landafshic_tom5_statfiz_Ch1 (1083899), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Исходя из распределения Гиббса, можно было бы получить выражения и для флухтуацнй других термодинамичесхих величин. [гл. хп ФЛУКТУАЦИИ Наряду с рассмотренными термодинамическимн величинами, тело характеризуется также импульсом Р своего макроскопического движения относительно среды. В состоянии равновесия никакого макроскопического движения нет, т. е, Р = О. Дни>кение, однако, может появиться в результате флуктуации; определим вероятность такой флуктуации. Минимальная работа Я ы в этом случае равна просто кинетической энергии тела Р' Мо~ Я 2М 2 где М вЂ” его масса, У= Р/М вЂ” скорость макроскопического дви- жения. Таким образом, имеем для искомой вероятности (112,15) Отметим, что флуктуации скорости статистически независимы от флуктуаций других термодинамических величин. Средний квадрат флуктуации каждой из декартовых компонент скорости равен м т (112, 16) он обратно пропорционален массе тела.
Из выведенных формул видно, что средние квадраты флуктуаций таких величин, как энергия, объем, давление, скорость, обращаются при абсолютном нуле в нуль (пропорционально первой степени температуры). Зто является общим свойством всех термодинамических величин, имеющих также и чисто механический смысл, но, вообще говоря, не относится к таким чисто термодинамическим величинам, как энтропия и температура. Формула (112,б) для флуктуаций температуры может быть истолкована еще и с другой точки зрения.
Как мы знаем, понятие температуры может быть введено через посредство распределения Гиббса; при этом температура рассматривается как параметр, определяющий это распределение. В применении к изолированному телу распределение Гиббса полностью описывает его статистические свойства с той лишь неточностью, что оно дает весьма малые, но все же отличные от нуля флуктуации полной энергии тела, которых в действительности не должно быть (см.
стр. 100). Напротив, если считать энергию величиной заданной, то нельзя приписывать телу вполне определенную температуру, и надо считать, что последняя испытывает флуктуации, определяющиеся формулой (112, б), в которой С, будет теплоемкостью тела в целом. Зта величина, очевидно, характеризует точность, с которой может быть дано определение температуры изолированного тела. й 112) олкктхлции основных тквмодинлмичвских вкличин 375 Задачи 1.
Найти средний квадрат флуктуации энергии (пользуясь в качестве независимых переменных 1' н Т), Решение. Имеем ье ( — ) ьу+( ) ьт=К т( — ) -Р1 ьу+с,ьт. Возводя в квадрат и усредняя, получим <(ЬК)з>= — \ т( — ) — Р1 т ( — ) +С„тз. 2. Найти < (Ьйг)з> (пользуясь переменными Р и я).
Р е ш е н и е. <(Ьйг) >= — т) — ) +т С . (дР'~ ( д(г,)л ж 3. Найти < ЬТ ЬР> (пользуясь переменными Р и Т). Р е ш е н и е. <ьтьР>=т (~~) 4. Найти <Ь)ГЬР> (пользуясь переменными )г, Т). Р е ш е н н е. < ЬУЬР > = — Т. 5. Найти < Ья Ь)г> (пользуясь переменным )г, Т).
Решен н е. <ЬЯЬ)г>=( — ) Т. Гд$'~ ~,дтг и 6. Найти <ЬЯЬТ> (пользуясь переменнымн )г, Т). Р е ш е н и е. < ЛЯ ЬТ > =Т. 7. Найти средний квадрат флуктуационного отклонения вертикально висящего математического маятника. Р ею с и не. Пусть 1 — длина маятника, пг — его масса, ~р — угол отклонения от вертикали. Работа )(мщ в данном случае есть просто механическая работа против силы тяжести прн отклонении маятника; для малых~р; )1 п„=з/зля йрз. Отсюда Т <Ч'з>= —. жй( К. Найти средний квадрат флуктуацнониого отклонения точек натянутой струны. Решение.
Пусть 1 — длина струны, Р— сила ее натяжения. Рассмотрим точку, находящуюся на расстоянии х от одного из концов струны,и пусть у— ее поперечное смещение. для определения <уз> мы должны рассмотреть равновесную форму струны прн заданном смещении у точки х; она состоит из двух прямых отрезков, проведенных нв точек закрепления струны в точку х, у. Работа, затрачиваемая при такой деформации струны, равна Руз Г1 оияи=~($ л +уз )+ с~ (~ х) +д ( )) 2 ( +1 (сх 1 — х) ' 376 1гл.
хн Флуктуации Отсюда находим дая среднего квадрата < Уз > = — х (1 — х). Т У( 9. Определить среднее значение произведения флукгуапвонных смещений двух различных точек струны. Решение. Пусть у,, уз — поперечные смещения ючск, находящихся на расстояниях х,, х, от одного нз концов струны (причсм х, > хз). Равновесная форма при заданных у, н у, составляется из трех прямых отрезков, н работа Р('з хз 1 — х, 1 )<сна = Уз + Уз 2 ~ х, (хз — х,) (1 — хз) (хз — х,) (х,— х,)) хузуз По формуле (111,8) найдем Т <узрз>= — «з (1 — «з) й 113.
Флуктуации в идеальном газе Средний квадрат флуктуации числа частиц обычного идеального газа, находящихся в некотором выделенном в газе относительно малом объеме, мы найдем, подставив в формулу (112,13) 1г= (ч'Т)Р. Это дает следующий простой результат: < (ЛЛ)з > = Л. (113,1) Относительная флуктуация числа частиц равна, следовательно, просто обратному квадратному корню из среднего числа частиц: <(ЬЛ )>1/з ! Ж в'и Для того чтобы вычислить флуктуацию числа частиц в идеальном газе Бозе или Ферми, следует воспользоваться формулой (112,14), подставив в нее выражение (56,5) для й( как функции от р, Т, У, получаемое интегрированием соответствующей функции распределения. Мы не станем выписывать здесь получающиеся таким способом довольно громоздкие выражения.
Отметим лишь следующее обстоятельство. Мы видели, что у бозе-газа при температурах Т ( Т, (см. 5 62) давление не зависит от объема; другими словами, его сжимаемость обращается в бесконечность. Согласно формуле (112,13) отсюда следовало бы, что флуктуации числа частиц тоже становятся бесконечными. Это означает, что при вычислении флуктуаций в бозе-газе при низких температурах нельзя пренебрегать взаимодействием его частиц, сколь бы слабым оно ни было; учет этого взаимодействия, которое должно существовать во всяком реальном газе, привел бы к конечным флуктуациям.
Далее рассмотрим флуктуации в распределении частиц газа по различным квантовым состояниям. Введем снова в рассмотре- Ю 1!31 элгитхдпии в идеальном гдзв 377 ние квантовые состояния частиц (включая в это понятие также и различные состояния их поступательного движения), и пусть и— их числа заполнения. Рассмотрим совокупность ид частиц, находящихся в й-м квантовом состоянии; ввиду полной статистической независимости этой системы частиц от остальных частиц газа (ср. 5 37) можно применить к ней формулу (112,14): <(бп,)*>=7'ф. (113,7) В применении к ферми-газу надо подставить сюда ~ и -ицт+ 11 Произведя дифференцирование, найдем < (Лп„)' ) = пд (1 — и,).
(1 13,3) Аналогичным образом найдем для бозе-газа < (Лид)') =па (1+пд). (113,4) Для больцмановского газа при подстановке п„=ехр[(р — ед)/Т) получается, естественно, формула <(Ьп„)'>=и„, (113,5) в которую переходят как (113,3), так и (1!3,4) при пд< 1. Просуммируем формулу (!13,3) или (113,4) по группе из б близких друг к другу состояний, содержащих всего У ="',и„.
частиц, В силу упомянутой уже статистической независимости флуктуаций различных пд получим <(ЛМ~)' >= О,п,(1 ~ о~) = Л7~ (1Ч= — ~), (113,6) 67 У' где п — общее значение близких друг к другу и„, а У =п,б . Полученные формулы можно применить, в частности, к чер- ному излучению (равновесный бозе-газ фотонов), для чего надо положить в (113,4) р .=О.
Рассмотрим совокупность квантовых состояний фотонов (в объеме т') с близкими значениями частот, лежащими в малом интервале Ьы,; число таких состояний равно 6~ — 'г'в~)Лы )и'е" (см. (63,3)). Общая энергия квантов в этом интервале частотестьЕд„— - *Мха . Умножив формулу (113,6) на (йы,.)' и опуская индекс 1, получим следующее выражение для флуктуации энергии Ед„черного излучения в заданном интер- вале частот Лв (впервые найденное Зйниипейном, 1909): и'е' (йд „1' <(7дЕ )э>=Ьа.Еда+ Рэ, 378 (гл.
хп ФЛУКТУАЦИИ Задача Определить <(ЬМ)з> для злеитроиного газа прн температурах, малых по сравнению с температурой вырождения. Решен и е. Прн вычислении (дй/др) г У можно пользоваться выражением (57,3) для р прн абсолютном нуле. Простое вычисление дает З1!з „,т Г М 1 Нз <(ау)з>=, ( — ) )г. птд3$з ( Р) ф 114. Формула Пуассона Зная средний квадрат флуктуации числа частиц в заданном объеме газа (113,1), можно написать соответствующее гауссово распределение вероятностей флуктуаций этого числа: го(М) 1М ~ ехр ( (™)'~ .
с(М (114,1) 2ЛМ 2У Эта формула, однако, применима лишь для малых флуктуаций— отклонение М вЂ” М должно быть малым по сравнению с самим числом М. Если выделенный в газе объем (г' достаточно мал, то число частиц в нем невелико, и представляет интерес рассмотрение также и больших флуктуаций, при которых М вЂ” М становится сравнимым с М. Заметим, что этот вопрос имеет смысл лишь в применении к больцмановскому газу, так как в газах Ферми или Бозе вероятность таких флуктуаций может стать заметной лишь в настолько малых объемах, что существенными становятся квантовые флуктуации. Решение поставленного вопроса проще всего получить следующим образом. Пусть )г, н М,— полный объем газа и число частиц в нем, а (7 — малая по сравнению с (7, часть объема.
В силу однородности газа очевидно, что вероятность некоторой определенной частице находиться в объеме )г равна просто отношению (гг(у„а вероятность одновременного нахождения в нем М определенных частиц равна ()г((уе)м. Аналогично вероятность частице ие находится в объеме (г равна ((7,— (7)/(г„а такая же вероятность одновременно для М,— М определенных частиц есть (1 — (7Д~,)"т-". Поэтому вероятность гон того, что в объеме )г будет находиться всего М каких-либо молекул, дается выражением где введен множитель, определяющий число возможных спосо- бов выбора М из М, частиц.
5 1141 379 ФОРМУЛА ПУАССОНА В интересующем нас случае )г(((/„ а число М хотя и может значительно отличаться от своего среднего значения М, но, разумеется, предполагается малым по сравнению с полным числом М„частиц в газе. Тогда 'можно положить М„)=(М,— М)!Мем и пренебречь М в показателе степени, так что получается "=+(" — ".) ('-Ю"' Но М,У/(г, есть не что иное, как среднее значение М числа частиц в объеме (г.
Поэтому имеем и~у= у — (1 — — ) Наконец, имея в виду известнуго формулу !пп (1 — — „) =е ", заменяем(! — М/М,)~' с большим М, на ехр( — М) и получаем окончательно искомое распределение вероятностей в виде ') У~ ехр ( — У) гам = Это — так называемая формула Пуассона. Легко убедиться в том, И что она удовлетворяет условию нормировки ~ч", ген=1. у=о Вычислим с помощью этого распределения средний квадрат флуктуации числа частиц.
Пишем: <М' > = ~ Маслу = ехр ( — М) ~,' Г", ччу ум Отсюда находим для искомой флуктуации прежнее значение <(ЛМ)з> = <М'> — М' = М. (114,4) Таким образом, средний квадрат флуктуации числа частиц ра- вен М не только при больших, но и вообще при любых значе- ниях М. ') Для малых флуктуапнй (! У вЂ” У((( У„У велнко) эта формула перехо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
