landafshic_tom5_statfiz_Ch1 (1083899), страница 83
Текст из файла (страница 83)
(124, 10) о Эти важные формулы составляют содержание флуктуаииопподиссипаииомной теоремы (коротко ФДТ), установленной Колесном и Вельтопом (Н. В. СаДеп, Т. А. У~е11оп, 1951). Онв связывают флуктуации физических величин с диссипативными свойствами системы при внешнем воздействии на нее. Обратим внимание на то, что множитель в фигурных скобках в (124,9) представляет в 1241 ельктххционно-днсснплциоянля твогема 421 собой среднюю энергию (в единицах Ьв) осциллятора при температуре Т; член 1)2 отвечает нулевым колебаниям. Подобно тому, как это было сделано в конце $ 118, полученные результаты можно представить в другом виде, рассматривая формальным образом самопроизвольные флуктуации величины х как результат воздействия некоторых фиктивных случайных сил.
При этом удобно записывать формулы, вводя фурье-компоненты х„ и 1„ так, как если бы х было классической величиной. Связь между ними записывается в виде х„= а(в) 1, (124,11) подобном (123,3), после чего для средних квадратичных флуктуаций пишем (х„х„) = а (в) а (в ) (~ („у, или, переходя к спектральным плотностям флуктуаций„согласно определению (122,4): (х') =-а(в)а( — в)(Г) =!а(в)Г(1') . Для спектральной плотности среднего квадрата случайной силы имеем, следовательно, из (124,9) (!24,12) Такая трактовка может представить определенные преимущества в конкретных применениях теории.
Вывод ФДТ основан на рассмотрении внешнего воздействия (!24,5) как малого возмущения; с малостью воздействия связана также и линейность отклика системы — линейность связи между х н силой 1. Подчеркнем, однако, что это обстоятельство отнюдь не приводит к появлению каких-либо физических ограничений на допустимые значения средней флуктуации самой величины к. Малость воздействия всегда может быть обеспечена сколь угодной малостью вспомогательной величины )', не фигурирующей в окончательной формулировке ФДТ.
Таким образом, для рассматриваемой категории физических величин х свойства их флуктуаций (в термодинамически равновесной системе) полностью определяются свойствами отклика системы на сколь угодно слабое внешнее воздействие. При температурах Т)лв имеем с1Ь(йв(2Т) ж 2Т)у!в, и формула (124,9) принимает вид (х')„= — а (в). (124,13) Из нее выпадает квантовая постоянная в соответствии с тем, что в этих условиях флуктуации классичны. 422 (гл. хп Флуктуации Если неравенство Т)) лсо справедливо при всех существенных частотах (частоты, для которых а" (ю) существенно отлично от нуля), то к классическому пределу можно перейти и в интегральной формуле (124,10): <х'> = — „~ — Йо. 2Т Га'(ы) о Но согласно (123,17) этот интеграл выражается через статическое значение сс'(0)=се(0), так что').
<х'> = Та (О). (124,14) Остановимся, наконец, на связи изложенных результатов с теорией квазистационарных флуктуаций Я 118). Прежде всего заметим, что если величина х такова, что ее флуктуации малы в подразумевзвиемся в 0 110 смысле (т.
е. допустимо разложение энтропии (110,3)), то средний квадрат <х'> = 1/р. Сравнение с (124,14) показывает, что для такой величины а(0) = —. 1 РТ' (124, 15) Пусть далее х относится к категории величин, флуктуации которых квазистапионарны. Предположим, что тело подвергается воздействию статической силы /. Это приводит к смещению состояния равновесия, в котором х уже отлично от нуля и равно х = — сс (О) / = //(гТ.
Макроскопическое уравнение, описывающее релаксацию далекой от равновесия системы, будет тогда иметь внд х)~хТ) (124, 16) отличающийся от уравнения х= — )х (118,5) тем, что скорость х обращается в нуль не при х=О, а при х=//()Т. Уравнение (124,16) можно считать применимым и в случае, когда тело подвержено воздействию зависящего от времени возмущения, ') Это выражение можно получить также н примо нэ распределении Гиббса в классической статистике. Пусть х =х (д, и) — некоторан классическая величина. Вводи в энергию систему член — х/ (с постоянным /), дли среднего значения х будем иметь х= ~х(д, и) ехр( (~' р) ' ~' ) ~одер, Т По определепню а(0) г)х/г)/ прн / — 0; дифференцируя написанное выражение, находим а (О) = —, ~ хз ехр ~ — /1 гй/ ар = — <хз> (свободнан энергии г тоже зависит от /, но член с производной дг/д/ выпадаег после того, как будет положено /=О, т.
е. х=О). $125! 423 Фдт для нескОльких Величин если только период изменения силы 1(1) велик по сравнению со временем установления. неполного равновесия (отвечающего каждому заданному значению х). Если 1(г) — периодическая (с частотой е) функция времени, то с той же частотой будет меняться и макроскопическое значение х(г). Подставив в уравнение (124,16) 1 (г) и х (г) в виде (!23,8 — 9) и отделив в нем члены, содержащие ехр( — 1ет) и ехр!ег, получим л (в.(е„,= 1,. (в„,+ т,„ откуда л рг(х — !е) ' (124,17) $ !25. Флуктуационно-диссипационная теорема для нескольких величин ФДТ легко может быть обобщена на случай, когда рассматриваются одновременно несколько флуктуирующих величин хо Обобщенные восприимчивости определяются в таком случае по отклику системы на возмущение вида У = — ху; (1) (125,1) Согласно ФДТ (124,9) находим теперь 2Х Йе Ье (Х')е = Р (1, + в,! 2Г с(п 2Т .
(124,18) Этот результат обобщает формулу (122,9), относящуюся к флуктуациям классической величины. Выражение (124,18) отличается от (122,9) множителем 27 а 2Г лв Йе (124,19) обращающимся в единицу в классическом пределе, когда 5е (с Т. Уравнение (124,16) можно рассматривать и в другом аспекте: не как макроскопическое, уравнение движения далекой от равновесия системы (находящейся под внешним воздействием), а как уравнение для флуктуаций величины х(1) в равновесной замкнутой системе, происходящих под влиянием случайной силы В такой интерпретации оно отвечает уравнению (118,9), так что оба определения случайной силы отличаются лишь множителем: у= Ц)Т(!.
Для спектральной плотности (у')„найдем, подставив (!24,17) в (124,12): 2Г 2Х Йе Йв (! 24,20) что отличается от прежнего выражения (122,10) тем же множителем (124,19). 424 [гл. хц ФЛУКТуАЦНИ н представляют собой коэффициенты в линейной связи между фурье-компонентами средних значений х;(() и обобщенных сил 7; (г): х;„= ам (в) (о„. (125,2) Изменение энергии системы выражается через внешнее возмущение согласно соотношению Е = — ~,хе. (125,3) Эта формула, как и (123,10), обычно служит в конкретнык применениях теории для установления фактического соответствия междУ величинами х; и (е.
Спектральные плотности флуктуаций вводятся по средним значениям симметризованных операторных произведений: 2 (х; хые +хо„,х, ) = 2н (х;хо)„6 (в+в'), (125,4) обобщающих выражение (122,8). Вычисление этого среднего как диагонального (пп) матричного элемента, аналогичное выводу (124,3), приводит к результату (хехе) = и ~ ((хе)„„(хо) „6 (в + в„„) + (хо)„„(х1)„„6 (в+ в„„)). (125,5) Пусть на систему действуег периодическое возмущение, в котором 1 ~, (1) = — ((ме-'"'+ (о;е' ').
(125,6) Отклик системы на это возмущение: — 1 х (1) = 2 [агд(в) (-е '""+а7о(в) ('ое'"1 Подставив (125,6 — 7) в (125,3) и усреднив по периоду возмущения, получим вместо (!23,11) следующее выражение для диссипации энергии: Я = 4 (а1 — ам) 1'1оо. (125,8) С другой стороны, вычисление, аналогичное выводу (124,7), дает Я = — в ~ ~о1)оо~(хе) (хе) 6 (в+в ) — (х) (хо) 6 (в+в Н, 2$ а сравнив с (125,8), получим а,я — ам = = — — ~„1(х') „(х„)„6 (в+в„) — (х1)„(хе) „6 (в+в„„)1. (125,9) 2 125! едт для нвскольких внличии Наконец усреднив (125,5) и (125,9) по распределению Гиббса, как это было сделано в предыдущем параграфе, найдем следующую формулу, обобщающую флуктуационно-диссипационную теорему (124,9): ! .. йы (х;ха)„= — — гГь (и„— а;„) с()т —.
2 Аналогично формулам (124,11 — 12) можно выразить и формулу (125,10) через фиктивные случайные силы, действие которых дало бы результат, эквивалентный самопроизвольным флуктуациям величин хе Для этого пишем х,:.= аге)еео ~,.„= а а'хьн (! 25,11) и далее Иа)е ай ает (хзхги)м. Подставив сюда (125,10), получим гй, )* пО3 И ).=- —, (иГе' — аг'*) с(ййг. (! 25,12) ') Точные уровни энергии системы взаимодействующих частиц могут быть вырождеиы только по направлениям полного момента системы.
Зтот источник вырождения можно исключить, предполагая тело заключенным в сосуд с неподвижными стенками. После этого уровни энергии тела будут невырожденными, а потому соответствующие им точные волновые функции могут быть выбравы вещественными. Полученные результаты позволяют сделать определенные заключения о свойствах симметрии обобщенных восприимчивостей ащ(ю) (Н. В. Са!1еп, М. Е.. Ваггпа)т, /.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
