Густав Олссон, Джангуидо Пиани - Цифровые системы автоматизации и управления (1087169), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Отношения вход(выход и оператор сдвига В дискретных моделях, так же как и в непрерывных, часто удобно напрямую связат" вход процесса и с его выходом у, в особенности, когда регулятор записан в такой гке форме, т. е, он оперирует выходной величиной процесса для подсчета упРавляювгего сигнала.
дискретно-временной анализ проще выполнить при помощи оператодвига г) (зЬ~Й орегагог). Эффект от применения оператора д к зависящей от време!! переменной з(г) такой же, что и сдвиг по времени на интервал Ь вЂ” его также "" ьгвают сдвигом вперед (уогтаггг зЬяшй) (3.11) гг 2(66) = з[(6 '! 1)6] помощью оператора сдвига разностные уравнения можно заменить на алгебрапч вские, которые проще преобразовывать и решать. Здесь использован принцип, палогнчный преобразованию Лапласа, для упрощения лифференпиальных уравнений "с помощью комплексной перемепнои х 102 Глава 3. Описание и моделирование с„ схо „ Оператор обратного сдвига ьу 1 (БасЫапу зЬ1)1 орегпгог) сдвигает функци, иль в мени на один шаг назад л ьУ ' г(АБ) =г[(А — 1)Ь] В общем случае оператор сдвига можно применять несколько раз ьу" г(АЬ) = ьу ьу ... ьу.г(АЬ) =г[(А+п)Б] Оператор сдвига ьу можно применять и к вектору х(АБ), что эквивалентно исл .
"в зованию этого оператора к каждому его компоненту. Если существует дискретное представление в пространстве состояний [ь „ пения (3.9) и (3.10)], то, исключив вектор х и приведя подобные члены, пол „„„ связь между входом и выходом в виде у[(А + п)Ь]+ аь у[(А+ я — 1)Б]+ ... + ал у(АБ) = Бо и[(А+ п)Ь]+ ... +Б„и(АБ) Применение оператора сдвига ьу дает более компактную запись (ьУ" + а, ьУ" ~+...
+да).У(АБ) =(БО ьУ" +Б, сУ" ~+... ь Бл) и(АБ) (3.11] Выше было показано, что зависимость между входными и выходными перевел ными линейной системы можно представить передаточной функцией С(з), опрев ляемой как отношение изображений Лапласа входных и выходных сигналов сисв. мы. Аналогичное описание можно получить с помощью оператора сдвига ьу в упь дискретных систем. Дискретный передаточный оператор Н(ьу) (гумстете гтль)л орегагог) определяется из уравнения (3.13) следующим образом у(АБ) Бо .
ьул ь Бь. ьул ь ь ... + Б ~()- (3.14[ и(АБ) ьу" + аь. ьу" + ... +ал Выражения в обеих частях уравнения (3.13) можно сдвинуть на и периодов назад, 'ль эквивалентно их умножению на ьу ". Тогда отношение вход/выход выражается в виде у(АБ) + аь.у[(А — 1)Ь] + ... + а„у[(А — п)Б] = Бо. и(АБ) + ...
+ Б .и[(А — п)Ь] Используя оператор обратного сдвига, это отношение можно записать проше (1 + а ь . ьу 1 + ... + а„.ьу ") у(АЬ) = (Бо + Б1 у ~ +, + Бл гу ") . и(АБ) (зло] Соответствующий дискретный передаточный оператор имеет вид Бо+ Б1 ч ь + -. + Б ч (3 15] Н'И ')- и(АБ) 1+аь ьу +...ьи„ьу" Если числитель и знаменатель уравнения (3.15) уьиножить на ьу, то в резульп п тая получим уравнение (3.14), т. е. Н'(1у-1) = У1(М. Дискретный передаточный оператор можно получить непосредственно из описг ния в пространстве состояний [уравнения (3.9) и (3.10)]. Ниже сформулирован Ре зультат, доказательство которого дается в учебниках по теории управления.
Св С язь между дискретным передаточным оператором и матРицами в пространстве состоя' ннй определяется следующим соотношением у(АБ) Н(О) = Н*(О-') - — = С. (у. 1- Ф)-ь . Г., р и(АБ) 103 динамических систем етные модели з Дисхре го выражения д рассматривается как комплексное число, лччении этого в При "ол) оператором. Для систем с одним входом и и одним выхо- „; ьно является о отя формал т одну строку, матрица à — один столбец, а матрица Ф вЂ” разом У матР Оо матРица Р нУлеваЯ, что означает отсУтствие алгебРаичесмерность ческих) связей между входом и выходом технического ямых физичес процесса.
ае, как и для непрерывной передаточной функции, коэффици- нскретном случае, к В диск п еделяются из внутреннего описания в пространстве состояний, нозначно определяю ку вектор переменных состояния х можно сформировать, ис- алогично, поскольку ве Аналоги льз я разные варианты нты представления, из Н(ьу) можно получить множество раз- Ф Г, С и р Описание системы в виде передаточного оператора являл ьчных матриц,, и ым, а с помощью матриц переменных состояния — нет, ется однозначным, Пример 3.17 дискретное описание механической системы в пространстве состояний В качестве примера дискретного описания в пространстве состояний рассмотрим еше раз механическую систему из примера 3.11 (раздел 3,3.' ).
..2 . Сначала определяется шаг выборки Ь. После этого можно вычислить матрицы Ф и Г уу1 Бь] Ф= 'Б=А+АБ -(АБ)"...= 2 10 1) Бг Г = (1Ь + — АЬ2 + „) В- 1 2т Б 2 2 "' Б т Дискретная модель механической системы приобретает вид ]1 Бь Б х[(А 'ь 1)Ь] = х(АБ) -~- 2 0 1) т У(АБ) С х(АБ) - (1 0). х(АБ) Теперь передаточный оператор можно вычислить, используя уравнение(3 16). Заметим, что ьу мы рассматриваем как комплексное число. Тогда Бг /ьу — 1 — Б 1 2т Б ьу+1 Н(у)=(1 О) ~ 0 ьу — 1/ Б 2т (ьу — 1) 105 Глав а 3. Оп и с аНИВЗСЧВВ|вввироеан н нне саст ь, Это выражение можно переписать в следующем виде оценка и наблюдаемость 25 п „емоОТЬ ОЦ х[(6 + 1)Ь1 = е " ' х(66) = ср х(66) т 2 1 — (д — 2д+ 1).у(66) = — (с) ь 1) и(66) или, подставляя сь т 1 62 ' [У[(6+ )6] — 2УНЬ + 1)6] +у(66)~ = — [и[(6 + 1)6] с- и(66) ] Аналогично, со сдвигом по времени на 2Ь т 1 — [у(66) — 2у[(6 — 1)Ь] + у[(6 — 2)6]~ = — [и[(6 — 1)Ь] + и[(6 — 2)6]] 2 Это дискретная модель механической системы.
Выполним для сравнения простую разностную аппроксимацию непрерывной модели, описанной в првмере 3.2 (раздел 3,2.1). Разностная аппроксимация назад дает — .[У(66) — 2У[(6 — 1)Ь] + у[(Ь вЂ” 2)6]] = и(66) а при разностной аппроксимации вперед имеем 62 2 ' [УНЬ ж 2)Ь] — 2У[(6 + 1)Ь] + У(66)~] = и(66) Аппроксимации, полученные разностями вперед и назад, аналогичны и от личаются сдвигом по времени на 2Ь. При малых значениях 6 дискретная мо. дель в пространстве состояний стремится к разностным аппроксимациям. Таким образом, для того чтобы получить дискретную модель аналоговой систсиз мы можем использовать два способа. Первый — аппроксимация исходных уразве"" разностными [уравнение (3.9)]; если исходная система линейна, то Ф и Г можно "' лучить из А и В.
Второй — получить передаточный оператор Н на основе дискре™ зосс описания системы в пространстве состояний с помощью уравнения (3.10). чяс. Ранее отмечалось, что полюса непрерывной модели идентичны собственн™ ч, сы соб' лам матрицы А. Аналогично, полюса дискретной модели системы идентич™ ственным числам матрицы Ф. Рассмотрим непрерывную систему первого порядка ах — = — а.х ссг ь х ус."~ При а > 0 система устойчива и сходится к пулю независимо от начальных вий, т. е. х(с) = е " х(0) Пискретное описание системы имеет вид что произведение а .
Ь стремится к нулю. Тогда сР стремится ть 6 так мало, гг ПУ~~~ то означает, что состояние системы между последовательными Физически зто 03 к 1 Ф изменяется Очень незначительно. С другой стороны, если Ь ентаМИ ВЫООРКИ |юме"та ится к нулю. Это означает, что между двумя выборками систе, то ср стремится велико нчего не "помнит'*. Поэтому очевидно, что интервал выборки Ь актически ничег ием коэффициента а и должен выбираться так, чтобы избежать вязан со значением к связа решения. Определение интервала выборки подробнее обсуждавеу стойчивости Реш 5 Цс Собственные числа |е числа Х матрицы А соответствуют собственным числам е матришепрпведепн ого примера системы первого порядка мы видели, что для и, Ф Д|ся вышепр | ости необходимо и достаточно, чтобы собственное число ( — а) было веще- ее устойчивости нео ственным и меньш и меньшим нуля.
Соответственно, для дискретной системы собственное число е "" будет лежать в диапазоне вещественных чисел от 0 до 1. Колебательная система второго порядка имеет собственные числа — О -"уо. Коле- бания будутустойчивы при О > 0 (раздел 3.3А). Соответствующие собственные чис- ла дискретной модели суть е о'~с~ и е о '~~'. Очевидно, что, поскольку мы рассмат- Риваем одну и ту же физическую систему, эти собственные числа соответствуют тому же самому колебательному процессу, но только наблюдаемому в моменты времени с интервалом Ь.
Заметим, что при и > 0 собственные числа дискретной модели расположены внутри единичного круга. Приведенные примеры уравнений первого и второго порядков можно обобщить для систем более высоких порядков; если собственные числа — |с, соответственно, полюса — дискретной модели расположены внутри единичного круга, то система устойчива. Таким образом, внутренность единичного круга соответствует левой части комплексной плоскости для непрерывных систем, 3 о Управляемость, оценка и наблюдаемость Каж а ждая техническая система обладает несколькими фундаментальными характеРистпкам| кзь'и, которые требуют особого внимания.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
