landafshic_tom5_statfiz_Ch1 (1083899), страница 84
Текст из файла (страница 84)
т".. 3аснзоп, Р. Р. бгееп, !952). Предположим сначала, что величины хо хл инвариантны относительно обращения времени; тогда их операторы хг, хл вещественны. Кроме того, будем считать, что тело не обладает магнитной структурой (см. ниже примечание, стр. 436) и не находится во внешнем магнитном поле; тогда вещественны и волновые функции его стационарных состояний '). Поэтому будут вещественны также и матричные элементы величин х, а учитывая эрмитовость матриц хи, имеем: хи = — х'„=х „.
Тогда правая, а потому и левая стороны равенства (125,9) симметричны по индексам 1, л. Таким образом, а,а — им=ив,— а;е или ага+ага=ааг+аео т. е. мы приходим к выводу о симметричности вещественной части аг . Но вещественная (и,'а) н мнимая (аг,) части каждой из величин агд связаны друг с другом линейными интегральными соотношениями — формулами Крамерса — Кронига. Поэтому из симметричности и,'и следует симметричность также и и,"е, а потому (гл. хп 426 Флуктуации и целиком ам.
Таким образом, приходим к окончательному результату: ага (со) = ам (оо). (125,13) Внд этих соотношений несколько меняется, если тело находится во внешнем магнитном поле Н. Волновые функции системы в магнитном поле не вещественны, а обладают свойством ф'(Н)=1р( — Н). Соответственно для матричных элементов величин х имеем х„(Н)=х „( — Н), и выражение в правой части (125,9) не меняется при перестановке индексов 1, я лишь при условии одновременного изменения знака Н. Поэтому мы приходим к соотношению ая (Н) — ссм (Н) = яьк ( — Н) — ам ( — Н).
Еще одно соотношение дает формула 1(рамерса — Кронига (123,!4), в силу которой имеет место связь вида я„;=Ы(я„,), где о — вещественный линейный оператор. Сложив это равенство с эрмитово-сопряженным равенством ая = — 0 (аа), получим ям+ям= — (о (аа — ам) (все агл беРУтсЯ здесь, РазУмеетсЯ, пРи одном и том же значении Н). Отсюда видно, что если разность я,'~ — я„; обладает каким-либо свойством симметрии, то тем же свойством обладает и сумма я,'~+я„ь а потому и сами величины а, . Таким образом, ясо(со; Н)=а;(со; — Н).
(125,14) Пусть, наконец, среди величин х есть такие, которые меняют знак при обращении времени. Оператор такой величины чисто мнимый, и потому х„=х",= — т „. Если обе величины хо хо относятся к такому роду, то весь вывод и результат (125,13) остаются неизменными. Если же одна из двух величин меняет знак при обращении времени, то при перестановке индексов 1, й правая сторона равенства (125,9) меняет знак. Соответственно вместо (125,13) получим ам (со) = — ям (со), (125,15) или для тела в магнитном поле ам (со; Н) .= — — ссм (со; — Н) (125, 15) Все эти соотношения можно, разумеется, получить и из формулы (125,10) как следствие временной симметрии флуктуаций. Так, если две величины х; и х„ ведут себя одинаково по отношению к обращению времени, то в силу указанной симметрии в !25) 427 Флт для насколькнх аалнчнн ! (дкМон = уиРиа~ю1оа +т угт1он~ откуда ввиду произвольности 1, следуют соотношения между коэффициентами 1 —; +у,дрдда = т уд.
или ! ам= ~ (() — ддУТд) '. (125,18) Этим и устанавливается искомая связь между ам и кинетическими коэффициентами ум. Величины (1;д по определению симметричны по своим индексам (как пРоизводные — ддЯ/дх;дхд). ПоэтомУ из симметРии а,д величина (х;хд) вещественна и симметрична по индексам 1, л (см. э" 122). Тогда и правая часть формулы (125,10) должна быть симметрична по тем же индексам, и мы снова приходим к результату (125,13). Такой вывод свойств симметрии обобщенных восприимчивостей аналогичен выводу принципа симметрии кинетических (гоэффнциентов в й 120; мы увидим ниже, что формулы (125,13 — 16) можно рассматривать как обобщение этого принципа.
Связь обобщенных восприимчивостей с кинетическими коэффициентами выясняется путем сопоставлений ФТД с теорией квазистационарных флуктуаций нескольких величин. Выпишем соответствующие формулы, не повторяя заново всех рассуждений, подобных произведенным в конце предыдущего параграфа для случая одной величины. Статические значения восприимчивостей связаны с коэффициентами разложения энтропии (1;д равенствами Там (О) = р;д'. Поэтому смещение состояния равновесия при воздействии на систему статических сил (д определяется значениями х; = а;д (О) 1д =(1,Дд(Т, Х; = Рддхд — — ~;(Т.
Макроскопические уравнения движения неравновесной системы, находЯщейсЯ под действием квазистатическнх сил 1д((), можно представить в виде х; = — у;„(Մ— ~' )~, (125,17) отличающемся от (120,5) заменой Хд на Մ— ЦТ. Подставив в (125,17) х; (г) и ~, (1) в виде периодических функций (125,6 — 7) (причем Хд записываются в виде линейных комбинаций Хд=()д,х,), получим 428 !гл.
хп ФЛУКТУАЦИИ следует такая же симметрия у;а, т. е. обычный принцип симметрии кинетических коэффициентов. Рассматривая !а в уравнениях (125,17) как случайные силы, получим для них (путем подстановки (125,18) в (125,12)) ),, ьв (Ца)„= — АгоТ(ум +Та;) с(Л вЂ”. Если же определить случайные силы уг так, как это сделано в (!22,20), то у, =;;Да(Т; для их спектрального распределения имеем Аго Ьв (УОУО) (Ъд +У ) 2Т с(Л 2Т Это выражение отличается от (122,21) тем же множителем (124,19), обращающимся в единицу в классическом пределе. 9 126.
Операторное выражение обобщенной восприимчивости Флуктуационно-диссипационную теорему можно рассматривать также и в обратном аспекте, прочтя равенство (124,9) справа налево и записав (х')„в явном виде как фурье-компоненту корреляционной функции: а" (го)= — (Л вЂ” Г егФО(х(0)х(1)+х(1)х(0))г((. (126,!) 2ТО 2Т В таком виде эта формула дает принципиальную возможность вычисления функции а" (в) по микроскопическим свойствам системы. Недостаток ее состоит, однако, в том, что ею прямо определяется лишь мнимая часть, а не вся функция сс(гс.
Можно получить аналогичную формулу, лишенную этого недостатка. Для этого произведем прямое квантовомеханическое вычисление среднего значения х в возмущеннсмт системе (с оператором возмущения (124,5)) '). Пусть Ч'„™ — волновые функции невозмущенной системы. Следуя общему методу (см. П1, й 40), ищем волновые функции возмущенной системы в первом приближении в виде — тр ~О) + ~~~„п ф'~О! (126,2) где коэффициенты а„„удовлетворяют уравнениям Й вЂ” „""=$г „еО "' = — — х„„е' ' ((,е-гег+Дагам). и т) Такой путь прямее, чем испокьаонанне соотношений Крамерса — Кронига для определения сс' (в) (а аатем н асей сс (в)) по а" (в). 5 1261 ОпеРАРОРное ВНРАжение воспРнимчиВОсти 429 При решении этого уравнения следует считать, что возмущение «адиабатически» включается к моменту времени 1 от времени 1= — ОО (ср.
1П„$43); это значит, что в множителях е*"" надо заменить ы- е-!-сО (где символ 10 означает !6 при 6- +0). Тогда !,„, ~ 1,е-!ы !" е'н~ а = — х е" .+ ~л — 2Е вп ! и,„„— е — Ю ы„,-)-е — ~0~ ' (126,3) Сравнив этот результат с определением (123,9), найдем, а(ет) й Х~х""! ~ — — 'О+ + 'О1' (126'4) Вещественная и мнимая части в этом выражении разделяются с помощью формулы ! ! хх!О х —. = Р— -!-(пб (х) (см. П1, (43,10)). Для а" (Вт) мы вернемся, разумеется, к преж- нему результату (124,8). Легко видеть, что выражение (126,4) представляет собой фурье-образ функции à — (х (1) х (0) — х (0) х (1)>, 1 > О, а(1)=( (126,6) ( о, 1(0 (как и в случае корреляционной функции, это среднее значение зависит, конечно, только от разности моментов времени, в ко- торые берутся два оператора х(1)). Действительно, вычисляя функцию (!26,6) как диагональный матричный элемент по отно- шению к и-му стационарному состоянию системы (невозмущеиной), имеем при 1 > 0 а(1) = — ~~»' ~х„„(1) х „(0) — х„(0) х„„(!)~ = — ~' ~ х„„!*1е' х — е~" С помощью полученной таким образом функции Ч'„вычисляем среднее значение величины х как соответствующий диагональный матричный элемент оператора х.
В том же приближении имеем х=) Ч'„"хЧ' Йд=~ '(а„„х„е" + а' х„„е" ) = — х х ! ,е-"' к, с. Оа. Лю ~" "'х ! Ын„— а — !О+и,д,+ е+!01)' + 430 [гл. кн олкктклции где переход к не зависящим от времени матричным элементам произведен по обычному правилу: х„(г) = х„е! "" Поскольку функция а(() отлична от нуля только при г > О, ее фурье-образ вычисляется по формуле') е'"'с[! = —,. в+ (0 о (126,7) и совпадает с (126,4).
Таким образом, приходим окончательно к следующему результату: сс(в)= — ( есос <х(Г)х(0) — х(0)х(()>с[! (126,8) в.! о ()с. КиЬо, 1956). Будучи справедливой при усреднении по всякому заданному стационарному состоянию системы, зта формула остается тем самым без изменений и после усреднения по распределению Гиббса. Для обобщенных восприимчивостей ам (в), определяющих отклик системы на возмущение, затрагивающее несколько величин хг, аналогичная формула гласит: М ас» (в) = — „~ ецк <х! (Г) х» (О) — х» (О) х; (()> с[г. (126,9) о Задача Определить асимптотическое поведение сс (в) при в — ь со (полагая, что а(со) =0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
