Густав Олссон, Джангуидо Пиани - Цифровые системы автоматизации и управления (1087169), страница 17
Текст из файла (страница 17)
ным, т. е. генерирующим напряжение или ток. Узел (поНе) — это точка, в которве соединяются три илн более ветвей. В узле ток может иметь более чем один путь. Закон Кирхгоффа для тока утверждает, что сумма падений напряжения по любому замкнутому контуру равна нулю Закон Кирхгоффа для напряжений есть следствие принципа сохранения энергия Прн записи баланса напряжений можно идти вокруг замкнутого контура в любек направлении и суммировать падения напряжения при условии, что каждый элемелз учитывается только один раз. Основы электромагнитной теории сформулированы в уравнениях Максвеллв С точки зрения динамических систем имеется два элемента с зависимым от времени состоянием: конденсатор — для накопления электрического заряда и индуктив.
ность — для накопления энергии магнитного поля. Конденсатор в цепи накапливает электрический заряд, т. е. энергия сохраняетсв в электрическом поле. Ток, текущий через конденсатор, пропорционален произвой ной от напряжения на конденсаторе по времени Рассмотрим простую резистивпо-емкоствую (ЯС) цепь (рис. ЗА) и проанализируем зависимость напряжения на конденсаторе от напряжения источника. Рис. 3.4. Пассивный низкочастотный др-фильтр первого порядка Закон Кирхгоффа для напряжений цепи лает и — Я г — па — 0 где )7 —. активное сопротивление, а ьа — напряжение па конденсаторе, о род ое уравнением После исключения тока ( из дифференциального уравнения, имеем Ото дифференциальное уравнение первого порядка характер стоянной времени (Гзте сопвтапт) Если начальное напРяжение на конденсаторе равно нулю, то скачок входного напряжения ь'; вызовет экспоненциальный рост напряжения на конденсаторе э (Г) = в (1 — с н!Г) ~а Рис.
3.5 показаны переходные процессы (ггапявпг гевропзе) в )7С-цепи лля различных значений постоянной времени — с ростом Треак реакция процесса замедляется. 0 0.2 0.4 06 0,8 1 время Ряс. 8- вап .э Изменение напряжсвн Р я яа конденсаторе в ЯС-цепи при скачке входного Ряжения для азл Р . ичных значений постоянной времени Т- Я. С Вэл ся нсп электронике и технике связи обычнои практикой анализа систем являетк у дального вхолного сигнала. Предположим, что вход"спользовавиесин сои ое напряжение цепи имеет вид т',(Г) = )', вьв(ют) де р — максим саторе че ез наченне амплитуд ' пряженне на конденРе через некоторое время также станет синусоидальным.
Глава 3. Описание и моделирование систем 78 в,(г) = Ъ'„. гйп(юг — гр) Пример 3.5 питание цели возбуждття алатора В=и Н жаяиилаый поток ротор рис. 3,, 3 7. Схема двигателя постоянного тока Выходной сигнал имеет такую же частоту, что и входной, но другие амплитуду и фазу: где г' - Ъ'/111ч-(оэ В С)7иця=агстй(ю Я С).
С ростом частоты амплитула выходного напряжения падает и все боль и б ше больше отстает по фазе. Цепь с такими свойствами называется низкочастотным фильтром (1от-раьх /йег), поскольку она пропускает низкие, но гасит высокис частоты. Приведенный пример иллюстрирует два основных метода описания линейных систем — во временной области (бте-г(отаял) и в частотной области Яег)пенсу. г(ота1л). Лпализ во временной области рассматривает поведение системы во време ни, т, е. зависимость от времени ее реакции на конкретный входной сигнал — скачок, Частотный анализ исследует поведение системы под воздействием внешних возму. щений различной частоты, При изменении магнитного поля во времени возникает электрическое поле Это — закон Фарадея (закон электромагнитной индукции), который описывается одним из уравнений Максвелла.
В соответствии с законом индукции напряжение еэ,д.с. индукции, — наведенное на концах идеальной катушки, т. е. катушки без актив. ного сопротивления, равно тле ЧЯ вЂ” потокосцепление витков катушки (потокосцеплсние — это произ д ве ение магнитного потока Ф через один виток на число витков г(). Потокосцепление катуш кн с током 7 и индуктивностью Л Д ими словами, в катушке (индуктивности) энергия сохраняе тся в магнитноя руг поле. Дифференциальные уравнения для емкости и индуктивности р д сти п едставляют со' ие отношения можно полУ' бой основу для описания электромагнитных цепей. Другие отн чить из этих основных уравнений с помощью алгебраическ х пр р и еоб азований.
Соог )( енностью магнитного поля ношение между магнитной индукцией В и напряженно тью определяется свойствами среды где Гя — магнитная проницаемость материала. х значе е злах пронипаемость непостоянна и для больших знач ' В ферромагнитных материалах пр но о отека Ф, пропорцион ьная м .Нитной индукции ний Н величина магнитного поток вв я. Связь межлу магнитным потоком и током, созд шв будет постигать насыщения.
вяз . 3.6, ля, показана на рис, 3, напряженность магнитного поля, 2 Основы моделирования динамических.еиотем 32 сн ряс. 3.6. 11ростая магнитная пепь (а); типовая кривая намагничивания без гнстерезнса (О) Часто при описании магнитных цепей необходимо учитывать явление гистерезиса, из-за которого магнитная индукция не только функция тока, но и зависит от предысториии намагничивания. Двигатель постоянного тока с независимым возбуждением Двигатель постоянного тока (аЯ.с, тотог) преобразует электрическую энергию в механическую в виде вращающего момента (рнс.
3.7). в д игателе существуют два магнитных поля. Поле статора создается или посто янным магнитом, или электромагнитом; последний лолжен быть соеди- 81 Глава 3. Описание и моделирование систь 80 ! ! ! ! мехаиическая часть сс(/ со) = (с с' — Ть сУг 3 2.3. Баланс массы ПРимер3 В =й.— си — сс С вЂ” й СО алр су(! с) ,(г,~с с)с с(М вЂ” = %сс ЧоиС с(г где л„у де лх — полная лсасса нен с отдельным источником напряжения. Для простоты булем здесь полагать, что поле статора постоянно во времени. Магнитное поле ротора возникает прн подаче напряжения в цепь ротора.
Обмотки размещаются таким образом, что поле ротора всегда перпендикулярно полю статора. Известно, что если два магнитных поля расположены под углом друг относительно друга, то возникает момент, который стремится еде. пать их параллельными, Это принцип работы стрелки компаса — если стрелка не параллельна линиям магнитного поля Земли, то она поворачивается, пока не установится параллельно. Ротор под воздействием возникшего момента поворачивается, и его обмотки механически переключаются коммутатором, что приводит к изменению направления поля ротора.
Таким образом, в результате ориентация поля ротора в пространстве всегда одинакова и перпендикулярна по отношению к полю статора. Момент же сохраняется постоянным для всех углов поворота ротора, Момент, генерируемый двигателем, пропорционален магнитной индукции поля статора и току ротора Б Поскольку в этом примере мы предполагаем, что магнитная индукция постоянна, то момент двигателя Тт= сст с где)с — константа, зависящая от двигателя. Учитывая момент сопротивления нагрузки Т~, механическую часть можно записать следуюпсим образом (см, раздел 3.2.1) гле с' — полный момент инерции двигателя и нагрузки. В результате вращения в магнитном поле сгатора в обмотках ротора наводится з,д.с.
индукции е. При постоянном поле статора зщ.с. индукции пропорциональна скорости вращения ся е=-я, ш где сс — константа. Если единицы согласованы и потери пренебрежимо 8 малы, то сс =лт=к В соответствии с законом Ленца магнитный поток, вызванный з.дхь индукгсии э буде~ ориентирован против потока, вызванного исходным током проводника. Электрическая цепь ротора характеризуется ее активным сопротивлением Я и инлуктивностью 1..
Предполагая, что й — константа, закон индукции опре. деляет напряжения вдоль контура как с — ток ротора, а с — приложенное напряжение. Динамика лвигателя иллюстрируется рис. 3.8. Пр ложенное напряжение вызывае' р тоРа, создавая момент лвигавает ток ото геля. Момент воздействует на Ротор - ' ачннает вращаться с опредето, который на вы моделирования динамических систем 8 2 Осно й угловой скоростью. Наведенная з.д.с. индукции действует как обрат- ленной У ' ная связ язь между механикой ротора и его электрической цепью.
электрическая цепь ротора Рвс. 3.8. Блок-схема двигателя постоянного тока Для многих промышленных процессов существенным является моделирование оаланса массы различных компонентов, В открытой системе, где происхолит обмен с внешним миром, все уравнения баланса массы имеют одинаковую структуру приращение массы = приход массы — расход массы Такое уравнение можно сформулировать как для каждого отдельного компонента, так так и лля всей массы в целом. Приход (расход) массы может быть слелствием как входног .' диого (выходного) потока, так и химических реакций или биологического роста. Нескольк олько примеров иллюстрируют принципы уравнения баланса. ~алано общей массы Вак заполняется однородной несжимаемой жидкостью (рис.
3.9). Приход и Расхо 'ол массы обозначаются как с)ьл и сэо„с соответственно. Уравнение баланса имеет вид вз Пример 3.7 Баланс массы компонента Пример 3.8 Аэрация бака очистки сточных вод с7(1' с) =д с; — и с пг Глава 3. Описание и моделираМЫМЮгвист~ Рнс.
3.9. Емкость с однородной жидкостью Бак наполнен раствором с однородной концентрацией одного нз компонентов с (рис. 3.10). Рис. 3.10. Лннамнка концентрации в простом смесителе Сформулируем баланс массы компонента. 1(онценграция раствора во входном потоке с может меняться заданным образом. Расходы входного и выходного потоков считаются постоянными и равны и. Полная масса компонента в баке определяется объемом Г и ранна Ь' с. Будем считать концентрацию в выходном потоке такой же, как в баке. Тогда баланс массы компонента записывается в виде моделирования динамических систем Основы ольку объем )гпостоянный Посколь 1~ пс — — - — с+с, д (г Вид э 1 о)го дифференциального уравнения такой же, как и для электрической цепи - ц пи в примере 3.4.
Постоянная времени определяется здесь как Т = У/д. енепие концентрации в баке при скачке с; аналогично зависимости, предр1зменеп ставленой на рис. 3.5. Решение дифференциального уравнения имеет вид с(Г) = с, (1 — е ог) Интуитивно ясно, что концентрация будет меняться медленнее, если расход жидкости во входном потоке мал по сравнению с объемом 1~(зто соответствует большому значению Т). То есть баланс массы компоненты имеет такие же динамические свойства, что и низкочастотный фильтр.
В принципе, анализ рассмотренной системы можно выполнить и в частотной области, аналогично электрическому низкочастотному фильтру. В этом случае концентрация входного потока изменяется (модулируется) по синусондальному закону и изучается частотный отклик концентрации в выходном потоке. Этот подход, однако, не очень практичен для химических процессов, 1ак как постоянная времени может быть порядка часов и такой эксперимент продлится много дней. Уравнение, описывающее концентрацию растворенного кислорода в аэраторе станции очистки сточных вод или в ферментаторе, является нелинейным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
