landafshic_tom5_statfiz_Ch1 (1083899), страница 77
Текст из файла (страница 77)
В обратном случае, на расстояниях г ((уа//)/шТ, интеграл — а(ар и — па /=)и = — —, 3 Я (2пй)а д так что -а а т(г) ш т(О)== па йап Отметим, что интеграл ) тйг для бове-газа прн Т < Т, расходится, и потому вычисление по формуле (!!б,б) привело бы к бесконечному значению флуктуации числа частиц — в соответствие с замечанием, сделанным уже в 4 113.
й 118. Корреляция флуктуаций во времени Рассмотрим какую-либо физическую величину, характеризующую находящуюся в термодинамнческом равновесии замкнутую систему или ее отдельную часть (в первом случае это не должна быть величина, остающаяся для замкнутой системы по определению постоянной, например, ее энергия).
С течением времени эта величина испытывает небольшие изменения, флуктуируя вокруг своего среднего значения. Обозначим снова посредством х(!) разность между этой величиной и ее средним значением (так что х= 0). Между значениями х (!) в разные моменты времени существует некоторая корреляция; это значит, что значение х в некоторый момент времени ! влияет на вероятности различных ее значений в другой момент времени 1'. Аналогично пространственной корреляции, рассмотренной в предыдущих параграфах, можно харак- )гл. хн влгкткацни тернзовать временную корреляцию средним значением нронзведення <х(Г) х (1')>.
Усреднение понимается здесь, как обычно, в статистическом смысле, т. е. как усреднение по вероятностям всех значений, которые может иметь величина х в моменты г' н 1'. Как было указано еще в й 1, такое статистическое усреднение эквивалентно усреднению по времени, — в данном случае по одному нз времен 1, 1' прн заданной разности г' — г. Получающаяся таким образом величина гр (1' — Г) =- <х (1) х (1')> (118, 1) зависит только от разности 1' — 1; это определение можно поэтому записать н в виде гр (1) =- <х (О) х (1) >. (118,2) Прн неограниченном увеличении разности времен корреляция, очевидно, исчезает, н соответственно этому функция гр (г) стремятся к нулю.
Отметим также, что ввиду пчевндной симметрии определения (118,1) по отношению к перестановке 1 н Г'функция гр(г) четна: (118,3) Рассматривая величину х(1) как функцию времени, мы тем самым подразумеваем, что она ведет себя классическим образом. Написанное определение можно, однако, представить н в форме, применимой н к квантовым величинам.
Для этого надо рассматривать вместо величины х ее квантовомеханнческнй, зависящий от времени (гейзенберговскнй) оператор х (1). Операторы х (г) н х(1'), относящиеся к разным моментам времени, вообще говоря, не коммутатнвны, н корреляционная функция должна быть теперь определена как гр(г' — 1)= — <х(1)х(1')+х(1')х(1)>, (118,4) где усреднение производится по точному квантовому состоянию '). Предположим, что велнчвна х такова, что заданием ее определенного значения (существенно превышающего ее среднюю флуктуацию <ха>мь) могло бы характеризоваться определенное состоянне неполного равновесия. Другими словами, время релаксации для установлении неполного равновесия прн заданном значении х предполагается много меньшим времени релаксации для установ- ') Снова напомним, что, согласно основным прнпдипам статистики, результат усреднения не завяснт от того, производится лн оно механически по точной волновой функпнн стлкионарного состояния системы или же статистически с пононгью распределения Гиббса.
Единственная равнина состоит в том, что в первом случае результат выражается через зпергюо тела, а во втором случае- как функини его температуры. в 1181 коееаляция елкнтьлцнй во ваныкин 888 ления равновесного значения самой величины х. Это условие удовлетворяется для широкой категории величин, представляющих физический интерес. флуктуации таких величин мы будем называть клазистационарными'). Ниже в этом параграфе рассматриваются флуктуации этого типа и, кроме того, величина х предполагается классической ').
Предположим также, что в процессе приближения к полному равновесию в системе не возникает никаких других отклонений от равновесия, которые бы требовали введения новых величин для своего описания. Другими словами, в каждый момент времени состояние неравновесной системы вполне определяется значением х (более общий случай будет рассмотрен в следующем параграфе). Пусть величина х имеет в некоторый момент времени ! значение, большое по сравнению со средней флуктуацией, т.
е. система существенно неравновесна. Тогда можно утверждать, что в последующие моменты времени система будет стремиться прийти в состояние равновесия, соответственно чему х будет уменьшаться. При этом в силу сделанных предположений скорость изменения величины х будет в каждый момент времени целиком определяться значением самого х в этот момент: х =х(х). Если х все же сравнительно мало, то можно разложить х(х) по степеням х н ограничиться линейным членом — = — )ьх, (118,5) где )ь — положительная постоянная; член нулевого порядка в этом разложении отсутствует, поскольку в полном равновесии (т.
е. при- х= О) скорость с(х/Ж должна обратиться в нуль. Уравнение (1!8,5) представляет собой линеарнзованное макроскопическое «уравнение движения» неравновесной системы, описывающее процесс ее релаксации (физическая природа которого целиком зависит от природы величины х). Постоянная 1)). определяет порядок величины времени релаксации для установления полного равновесия. Возвращаясь к флуктуациям в равновесной системе, введем величину $„(!), определив ее как среднее значение величины х в момент времени 1) О при условии, что в предшествующий момент т = О она имела некоторое заданное значение х; такое среднее значение, вообще говоря, отлично от нуля. Очевидно, что корреляционная функция ф(1) может быть написана с помощью функции $„(1) в виде р (!) = <х$.
(1)» (118,6) ь) Зтот теринн представляется более адекватным, чем использованное в предыдущем издании книги название таких флуктуаций термодинамическими. з) Окончательные формулы для каазнстанионарнык флуктуапий нвантовых величин получаются нз формулы для классических величин лишь простым изменением, которое будет указано в $124 (см. (124, !9)). флгктьлции (гл. хп где усреднение производится уже только по вероятностям различных значений х в исходный момент времени 1 = О.
Лля значений $„, больших по сравнению со средней флуктуацией, нз уравнения (118,5) следует, что и = — Х$ (1), Ф)0. Учитывая усредненный характер величины $„(г), следует считать, что зто уравнение тем самым справедливо и при произвольных малых ее значениях. Интегрируя уравнение и помня, что по определению $„(0) =х, найдем $„(г) = хе-"', и, наконец, подставляя в (118,6), получим формулу, определяющую функцию временной корреляции: ср (1) = <х'> е-м. В таком виде, однако, зта формула относится только к г' > О, так как в ее выводе (уравнение (118,7)) существенно предполагалось, что момент 1 следует после 1=0.
Учитывая, с другой стороны, четность функции ~р(Г), можно написать окончательную формулу <р (1) <ха>е-ъ! е1 е-л ы $ 1 р (118,8) (<х"> из (110,5)), применимую как при положительных, так и отрицательных г. Эта функция имеет при 1= О две различные производные. Это свойство возникло в результате того, что.мы рассматриваем промежутки времени, большие по сравнению со временем установления неполного равновесия (равновесия при заданном значении х).
Рассмотрение меньших времен, невозможное в рамках «квазистационарной» теории, привело бы, разумеется, к равенству бр/И=О при 1= О, как и должно быть для всякой четной функции от 1 с непрерывной производной. Изложенную теорию можно сформулировать еще н в другом виде, который может представить определенные преимущества. Уравнение х= — Хх для самой величины х (а недля ее среднего значения $„) справедливо, как уже указывалось, лишь при больших по сравнению со средней флуктуацией значениях х. Прн произвольных же значениях х напишем х в виде х= — Ах+у, (1!8,9) являющемся определением новой величины у. Хотя по абсолютной величине размаха испытываемых ею колебаний величина у отнюдь не меняет с течением времени своего характера, но при больших (в указанном выше смысле) значениях х она представ- в 119! ВРЕМЕННАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ ФЛУКТУАЦНй 395 ляет относительно малую величину, которой в уравнении (118,9) можно пренебречь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
