Густав Олссон, Джангуидо Пиани - Цифровые системы автоматизации и управления (1087169), страница 21
Текст из файла (страница 21)
датчики тоже могут вести себя нелинейно (глава 4), В частности, у датчиков те й фНЗ11' пературы или давления выходной сигнал нелинеино зависит от измеряемой ф ческой величины. Такая зависимость может быть линейной для малых значе ний ср" нала и нелинейной — для больших. Поэтому уравнение (3.2) нужно переписать' более общем виде более компактно в матричных обозначениях )(лн о у(г) = д(х(1), п(г)) (3.7) омпоненты вектоРа К сУть фУнкции Яр, Я2, „„нл и (н1 82 "' Кл) Обычно для нелинейных систем аналитическое решение не известно, поэтому испол ользуются численные методы, что вполне приемлемо в большинстве случаев. Важнайтн уравнения состояния системы, чтобы по ним построить модель.
Если извест„модель в виде дифференциальных уравнений, то всегда есть методы решения. 3.3.7. Численное моделирование динамических систем для решения нелинейных дифференциальных уравнений в большинстве случаев используются численные методы. Основной метод решения дифференциальных уравнений — аппроксимация производных по времени простыми разностными уравнениями.
Этот метод называется аппроксимацией Эйлера с восходящими разностями х(г ч Ь) = х(г) ь Ь 1(х(г), п(г)) Если известны начальные условия х(0), то можно рассчитать состояния х(Ь), х(2Ь), х(ЗЬ), ..., которые являются приближениями точного решения в моменты времени Ь, 2Ь, ЗЬ и т. д, Здесь очень важно выбрать шаг (згер) интегрирования Ь, котоРый, в принципе, должен быть как можно меньше, однако на практике выбирается некая компромиссная величина. Слишком маленький шаг приведет к неоправданно болыпому времени вычислений (которое, естественно, еше серьезно зависит от слож'юстн вычислений, типа уравнений, числа переменных и мощности процессора). С другой стороны, слишком большое значение Ь вызывает проблемы сходимостц решения и п и приводит к нежелательным результатам.
Эффект неправильно выбранного шага мо может оказаться очень существенным, особенно если моделируемая система включает в чает в себя и быстрые, и медленные динамические процессы. ПРимер 3.16 Поо Роблема слишком большого шага Для иллюс иллюстрации проблелры слишком большого шага рассмотрим простую систем У,описываемую уравнением первогопорядка гдех(0) = 1 ( ) =- 1 и а > О, Уравнение имеет аналитическое решение х(г) = е "' С др гой 1'одом;- У 'ой стороны, дифференциальное уРавнение можно решить численно меем Эйлера.
Прн аппроксимации производной конечной разностью 4 рп. Ш 1 98 Глава 3. Описание и МодвлнранМйФеист,„ бх(г) х(г е Ь) — х(г) пг Ь решение имеет вид х(Гч. Ь) =х(1) — Ь а х(Г) = (1 — Ь а) х(1) 0.8 О. 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0 0.5 1 1.5 2 Г 0 0.5 1 1.5 2 Рне. 3.16.
Численное решение дифференциального уравнения первого порядка Их/Ж - -ах при а = 2 и различном шаге интегрирования Ь: а — Ь = 0.05; б — Ь = 0.1 н 0.4 На рис. 3.16 показано, что происходит при различных значениях шага Ь. В общем случае для больших значений Ь вЂ” таких, что ~1 — Ьа~ > 1, т. е. Ь > 2/а, решение х будет иметь колебательный характер с изменением знака и ростом амплитуды. Проблема возникновения колебаний из-за слишком большою шага интегрирования называется численной неустойчивостью.
Эта неустойчивость не имеет ничего общего с самой системой и вызвана только слишком грубой аппроксимацией при вычислении решения. рыен модели динамических систем 8 Непрерыеныемодел 3. проверять согласованность уравнении; еупорядоч вать уравнения для о" имизации итерационного процесса. — переупо ядочивать — интегрировать уравнения; — отображать результаты в требуемой форме (таблица или графи„) менные пакеты моделирования обеспечивают набор простых команд для Современные пакеты м ия параметров или начальных условий и несколько алгоритмов интегриропзченения параметров , нз которых можно выбрать наиболее подходящий для конкретной задачи, алия, нз кото ых можн Онн также имеют Раза же имеют развитые возможности отображения результатов в легко воспринимаемой г ой графической форме. На рынке есть несколько мощных пакетов моделирования — Мат11ешайса, Впппоп, Ма11аЬ, 51шп11пк, Еазу-5 и АСЕЙ существуют в версиях для различных вычислительных платформ.
Программа Мат!аЬ быстро приобрела большую популярность как аналитический инструмент, поскольку она поддерживает песк несколько математических методов: матричные вычисления, методы линейной алгебры, идентификапию параметров, анализ временных рядов и синтез систем упрзвл веления. Диаграммы, приведенные в этой книге, были получены с помощью программы 51 шпоп, разработанной на кафедре автоматического управления !.ппд 1пчйт псе о! Тесппо!ойу. Программы %шпон и АСЯ! являются пакетами моделирования, ориентированными на уравнения, т, е, системы в них описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями.
Другие программы моделирования, например Еазу-5 и Ятп11лк, снабжены готовыми модулями описания элементов процессов; пользователь имеет возможность добавить к пакету свои собственные модули. Идея таких пакетов заключается в объединении нескольких модулей в единый процесс. В остальном они содержат те же самые средства численного интегрирования и взаимодействия с пользователем, что и программы, ориентированные на уравнения. Одно из ограничений программ моделирования на основе готовых функциональных блоков есть требование наличия причинно-следственных связей, т. е.
для уравнения (модуля) всегда необходимо описать вход и выход. Но в реальных ситуациях зто не всегда возможно — например, одновременные события не взаимосвязаны. При моделировании резистора наперед не очевидно, будет ли нужно уравнение в виде и-Я 1 нли в виде Существует много методов численного интегрирования, каждый из которых име ет свои достоинства и недостатки; наибольшее распространение получили методн рунге-Кутта. Большинство методов интегрирования допускают варьируемую вели чину шага, которая выбирается автоматически, чтобы Удовлетворить наперед задав ному критерию погрешности. Имеется несколько коммерческих пакетов программ для моделирования, позволх ющих решать нелинейные дифференциальные уравнен1ш. Под "решением" здесь пе' нимается, что значения переменных состояния можно получить численным интегрв' рованием дифференциальных уравнений прн заданных начальных условиях в входных сигналах, являющихся функциен от времени При использовании таких про грамм необходимо задать дифференциальные уравнения и некоторые параметры численного интегрирования — метод, Разм~р шага ф~рму представления решения (таблв' па или график) н т.
п. Хорошие программы должны быть способны как минимум: и Я Все се зависит от окРужения, в котором находится резистор. Соответственно, моделируюп!нй инструмент должен уметь ослаблять причинно-следственные ограничения, пе в Рвоначально наложенные на уравнения. Эта концепция привела к парадигме объе ъектно-ориентированного моделирования, в которой язык моделирования устанавл вливает точное соответствие между физическими объектами н их представлением а Ра р~мках модели. Примером объектно-ориентированного пакета моделирования явл"ется Пупю1а фиРмы !)Упав!т АВ (г. Лунд, 1Пвеция). Тзуто!а, Разработанная Хилдин ""том Елмквистом (Н11йпй Е1тс)ч1зт), автором программы 51п поп, является ннстРум Ументом для построения сложных моделей, которые затем обрабатываются другой и Рограммой, например 51п1поп или $1шп1 1пк.
Глава 3. Описание и моделировали в сисз„ Для некоторых приложений, таких как авиатренажеры, модели атомньгх р ров и энергосистем, разработаны специализированные пакеты моделировагг„ х Редда системы должны моделировать хорошо известные технические процессы „„' > низ. 3, пред, ых ситуациях и в основноьг испо!!звук гтся для треш!Ровни о ерагод„ и проектирования систем. Во многих случаях зти программы сопряжены с Р „ езды, ми системами управления и могут обрабатывать поступающие от них данны г 'е (гсг, ствснно, при этом команды не посылаются в реальный техническии процесс) 3.4. Дискретные модели динамических систем Цифровая Э ВМ не может обрабатывать постоянно меняющиеся аналоговы~, е дгг пые.
Соответственно, и сбор данных, и выработка управляющих сигналов про„,, дят только в определенные моменты времени. Ситуация принципиально не меняг„ гв при повышении скорости процессора. Более быстрый процессор работает по тому; принципу, что и более медленный, — он просто обрабатывает больше данных загс же интервал времени, но данные при этом остаются дискретными. Ниже излагается модель физического процесса, пригодная для приложений коггдг ютерного управления.
В соответствии с рассматриваемой моделью измеряемые дан ные процесса собираются через регулярные интервалы времени. Эти интервалы в обязательно должны быть одинаковыми, однако описание дискретной динамическ1 модели становится проще при постоянном интервале. Данный процесс называется вн боркой, дискретизацией (затр[гггд) или квантованием, длина интервала — време!и! (периодом, интервалом) выборки, дискретизации (затр[глд ггте) или квантовави Практические методы дискретизации сигналов детально обсуждаются в разделе 5.1 Другое упрощение, используемое при разработке дискретно-временных ыодегггг процессов, состоит в том, что измеряемые данные и сигналы управления остаюго постоянными в течение интервала выборки. Фактически таким же образом работмг схемы выборки и хранения интерфейса компьютера (раздел 5.1).
3.4.1. Описание в пространстве состояний Нелинейный процесс [уравнение(3.5)] можно аппроксимировать разноствн" уравнением (З.Й х[(6-г 1)6] = х(ЬЬ) г Ь. 1(х, и) где Ь - интервал выборки и Ь вЂ” его порядковый номер; 1(х, н) — производная по вгг кс им!. мени вектора состояния системы х в соответствии с уравнением (3.5). Аппрокси е ция справедлива, если Ь достаточно мал и производная "гладкая".
Разпостное УР пение по существу такое же, что н при численном моделировании (раздел 3. З.З,П Линейная система с постоянными коэффициентами [уравнение (3.1) ] в дискретно" виде представляется следующим образом хг[(6е1)6]= (1 г6 аг !) хг(66) г...
! Ь'аг~ х~(66) гЬ'Ьг!'и (66)+ .гЬ 6 и (66) х [(/г ! 1 )6] =' (1 г 6' а~! ) хг(66) + ... з 6™агт хгг(66) ' Ь ' 6~! ' иг(66г) + г /г 6 .иг(66) и динамических систем тные модели г! скрвтны х это можно записать обозначени 3 хгатрв~"" 6 А х(66) ~ 6, В ц(ЬЬ) = (1 ь Ь А) . х(66) е Ь В п(66) „ ,)6] = ,(66) г 6 ированной системы аппроксимация (3.8) не обяза"ной или линеаРизир Для "" ифференциальные уравнения можно решить анализ ьку линейные дич льна. По! "з"" авнения для дискретного представления можно о уическ"' 3 ",' П полагается, что сигнал управления н(г) остается ч ить из ура' ' и выборки,, е.
система включает в себя схемуудержа!иежду моментами вы о пост ельмож! оза атьвматрич ом где оянным ме искретную модель . вия Д „[(Ь- 1)6]=Ф (Ы)ьГ ц(ЬЬ) (3.9) Рнца Размерностью и и, ю л х и, а à — матрипа размерностью л гг г. Связь между матрицами и А и В и матрицами Ф и Г следующая (ЬА)2 Ф=е =1гЬАг 2! (ЬА)2 Г= 1Ьч 2! где1 — единичная матрица. Преобразование между матрицами для непрерывной и дискретной моделей можно выполнить с использованием стандартных программ. Аппроксимация конечными разностями Ф =1-ь Ь А и Г = Ь В стремится к точному решению при малых значениях интервала выборки 6.
Поскольку измерения происходят периодически, то уравнение (3.2) для дискретной модели справедливо только в моменты выборки у(66) = С х(ЬЬ) ь 1) н(!гЬ) (3.10) Решение уравнений дискретной модели на цифровой ЭВМ получается довольно "Р -о: Решения х(66) в последовательные моменты времени вычисляются шаг за ша! ом на основе разностных уравнений 3 4 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
