landafshic_tom5_statfiz_Ch1 (1083899), страница 81
Текст из файла (страница 81)
О величине х(1) говорят как об отклике системы на внешнее возмущение. Всякое зависящее от времени возмущение может быть сведено путем фурье-разложения к совокупности монохроматических компонент, зависящих от времени как е-г '. Подставив в (123,2) ~ и х в виде ~„е-аы и хие-гмг, получим связь между фурье-компонентами силы и отклика в виде хи = сс (ю) 1и1 где функция а(ю) определяется как (123,3) а(ю)=- ~ а(() е™Л. о (123,4) а (ю) = а' (ю) + га" (ю).
Из определения (123,4) сразу видно, что (123,5) с ( — ю)=а (ю). (123,6) Отделяя здесь вещественную и мнимую части, находим а' ( — ю) = а' (ю), а" ( — го) = — а"(ю), (123,7) т. е, а'(ю) †четн, а а"(ю) †нечетн функция частоты. При ю = О функция а"(ю) меняет знак, проходя через нуль (или в некоторых случаях через бесконечность). г) В качестве примера укажем, что г' может представлять собой электрическое поле, а х — электрический дипольный момент, приобретаемый телом в этом поле. При этом а является электрической поляризуемостью тела.
з) Определенная указанным образом величина а(ы) представляется более удобной, чем иногда используемый обобщенный импедонс Я(ге)= — 1/гыа(ы), представляющий собой коэффициент в соотношении (и= Е(ы) (х)и. Задание этой функции полностью определяет поведение тела под влиянием данного возмущения. Мы будем называть а (ю) обобщенной восприимчивостью'). Эта величина играет основную роль в излагаемой теории, поскольку через нее выражаются, как мы увидим, флуктуации величины х'). Функция а(ю), вообще говоря, комплексна.
Обозначим ее вещественную и мнимую части посредством а' и а": 412 [гл. хп Флуктуация Следует подчеркнуть, что свойство (123,6) выражает собой просто тот факт, что отклик х должен быть вещественным при всякой вещественной силе ). Если функция 1'(1) чисто монохроматическая и задается вещественным выражением [" (1)=Бе),е ""= — 1[,е-'"'+[е'""~1, (1238) то путем применения оператора с«к каждому из двух членов получим [м (м) ~ф +м ( ы) ~«е (123,9) НЕ дН ~Й д~ согласно которому производная по времени от средней энергии тела равна среднему значению частной производной по времени от гамильтониана тела (см. э 11). Поскольку в гамильтониане явно зависит от времени лишь возмущение У, то имеем ЕŠ— «'[ —,= — х —.
ж ш (123,10) Это соотношение играет важную роль в применениях излагаемой теории. Если нам известно выражение для изменения энергии в том или ином конкретном процессе, то, сравнивая его с (123,!О), можно установить, какая величина играет роль «силы» ~ по отношению к интересующей нас переменной х.
Подставив х и 1 из (123,8 — 9) в (123,10) н усреднив по времени, мы получим среднюю величину энергии, днссипируемой (в единицу времени) в системе под влиянием монохроматического возмущения; обозначим эту величину посредством [~. Члены, содержащие ехр (~2(о1), обращаются при усреднении в нуль, условие вещественности этого выражения совпадает с (123,8).
В пределе ы — оо функция а(в) стремится к конечному вещественному пределу «»„. Для определенности будем считать ниже, что этот предел равен нулю; отличное от нуля и„требует лишь очевидных незначительных изменений в некоторых из получаемых ниже формул. Изменение состояния тела под влиянием «силы» 1 сопровождается поглощением (диссипацией) энергии; источником этой энергии служит внешнее воздействие, а после поглощения телом она превращается в нем в тепло.
Эта диссипация тоже может быть выражена через величину а. Для этого воспользуемся ра- венством 413 й 1231 Ововщкнндя иоспгинмчнаость и мы находим') Я вЂ” — (сх — ) 1/е ! — — сх (щ)! /, !з. (123,11) Отсюда видно, что мнимая часть восприимчивости определяет диссипацию энергии. Поскольку всякий реальный процесс всегда сопровождается некоторой диссипацией ((",г ~ О), то мы приходим к важному выводу о том, что для всех положительных значений переменной щ функция а" отлична от нуля и положительна. Оказывается возможным получить некоторые весьма общие соотношения для функции сс(щ) путем использования математического аппарата теории функций комплексного переменного. Будем рассматривать ю как комплексную переменную (щ = щ'+/ще) и исследуем свойства функции а(щ) в верхней полуплоскости этой переменной.
Из определения (123,4) и из факта конечности и(/) при всех положительных / следует, что сг(щ) есть однозначная функция во всей верхней полуплоскости и нигде не обращается в ней в бесконечность, т. е. не имеет особых точек. Действительно, при ш" ) 0 в подынтегральном выражении в (123,4) имеется экспоненциально убывающий множитель ехр ( — йо"), а поскольку и функция сг(/) конечна во всей области интегрирования, то интеграл сходится. Функция гх(щ) не имеет особенностей и на самой вещественной оси (ю" = О), за исключением, возможно, лишь начала координат'). Полезно обратить внимание на то, что вывод об отсутствии особых точек у функции а(ю) в верхней полу- плоскости является с физической точки зрения следствием принципа причинности.
Последний проявляется в том, что интегрирование в (123,2) производится лишь по времени, предшествующему данному моменту /, в результате чего в формуле (123,4) область интегрирования и распространяется от 0 до оо (а не от — оо до +оп). Из определения (123,4) очевидно, далее, что и( — щ*) =сс* (щ). (123, 12) Это есть обобщение соотношения (123,6), относящегося к вещественным значениям ш. В частности, для чисто мнимых зна- ') Если речь идет не о чисто монохроматической функции /(0, а о возмущении, дейстяующем в течение ограниченного промежутка времени (/ О прн )(~ го), то полная днссипация энергии за все время выражается через фурье-компоненты возмущения интегралом ь 0 — — (щ) ) /ы ) 2 =- ) 2 "(ю) ) /, )з — "- . З В о з) В нижней же полуплоскости определение (123,4) неприменимо, так как интеграл расходится.
Поэтому функция а(ю) в нижней полуплоскости может быть определена лишь как аналитическое продолжение выражения (!23,4) из верхней полупласкости. В этой области функции а(ю) имеет, вообще говоря, особые гочки, 414 [гл. хп Флуктулции чений го имеем: сс((го")=се'((ог"), т. е. на мнимой оси функция сс (го) вещественна. Докажем следующую теорему: функция и(го) не принимает вещественных значений ни в какой конечной точке верхней полуплоскости, за исключением лишь точек мнимой оси; на последней же сс(го) монотонно убывает от некоторого положительного значения сс, > О прн го = 10 до нуля при го = гоо. Отсюда же, в частности, будет следовать, что функция гк(го) не имеет нулей в верхней полуплоскости.
I О. Ркс. 53. Для доказательства ') воспользуемся известной теоремой теории функций комплексного переменного, согласно которой интеграл (123,13) взятый по замкнутому контуру С, равен разности между числом нулей и числом полюсов функции сз(го) — а в области, ограниченной контуром. Пусть а — вещественное число, а в качестве С выберем контур, состоящий из вещественной оси и бесконечно удаленной полуокружности в верхней полуплоскости (рис.
53). Предположим сначала, что ао конечно. Поскольку в верхней полуплоскости функция и (го), а потому а (го) — а, не имеет полюсов, то указанный интеграл дает просто число нулей разности а — а, т. е. число точек, в которых се(го) принимает вещественное значение а. Для вычисления интеграла пишем его в виде с причем интегрирование производится по контуру С' в плоскости комплексной переменной гх, являющемуся отображением контура С из плоскости го. Вся бесконечно удаленная полуокружность отображается в точку а=О, а начало координат(го=О) — в дру- з) Излагаемое ниже доказательство принадлежит Н. Н.
Мейланр. й 1231 415 ОБОБЩЕННАЯ ВОСПРИИМЧИВОСТЬ -РО 0 ИР РРО Рис. 54. гую, тоже вещественную точку срр. Правая же и левая вещественные полуоси рр отображаются в плоскости ср в некоторые весьма сложные (вообще говоря, самопересекающиеся) кривые, лежащие соответственно целиком в верхней и нижней полуплоскостях. Существенно, что эти кривые нигде (кроме точек ср=О и а=ар) не пересекают ось абсцисс, так как ср не принимает вещественных значений ни при каком (кроме Бр= 0) конечном вещественном значении ьр. Ввиду этого свойства контура С' полное изменение аргумента комплексного числа ср — а при обходе вдоль него равно 2я (если число а лежит между 0 и а„как изображено на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
