landafshic_tom5_statfiz_Ch1 (1083899), страница 79
Текст из файла (страница 79)
хп флгктг»цнк Вполне аналогичные результаты справедливы и для кинетических коэффициентов ь;», фигурирующих в релаксационных уравнениях, представленных в виде, «термодинамически взаимном» по отношению к уравнениям (120,5): Х; = — ь;»х», ь;» = р11Х,». (120,1З) х; = — х —, г — — у;»Х;Х„ д1 (120,14) от квадратичной функции величии Хп построенной иа коэффициентах ум. Важность функции 1 связана с тем, что ею определяется скорость изменения энтропии системы 3.
Действительно, имеем а посколькУ 7 — квадРатичнаЯ фУнкциа от Хо то по теоРеме Эйлера получаем 5=27. (120,15) По мере приближения к равновесию энтропия возрастает, стремясь к максимуму. Поэтому квадратичная форма 7' должна быть су. щественно положительной; этим накладываются определенные условия на коэффициенты у,». Функция 7 может быть выражена и через величины х;; тогда ее производные дают скорости Х,: д( 1 Х(= — д ~ 2 ~~»хгх» (120,15) При этом, разумеется, по-прежнему Я=- — х;Х,= — 21. Для системы, состоящей из тела во внешней среде, можно преобразовать формулу (120,15), воспользовавшись тем, что изменение энтропии замкнутой системы прн отклонении от равновесия равно — )с;„/Т„где 1« ы — минимальная работа, необходимая для перевода системы из равновесного состояния в данное Коэффициенты ь;» обладают такими же свойствами симметрии, как и ум. В этом можно убедиться путем аналогичного вывода, ио это же очевидно заранее ввиду взаимного характера соответствия между величинами х; и Х; (см.
примечание на стр. 357). Если все величины х„..., х„ведут себя одинаково по отношению к обращению времени (так что матрица величин у;» целиком симметрична), то скорости х; могут быть представлены в виде производных 5 1211 401 днсснплтявная еункции (см. (20,8)) '). Полагая также Р,„= ЬŠ— Т, ЬЯ+ Р, Ю (где Е, Я, 'и' относятся к телу, а Т„Р,— температура н давление среды), получим Е ТоЕ+ Ра)У= — 2~То (120,17) В частности, если атклоненне от равновесия происходит прн постоянных (равных Т, н Р,) температуре н давленнн, то Ф = — 2(Т, (120,18) а прн постоянных температуре н объеме Р = — 2/Т.
$ 121. Днсснпатнвная фуакцня Макроскопнческое движение тел, погруженных во внешнюю среду, сопровождается, вообще говоря, необратимыми процессами трения, приводящими в конце концов к прекращению движения. Кинетическая энергия тел прн этом переходит в тепло, нлн, как говорят, дигсииирует. Чисто механическое рассмотрение такого движения, очевндно, невозможно; поскольку энергня макроскопического двнження переходит в энергию теплового движения молекул тела н среды, то такое рассмотрение требовало бы составления уравнений двнження для всех этих частиц. Поэтому вопрос о возможности составления таких уравнений движения в среде, которые бы содержали лишь макроскопнческне коордннаты тел, относится к области статистики.
Эта задача, однако, не может быть решена в общем виде. Поскольку внутреннее двпженне атомов тела зависит не только от движения тела в данный момент времени, но н ат предыдущей истории этого движения, в уравнения движения будут, вообще говоря, входить не только макроскопнческне координаты тел Я„ Я„ ..., Я, н нх первые н вторые пронзводные по времени, но н все пронзводные высших порядков (точнее †функц Яг(т) войдут под действием некоторого интегрального оператора). Функции Лагранжа для макроскопического двнження системы прн этом, конечно, не существует, н уравнення двнження в различных случаях будут иметь совершенно различный характер.
Форма уравнений движения может быть установлена в общем виде для случая, когда можно считать, что заданием коордннат т) Благодари итону соотношениго между изменением знтропни и )с„,1 определение величин Х; можно написать также и в виде Х;= —— 1 01(,аш (120,2а) Та дх; который иногда удобнее, чен определение (120,2) (ср.
(22,7)). 402 (гл. хп элэктэлпян Я! и скоростей ф! состояние системы в данный момент времени определяется полностью, и производными высших порядков можно пренебречь (более точно критерий малости должен устанавливаться в каждом конкретном случае). Кроме того, мы будем считать, что сами скорости Я; достаточно малы, так что их высшими степенями можно пренебрегать. Наконец, предположим, что движе. ние представляет собой малые колебания около некоторых положений равновесии — случай, с которым в этой связи обычно и приходится иметь дело; при этом условимся считать координаты 9, выбранными таким образом, чтобы в положении равновесия было Я;=О. Тогда кинетическая энергия системы К ф!) будет квадратичной функцией скоростей 1;!!, не зависящей от самих координат Д;; потенциальная же энергия У (Я!), связанная с действием внешних сил, будет квадратичной функцией координат ЯР Введем обобщенные импульсы Ро определив их, как обычно, посредством дК !0,) д!) (121, 1) Зти равенства определяют импульсы в виде линейных комбинаций скоростей.
Выразив при помощи них скорости через импульсы и подставив в кинетическую энергию, получим последнюю в виде квадратичной функции импульсов, причем будут иметь место равенства дК (Р;1 (121,2) Прежде всего отметим, что уравнения (121,2 — 3) находятся в формальном соответствии с принципом симметрии кинетических коэффициентов, если под введенными в з 120 величинами х„ х„..., х„понимать координаты Я! и импульсы РР Действительно, мййимальная работа, необходимая для приведения тел из состояния покоя в положениях равновесия в положения Я! с импульсами Ро есть )г ы —— К(Р;)+ У Я!).
Поэтому роль величин Х„Х„..., Х„будут играть производные (см. примечание на стр. 401): ! д!!щ!11 1 дУ ! длп,ь1 ! дК Если пренебречь процессами диссипации полностью, то уравнения движения будут обычными уравнениями механики, согласно которым производные импульсов по времени равны соответствующим обобщенным силам: д9.' (121,3) й 1211 диссиплтивнля вгнкция а уравнения (121,2 — 3) будут соответствовать соотношениям (120,5) причем в соответствии с правилом (120,12) (мы имеем здесь дело со случаем, когда одна из величин (Я,) остается неизменной при изменении знака времени, а другая (Р,) — меняет знак).
В соответствии с общими соотношениями (120,5) мы можем теперь написать уравнения движения с учетом процессов диссипации, прибавив к правым сторонам равенств(121,2 — 3) некоторые дополнительные линейные комбинации величин Хос Х1 Р причем таким образом, чтобы была соблюдена требуемая симметрия кинетических коэффициентов. Легко, однако, видеть, что равенства (121,2) следует оставить неизменными; действительно, этп равенства представляют собой просто следствие определения импульсов (121,1), не имеющего отношения к наличию или отсутствию процессов диссипацик. Тем самым устанавливается, что к равенствам (121,3) можно добавить линейные комбинации лишь величин Хр, (т.
е. производных дК(дР,); в противном случае нарушится симметрия кинетических коэффициентов. Таким образом, получаем систему равенств вида дУ ъ-~ дК Р вЂ” — —,— ~ув— дЯ; 2.ю ' дРл ' л=! где постоянные коэффициенты ум связаны соотношениями уи = ум. (121,4) Заменив — = 9м напишем окончательно: дд дР, дУ Р;= — д0,— ~ч:у1Л . л=1 (121,5) называемой днссипатианой функцией. Тогда дУ д1 Р1 = — — —. ° дЯк д01 (121,7) Это и есть искомая система уравнений движения.
Мы видим, что наличие процессов диссипации приводит в рассматриваемом приближении к появлению дополнительных сил трения, линейно зависящих от скоростей движения. Вследствие соотношения (121,4) эти силы можно написать в виде производных по соответствующим скоростям от квадратичной функции 2 Е ™~'(~»' 1 (121,6) сл 404 (гл, хи Флуктуации Введя функцию Лагранжа Е=К вЂ” (7, можно написать эти уравнения движения в форме И. И, д( Ж д01 дЯУ дб1 которая отличается от обычной формы уравнений Лагранжа стоящей в правой стороне производной от диссипативной функции.
Наличие трения приводит к уменьшению полной механической энергии (К+0) движущихся тел. В соответствии с общими результатами 5 120 скорость этого уменьшения определяется диссипативной функцией. Ввиду некоторого различия в обозначениях здесь и в 5 120, покажем это заново. Имеем ш( ) Х(дРу 1+дЯ ~1) Х~1( 1+д0 )' 1=1 или, подставив (121,7) и имея в виду квадратичность диссипативной функции, дг (К+ ~) = — ~„1,11;,~ = — 2~, (121,9) как и должно было быть. Укажем в заключение, что при наличии внешнего магнитного поля уравнения движения по-прежнему имеют вид(121,5), с той лишь разницей, что вместо (121,4) будет 71„(Н) = Ум (- Н).
Благодаря этому, однако, не будет существовать диссипативной функции, производные от которой определяли бы силы трения; поэтому уравнения движения не смогут быть написаны в виде (121,7). $ 122. Спектральное разложение флуктуаций Введем спектральное разложение флуктуирующей величины х(() по обычным формулам разложения Фурье: х (1) ейа11(( (122,1) и обратно (122,2) Следует заметить, что интеграл (122,1) фактически расходится, поскольку х(г) не стремится к нулю при ~1~ оо. Это обстоя- й 122) СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ФЛУКТУАЦИЙ 405 тельство, однако, несущественно для дальнейших формальных выводов, имеющих целью вычисление заведомо конечных средних квадратов ').
Подставляя (122,2) в определение корреляционной функции (118,1), получим «р (1' — 1) =- <х (г') х (1)> =- ) ~ <х„х„„> е-' «Ф«+"'«о —, (122,3) Для того чтобы интеграл в правой стороне равенства был функцией только от разности 1 — г', подынтегральное выражение должно содержать 5-функцию от «о+о«', т. е. должно быть <х„х„,> = 2л (х')„5 («о+«о'). (122,4) Это соотношение надо рассматривать как определение величины, обозначенной здесь символически посредством (х')„.
Хотя величины х комплексны, но (х'), очевидно, вещественны. Действительно, выражение (122,4) отлично от нуля лишь при о«' = †«о и симметрично по отношению к перестановке «о и ««', поэтому (аР) = (ха), а перемена знака «о эквивалентна переходу к комплексно-сопряженным величинам. Подставляя (122,4) в (122,3) и исключая 5-функцию интегрированием по «(«о, находим (122,5) В частности, «р(0) есть средний квадрат флуктуирующей величины: О Ю <х'>= ) (ха)„— =~ 2(х')„— Йд г Йд (122,6) Мы видим, что спектральная плотность среднего квадрата флуктуации как раз совпадает с величиной (х') (или 2(х'), если интеграл распространен только на положительные частоты).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
