landafshic_tom5_statfiz_Ch1 (1083899), страница 70
Текст из файла (страница 70)
(107,15) М, есть единственное значение массы, при котором возможно равновесие; при М > М, тело будет стремиться неограниченно сжиматься, а при М < М, оно будет расширяться. Для точного вычисления «критической массы» М, необходимо произвести численное интегрирование уравнения ~~Р ) = Р ~'(0) — 0 ~(1) 0 (107,16) порциональна — М»Я. Таким образом, обе зти величины зависят от )7 одинаковым образом, н их сумма тоже будет иметь вид соп51. Я-'. Отсюда следует, что тело вообще не сможет находиться в равновесии: если соп51 ) О, то оно будет стремиться расширяться (до тех пор, пока газ не станет нерелятивистским); если же соп51 < О, то уменьшению полной энергии будет соответствовать стремление )7 к нулю, т.
е. тело будет неограниченно сжиматься. Лишь в особом случае соп51=0 тело может находиться в равновесии, причем в безразличном равновесии с произвольными размерами К. Эти качественные соображения, разумеется, полностью подтверждаются точным количественным анализом. Химический потенциал рассматриваемого релятивистского газа связан с плотностью (см. (61,2)) посредством 854 свойства ннщестнл пги вольших плотностях (гл.
х! которому удовлетворяет функция Е(й) в (107,14). Теперь получается Е (О) = 6,897, ~' (1) = — 2,018. Для полной массы находим откуда Ме = — '„( — ) =5,8 ( — ", ) О ° (107,17) Положив и'=2т„, получим М,=1,45 О. Наконец, отношение центральной плотности к средней оказывается равным = = — — = — 54,2. р (0) Еа(0) р ЗЕ'(1) На рис. 50 (кривая 2) дан график р(г)Ер(0) в ультрарелятивистском случае как функции г/)ч '). Полученные результаты о зависимости между массой и радиусом равновесного «холодного» сферического тела можно представить во всей области измерения )с в виде единой кривой, определяющей зависимость М =- М Я).
При больших )с (и соответственно малых плотностях тела) электронный газ можно рассматривать как нерелятивистский, и функция М()() спадает'по закону М слз)с-а. При достаточно же малых )с плотность настолько велика, что имеет место ультрарелятивистский случай, и функция М ()с) имеет почти постоянное (равное М,) значение (строго говоря, М ()ч) — М, при )с- О). На рис. 51 изображена кривая М=М()с), вычисленная с ги'=2т„з). Следует обратить внимание на то, что предельное значение 1,45 0 достигается лишь весьма постепенно; это связано с тем, что плотность быстро падает по мере удаления от центра тела; поэтому газ может быть уже ультрарелятивистским вблизи центра и в то же время нерелятивистским в значительной части объема тела. Отметим также, что начальная часть кривой (слишком малые )с) не имеет реального физического смысла.
Действительно, при достаточно малых радиусах плотность станет настолько большой, что в веществе начнут происходить ядерные реакции. При этом давление будет возрастать с увели- ') Формальная задача о равновесии гравитнрующей газовой сферы со степенной зависимостью Р от р была исследована Эмденои (Ес. Етг(ел, 1907), Физическое заключение о существовании и величине (107,!7) предельной массы было впервые сделано Л. Д.
Ландау (1932). з) Построение промежуточной части кривой производится путем численного интегрирования уравнения (107,3) с точным релятивистским уравнением сосгоя. иин вырожденного газа (см, задачу 3 к й 61). й 1ОУ) Рлэновесие тел с вольшой мАссОЙ 355 ченнем плотности медленнее чем рма, а прн таком уравнении состояния никакое равновесне вообще невозможно '). Наконец, эта кривая теряет смысл также н прн слишком больших значениях )г (н малых М); как уже было указано (см.
прнмечанне на стр. 352), в этой области становится неприменимым нспользованнпе нами уравнение состояния вещества. В этой связи следует указать, что существует верхний предел размеров, каторымн вообще может обладать «холодное» тело, Действительно, тУ Г т б' /У Лу Ы ~,Юлслг Рнс. 51. болыпнм размерам тела соответствуют на кривой рнс. 5) малые массы н малая плотность вещества. Но прн достаточно малых плотностях вещество будет находиться в обычном «атомном» состоянии, н прн интересующих нас низких температурах оно будет твердым. Размеры тела, построенного нз такого вещества, будут, очевидно, уменьшаться прн дальнейшем уменьшении его массы, х) Если химический потенциал пропорцнонааен некоторой степени плотности Рсгэрч (и соответственно Р сара+'), то внутренняя энергия тела пропорциональна крч+', нли иначе М" +'/ча"; гравитационная ме энергия по-премиеиу пропорциональна — ме/д.
легко видеть, что прн а < 1/3 сумма двух таких выражений, как функция от 1г, хотя и имеет экстремум, но этот экстремум является ее максимумом, а не минимумом. 356 сВОЙстВА ВещестВА О»Я Вольшях плОтнОстЯх (гл, х! а не увеличиваться, как на рис. 51. Истинная кривая 1« = е((М) должна, следовательно, иметь при некотором значении М максимум. Порядок величины максимального значения радиуса легко определить, заметив, что он должен соответствовать плотности, при которой становится существенным взаимодействие электронов с ядрами, т.
е. при р ( — '') те,' (см. (106,1)). Комбинируя это соотношение с равенством (107,10), получим $2 — 1О' —" км. т„ бы»етет'еп» т ды» $108. Энергия гравитирующего тела Гравитационная потенциальная энергия тела Е определяется, как известно, интегралом Ег» =- 2 ') Р% «(Т (108,1) взятым по всему объему тела. Нам, однако, будет удобнее исходить из другого представления этой величины, которое можно получить следующим образом.
Представим себе, что тело постепенно «составляется» из вещества, «приносимого» из бесконечности. Пусть М(г) есть масса вещества, заключенного внутри сферы радиуса г. Предположим, что масса М(г) с некоторым определенным г уже принесена из бесконечности; тогда работа, необходимая для доставления дополнительной массы е(М(г), равна потенциальной энергии втой массы (распределенной в виде шарового слоя радиуса г и толщины йг) в поле массы М(г), т.
е. аМ (е) иМ (.) е Поэтому полная гравитационная энергия сферы радиуса е1 есть (108,2) Продифференцировав условие равновесия (107,2), получим О-В -+т — = 0 лР ° Фр Б ЛГ (дифференцирование должно производиться при постоянной температуре, (д)«)дР) =Π— объем, отнесенный к одной частице». Про. изводная — д~р/пг есть сила тяготения, действующая на единицу й 1081 анвггия ггавитиггющаго талл 357 массы на расстоянии г от центра; она равна — 0М(г)/г*. Вводя также плотность р= — лз'/о, получаем 1 ЛР СМ (г) (Р08,3) р о'г г~ Выразив отсюда 6М(г)/г через г/Р/г/г и написав с(М(г) = = р(г) 4пг'г(г, представим выражение (108,2) в виде ЛР Е = 4п ( го — г(г.
го,) Ь о Интегрируя теперь по частям (и учитывая, что на границе тела Р(Л) =0 и что г'Р— 0 при г — О), получим Е,о — — — 12п ~ Рг' г(г = — 3 ~ Р оУ. (108,4) о Таким образом, гравитационная энергия равновесного тела может быть выражена в виде интеграла от его давления по объему. Применим эту формулу к рассмотренным в предыдущем параграфе телам из вырожденного ферми-газа. При этом произведем вычисления в общем виде, положив, что химический потенциал вещества пропорционален некоторой степени его плотности: Кр1т (108,5) Имея в виду, что г()ь=-ог/Р = — г/Р, находим давление Р >1 + 1/и (108,6) (и+1) т' В условии равновесия ()г/и')+гр=сопз1 постоянная в правой стороне равенства есть не что иное, как потенциал на границе тела, где р обращается в нуль; этот потенциал равен — 6М/Е(М= М(/т) — полная масса тела), так что можно написать: и см я Подставляем это выражение в интеграл (108,!), определяющий гравитационную энергию, и, воспользовавшись формулами (!08, 5 — 6), находим г СМГ л+1Г смо Е = — —,) !грг(1' — — ) рЛ'= ~ Рг(1' —.
го= 2т' ) 2гг,) 2 2Гг Наконец, выразив интеграл в правой части равенства через Евм согласно (108,4), получим 3 смо (108,7) 358 СВОЙСТВЛ ВЕЩЕСТВЛ ПРИ БОЛЬШИХ ПЛОТНОСТЯХ [ГЛ. Х! Таким образом, гравитационная энергии тела выражается простой формулой через его полную массу и радиус. Аналогичную формулу можно получить и для внутренней энергии тела Е. Внутренняя энергия, отнесенная к одной частице, равна р — Рп (при равной нулю температуре и энтропии); поэтому энергия, отнесенная к единице объема, есть — (р — РО) = —,— Р = пР р)г (в последнем равенстве использованы (108, 5 — 6)).
Поэтому внутренняя энергия всего тела гг ' л ОМ» Е=п~ Рг(У= — — Егр= — — ° 3 гр б — л )1 Наконец, полная энергия тела 3 — л йМ» Е =Е+Е поли— гр б — л )7 (108,9) Для нерелятнвистского нырок!денного газа имеем п = 3/2, так что') 6 ««М» 3 ОМ» 3 ОМ» Е = — — —, Е= — — Е = — — —. (108 10) гр 7 )7 7 )7 «ао»н 7 В ультрарелятивистском же случае имеем и= 3, так что 3 6М» Егр = — Е = — 3 о, Е„,»а — — О. (! 08,11) Полная энергия равна в этом случае нулю в соответствии с изло- женными в предыдущем параграфе качественными соображениями о равновесии такого тела ').
9 109. Равновесие нейтронной сферы ') Заметим, что в этом случае 2Е= — Е р в соответствии с известной из механики теоремой внрнала, приыенеиной к системе частиц, взаимодействующих по закону Ньютона (см. 1, б !О) "") Напомним, во избежание недоразумений, что релятивистская внутренняя энергия Е (а с нею и Ео „в (103,!1)) включает в себя также и энергию покоя частиц (создающих давление Р). Если же определить Еаоаа как «энергию связи» тела (отсчитываемую от энергии вещества, рассеянного по пространству), то энергия покоя частиц должна быть вычтена иэ нее.
Для тела с большой массой существуют две возможности равновесного состояния. Одна из них соответствует электронно-ядерному состоянию вещества, как это предполагалось при численных оценках в 3 107. Другая же соответствует нейтронному состоянию вещества, в котором почти все электроны захвачены протонами и вещество можно рассматривать как нейтронный газ. При достаточно 359 РАВнОВесие нейтРОнной сфеаы $109) больших массах тела вторая возможность во всяком случае должна стать термодинамически более выгодной, чем первая (ЯГ. ВаЫЕ, Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
