landafshic_tom5_statfiz_Ch1 (1083899), страница 72
Текст из файла (страница 72)
ГЛАВА Х!1 ФЛУКТУАЦИИ й 1!В. Распределение Гаусса Уже много раз подчеркивалось, что физические величины, характеризующие равновесное макроскопическое тело, практически всегда с очень большой точностью равны своим средним значениям. Однако, как нн малы отклонении от средних значений онн все же происходят (величины, как говорят, флуюпуирутот), и возникает вопрос о нахождении распределения вероятностей этих отклонений.
Рассмотрим какую-либо замкнутую систему, и пусть х есть некоторая физическая величина, характеризующая систему в целом или какую-либо ее часть (в первом случае это, конечно, не должна быть величина, остающаяся для замкнутой системы строго постоянной, как, например, ее энергия). В дальнейшем будет удобно полагать, что среднее значение х уже вычтено из х, так что везде ниже предполагается, что х=0. Изложенные в р 7 рассуждения показали, что если рассматривать формальным образом энтропию системы как функцию от точных значений энергий подсистем, то функция сз будет давать распределение вероятностей для этих энергий (формула (7,17)).
Легко, однако, заметить, что в этих рассуждениях не были использованы какие-либо специфические свойства энергии. Поэтому такие же рассуждения приведут к результату, что вероятность величине х иметь значение в интервале между х и х+йх пропорциональна ел'">, где 5(х) — энтропия, формально рассматриваемая как функция точного значения х. Обозначив вероятность посредством тп (х) дх, имеем ') те(х) =сонэ( ем"'. (1 10,1) Прежде чем приступить к исследованию этой формулы, остановимся на вопросе о пределах ее применимости.
Все рассуждения, которые привели к формуле (110,1), неявно подразумевают ') Эта формула была впервые применена к исследованию флуктуаций А. Эйниппейиол (1910). 364 (гл. хп олуктулцнн классичность поведения величины х '). Поэтому надо найти условие, допускающее пренебрежение квантовыми эффектами. Как известно из квантовой механики, между квантовыми неопределенностями энергии и какой-либо величины х имеет место соотношение ЛЕ Лх Йх, где х — классическая скорость изменения величины х (см.
1П, р 16). Пусть т — время, характеризующее скорость изменения интересующей нас величины х, которая имеет неравновесное значение'); тогда х х/т, так что гзЕ гзх Йх Ясно, что говорить об определенном значении величины х можно лишь при условии малости ее квантовой неопределенности: Лх((х, откуда гзЕ )) — . й Таким образом, квантовая неопределенность энергии должна быть велика по сравнению с гьгт. Энтропия же системы будет при этом иметь неопределенность Ю>) — .
й тт Для того чтобы формула (110,,1) имела реальный смысл, необходимо, очевидно, чтобы неточность энтропии была мала по сравнению с единицей: Т)~ —, А (П0,2) Это и есть искомое условие. При слишком низких температурах яли при слишком быстром изменении величины х (слишком малом т) флуктуации нельзя рассматривать термодинамически, и на первый план яыступают чисто квантовые флуктуации. ') Это не означает, конечно, что вся снстема должна быть классической. Другне (помнмо х) относящиеся к ней велнчнны могут иметь квантовый характер. ') Время т может не совпадать со временем релаксации для установлення равновесяя по величине к, а быть меньше него, если велнчнна х прнблнжается к к, нсгытыван в то же время колебания. Так, если речь идет об изменении язвления в небольшом участке тела (с линейными размерами а), то т будет порядка величины периода звуковых колебаний с длиной волны ь а, т.
е. т -а(с, где с — скорость звука. й 1101 яхспувделвннв гяяссв Вернемся к формуле (110,1). Энтропия Б имеет максимум при х=х=О. Поэтому Величина х при флуктуациях очень мала. Разлагая Я(х) в ряд по степеням х и ограничиваясь членом второго порядка, получим Я (х) = Я (О) — — х', (110,З) где )) — положительная постоянная. Подставляя в (110,1), получим распределение вероятностей в виде — а' в(х) е(х= Ае ' дх, Нормировочная постоянная А определяется условием )ш(х) дх=1; хотя выражение для ш(х) относится к малым х, но ввиду быстрого убывания подынтегральной функции с увеличением ~х~ области интегрирования можно распространить на все значения от — оо до + оо .
Произведя интегрирование, получим А =)Г) !2л. Таким образом, распределение вероятностей для различных значений флуктуации х определяется формулой Гр (х)дх= р' х е (110,4) (110,61 а) Подразумевается, навечно, что фуняння о(х) мало меняется на значвннях к <ха>ыв н чю пронзводная оргох отлнчна от нуля прн к=о. Распределение такого вида называется распределением Гаусса. Оно имеет максимум при х=О н быстро спадает с увеличением )х~ симметрично в обе стороны. Средний квадрат флуктуации равен <х'>= ) хчп(х)дх= —. 1 (110,5) Поэтому распределение Гаусса можно написать в виде 1 хв Как и следовало, и(х) имеет тем более острый максимум, чем меньше <х'>.
Отметим, что по известному <х'> можно найти аналогичную величину для любой функции ф(х). В виду малости х имеем ') «М>=®* <">. (11О,У) 366 (гл. хп ФЛУКТУАЦИИ В 111. Распределение Гаусса дли нескольких величин (очевидно, что р, =()а!). Ниже в этом параграфе мы будем опускать знаки суммирования и по дважды повторяющимся индексам везде подразумеваем суммирование (по всем значениям от 1 до и). Таким образом, пишем: ! ~ — оо = — 2 ()авх!ха (111,1) Подставляя это выражение в (!10,1), находим для искомого распределения вероятностей формулу сп = А ахР ( — р Р!ах!ха) ° 1 (111,2) Постоянная А определяется условием нормировки ) и!!(х!...
...с(х,=!, в котором (по той же причине, что и в ~ 1!О) интегрирование по всем х! можно производить в пределах от — оо до оо. Для вычисления этого интеграла поступим следующим образом. Произведем над величинами х; линейное преобразование х; = а!Аха', (1 1 1,3) которое превращает квадратичную форму ()!Ах,ха в сумму квадратов х,'. Для того чтобы было ))аах,ха — — х', = х,'хаб!а, !) Это значит, что функння Б (к), которой мы пользовалнсь в й 11О, представляла собой наибольшее значение, которое антропня помет принять при заданном неравновесном значении х. В предыдущем параграфе мы рассматривали вероятность отклонения какой-либо одной термодннамической величины от ее среднего значения, не интересуясь при этом значениями других величин, т.
е. считая значения последних произвольными '). Аналогичным образом можно определить вероятность одновременного отклонения ряда термодинамических величин от своих средних значений; эти отклонения мы обозначим посредством Ха, Ха, ..., Хч. Вводим энтропию Я(х„..., х„) как функцию рассматриваемых величин и пишем распределение вероятностей в виде сп!(Х,...с(х„с !и из (110,1). Разлагаем Я по степеням х;; с точностью до членов второго порядка разность Я вЂ” Яа представится в виде существенно отрицательной квадратичной формы 1 ° З вЂ” З.= — 2,р, р!Ах;ха ,, а=! 6 111] елспевдвление глуссз для нвсколькнх величин 367 надо, чтобы коэффициенты преобразования удовлетворяли соотношениям ~;»ааໄ—— 6,„.
(111,4) Определитель матрицы величин, стоящих в левой стороне этого равенства, равен произведению определителя 6 = ~ 6;» ~ и двух определителей а=-)а;»!. Определитель же ) 61»(=1. Поэтому из написанного соотношения следует, что ))аз = 1. ") Отметим, что прэ линейной ззвнснмости (!11,7) этз взаимность обоюхизя: есин тз же энтропия Б вырзжеиз через величины Хь то до х;=- —. ах; Действительно, используя (111,7), имеем оЗ = — Х» ох» = — р»; к; ох» = — хгс) ((1;»х») = — х; аХь (111,7з) Якобиан линейного преобразования от переменных х; к переменным х,' есть постоянная величина — определитель а.
Поэтому- после проведения преобразования нормировочный интеграл распадается на произведение и одинаковых интегралов и с учетом (111.5) получим Аа ( ехр( — — х' ~с(х' = — (2п)"7»=1. Таким образом, находим окончательно распределение Гаусса для нескольких величин в виде (1 1 1,6) Введем величины Х; = — л — — )37»х», до (1 1 1,7) которые назовем термодинамически взаимными с величинами х; ').
Определим средние значения произведений х;Х»: <х1Х»>= р ~...~хЯ»гх,ехр ( — 6.»хх») Нх ...дх . (йп)о'з,) 2 1 1 з. о. Для вычисления интеграла допустим па минуту, что средние значения х; равны не нулю, а некоторым конечным хм. Тогда в (111,6) надо писать х; — х;, вместо х; и, согласно определению средних значений, получим х;= — „, )... ~ х;ехР )с — — ));»(х; — хм)(х» — х»,)~ Нх,...дх„=-хи 1гл.
Ип ФЛУКТУАЦИЙ Дифференцируя зто равенство по ха, и полагая затем снова все хм равными нулю, получим справа 6м, а слева — как раз нужный иам интеграл. Таким образом, находим <хгХА> = 6пе (111,8) Подставив сюда (111,7), получим: ра,<х,х;> = б,а, откуда <хгха> = 1)ра', (111,9) где ()ра' — элемент матрицы, обратной матрице рга. Наконец, определим еще <Х;Х„>. Согласно (111,7 — 8) имеем <ХгХА>=()гг<х,Х„> ($;,6,а, т. е. <Х,Х,> =()га (111,10) Легко определить также средний квадрат флуктуации любой функции гр(х„ ..., х„). Поскольку отклонения от средних значений малы, то Ьгр= (ду/дхг)бх„ где под дгр(дхг понимаются значения производных при х,= х,= ... = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
