроорганизмов моделируется величиной ц ст при зтом удельный показатель роста Р зависит от концентрации загрязнений где К вЂ” постоянный параметр. Рост практически отсутствует при малых значе ниях в и приближается к максимальному значению р при высокой концентра.
ции загрязнений. Концентрация микроорганизмов уменыпается из-за их гибели со скоростью, пропорциональной концентрации Ь с„. Уравнение баланса массы микроорганизмов имеет вид ггс . — — (Сг Я) сх' 1г'(и.с -Ь с ) Загрязнения попадают в азратор из входного потока и при рециркуляпии из отстойника Поскольку предполагается что загрязнения растворены, нх коппентраппя олипакова и в азратоРе и отстойнике. Загрязнения перерабаты- „вы моделирования динамических систем З2 Оси ваются я в азраторе из-за метаболизма микроорганизмов.
Соответствующая произв зводитсльность переработки загрязнений определяется величиной х,гу, где переменная г называется козффициентом воспроизводства (угвИ Тогда уравнение баланса масс загрязнений можно записать в виде уас1ог). (6 Р Р- — „,=Я-з -0,.в-И".Яг). -У., '.. Очевидно что динамика системы является нелинейной — удельный показатель ель Роста Р зависит от концентРации загРЯзнений, а Расход УмножаетсЯ на концентрацию. 3.2,4. Уравнения сохранения энергии В некоторых процессах необходимо регулировать температуру.
Динамическая модель системы управления температурой должна учитывать тепловые потоки и накопление тепловой знергии. Во многих слу гаях поток тепла через объект пропорционален разности температур на его границах гле у — поток тепла, А — тепловое сопротивление и Т вЂ” температура. Перенос тепла часто моделируется как величина, пропорциональная площади поверхности А и об- ратно пропорциональная длине пути )теплового потока где а — теплопроводность. Сохранение тепловой ввергни можно описать как 'ле С вЂ” теплоемкость, у — алгебраическая сумма входящих и исходящих тепловых потоков. Тепловой баланс жидкости в баке Тепловой баланс жидкости в баке служит иллюстрацией закона сохранения зне ги Ргии (рис.
3.12). Температура жидкости Т однородна внутри бака, темпера- Т а ур окружающей среды — Т, а теплоемкость бака — Сг Суммарное тепловое соп гротивление верхней и нижней частей — Яп а боковых стенок — йз. НагреваТель льный з.лемент подводит к жидкости тепловую знергию и Тепловой баланс Глава 3, Описание и моделированивззисть„ Н п--Рывные моДели Динамических систем 8 3 Непр" 87 Рис. 3.12. Система в состоянии теплового равновесия (Т вЂ” температура окружающей среды, Т вЂ” температура в баке) Большая разница температур на внутренних и внешних поверхностях стенок будет вызывать быстрые температурные изменения в баке. Чем болыпе А1 и )т2, тем медленнее будут изменения.
3.3. Непрерывные модели динамических систем 3.3.1. Описание систем во временной и частотной областях— исторический обзор Описание динамических систем обыкновенными дифференциальными ураээе пнями восходит, по крайней мере, к Исааку Ньютону. Вероятно, первым провею ся' тематическое изучение устойчивости систем с обратной связью Джеймс С. Максвея' на примере центрифужного маятникового регулятора, разработанного примерно' 1788 году джемсом уаттом для управления его паровой машиной. В своей стат" 1868 года Максвелл вывел дифференциальные уравнения регулятора, линеаризоэ" вм их в окрестности точки равновесия и показал, что устойчивость системы завис1п Ш корней ее характеристического уравнения.
Если зти корни имеют отрицательные э ' еве щественпые части, то система устойчива. Важней1пая технологическая задача для США в 1910 — 1920 толы — создание мехе кО континентальной телефонной связи. Соответствующие исследования привели х многим важным открытиям в электронике и теории управления и заложили фундв о11 мент их становления как научных лисциплин.
Благодаря разработке после Перв мировой войны электронного устпителя стали возможны межлугородные телефоэ ные звонки. для компенсации потерь электроэнергии на больших Расстояниях нсой ходимо было использовать много усилителей, послеловательное вкл1очеш1е ко1к рых, однако, приводило к болыпим искажениям, поскольку нелинейности кажло1т усилителя также усиливались послелу101цим и каскадом ст ой . У Ройств Создание Харальдом С.
Блоком (Нага!д 8. В(аск) усилителя с обратной связью решило э ' о з, у проблему. Внедрение новых и более сложных технических систем требоо ге время использования новых математических методов. Для систем из пявало в то и более усилителей анализ характеристического уравнения больше не подтиЛесяти ходил.
Поэтому инженеры в области связи и электронных устройств разработали новый м и етод исследований на базе комплексного анализа и предложили концепцию о ных характеристик. В 1932 году американец шведского происхождения Гарри Н и вист (Наггу Хус)ч1зг) опубликовал свою знаменитую теорему о том, как определить устойчивость по форме частотной характеристики. Критерий Найквиста, котоРый в оме т своего появления "итался революционным на сегодняшний лень представляет собой лишь небольшую часть вводных курсов по теории управления. Но в те времена военные считали эти теорему настолько важной, что США держали ее в тайне до конца Второй мировой войны.
В большинстве случаев технические процессы очень сложны и нелинейны. В 1940-е годы стзл стандартным подходом метод обратной связи; были разработаны устройства на базе концепции пропорционально-интегрально-дифференциального (ПИД) ре1улирования (раздел 6,4). Метод частотных характеристик доказал свою эффективность для анализа лицеаризованных моделей динамики процессов. В 1950-е годы некоторые исследователи вернулись к описанию систем обыкновенными дифференциальными уравнениями как основе управления пропессами.
Это направление было стимулировано американской и советской космическими программами, поскольку обыкновенные дифференциальные уравнения прелставляют собой естественную форму описания динамики космических кораблей. Тенденция усилилась с появлением цифровых ЭВМ, которые позволили проводить расчеты, ранее практически не применявшиеся из-за огромных затрат времени. Цифровые ВВМ требовали, в сво1о очередь, новой математики. Инженеры работали с диффеРенциальными уравнениями состояния, а не впрямую с частотными или характеристическими уравнениями. Были введены новые фундаментальные понятия — управляемость, наблюдаемость и обратная связь по переменным состояния.
для решения задачи алачи оптимизации траектории полета были разработаны новые разделы вариациопного исчисления. В хими химии и механике естественным является вывод дифференциальных уравнений мо е лели па базе физических свойств системы. Такой подход возможен и в других приложен жениях, но, несмотря на зто, ПИд-регуляторы используются во многих технических е Решениях. Поэтому обычной практикой является применение и дифференциальных а УРавнений, и частотных характеристик. Описания в частотной области поПРсжнем п п у популярны в электротехнике и электронике и совершенно естественны лля многих и и о ыкновс.
Р ложений. Сложные системы предпочтительнее описывать в терминах евонных дифференциальных уравнений. 3.3.2 Уравнения состояния 1(иффс ффсренциальные уравнения, описывающие физический процесс, всегда ' ОХ1НО и ео Реобразо вать к системе обыкновенных дифференциальных уравнений перого по я Р Лка. В этом случае говорят, что это описание в виде уравнений состояния ли вп Ространстве состояний (згаге-эрасе /опл). Главное преимущество такой ирмы записи в том, что для решения этих уравнений можно испольаоэать числен- вв Глава 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
