landafshic_tom5_statfiz_Ch1 (1083899), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Уравнение состояния вещества в этой области есть « где и„— масса нейтрона. Наконец, при плотностях р)~ 6 10" г7см» вырожденный нейтронный газ станет ультрарелятивистским, а уравнение состояния будет определяться формулой Р = Ьс [ — "11 = 1,2 10»р«1» бар. (106,7) Следует, однако, иметь в виду, что при плотностях порядка плотности вещества ядер становятся существенными специфические ядерные силы (сильное взаимодействие нуклоиов). В этой области значений плотности формула (106,7) может иметь лишь качественный смысл.
При современном состоянии наших знаний о сильных взаимодействиях нельзя сделать сколько-нибудь определенных заключений и о состоянии вещества при плотностях, значительно превосходящих ядерную. Отметим лишь, что в этой области следует ожидать возникновения, наряду с нейтронами, также и других частиц.
Поскольку частицы каждого рода заполняют свой отдельный ряд состояний, то превращение нейтронов в другие частицы может оказаться термодинамически выгодным вследствие уменьшения граничной энергии фермиевского распределения нейтронов. й 107. Равновесие тел с большой массой Рассмотрим тело очень большой массы, части которого удерживаются вместе силами гравитационного притяжения. Реальные тела большой массы известны нам в виде звезд, непрерывно излучающих энергию и отнюдь не находящихся в состоянии теплового равновесия.
Представляет, однако, принципиальный интерес рассмотрение равновесного тела большой массы. При этом мы будем пренебрегать влиянием температуры на уравнение состояния, т. е. будем рассматривать тело находящимся при абсолютном нуле («холодное» тело). Поскольку в реальных условиях температура наружной поверхности значительно ниже, чем внутренняя температура, рассмотрение тела с отличной от нуля постоянной температурой во всяком случае лишено физического смысла. й 1071 елвновесие тел с волыпой млссой 349 Будем далее предполагать тело невращающимся; тогда в равновесии оно будет иметь сферическую форму, и распределение плотности в нем будет центрально-симметричным.
Равновесное распределение плотности (и других термодинамических величин) в теле будет определяться следующими уравнениями. Ньютоновский гравитационный потенциал гр удовлетворяет дифференциальному уравнению Лзр = 4пбр, (107,4) ') Легко видеть, что для электрически нейтрального газа, ссстоягнего из электронов и атомных ядер, условие равновесия можно писать в виде (107,2) где р †плотнос вещества, 6 †ньютоновск гравитационная постоянная; в центрально-симметричном случае имеем —., ~ (г' ~ ) =4пбр. (107,1) Кроме того, в тепловом равновесии должно выполняться условие (25,2); в гравитационном поле потенциальная энергия частицы с массой т' есть т'гр, так что имеем р+ т'у = сопя(, (107,2) где и' — масса частицы тела, а у химического потенциала вещества в отсутствие поля для краткости опущен индекс нуль. Выразив зр через р из (107,2) и подставив в уравнение (107,1), мы можем написать последнее в виде —, — „(г' ф) = — 4пт'бр.
(10?,3) Прн увеличении массы гравитирующего тела возрастает, естественно, и его средняя плотность (это обстоятельство будет подтверждено следующими ниже вычислениями). Поэтому при достаточно большой полной массе М тела можно, согласно изложенному в предыдущем параграфе, рассматривать вещество тела как вырожденный электронный ферми-газ — сначала нерелятивистский, а затем, при еще ббльших массах, релятивистский. Химический потенциал нерелятивистского вырожденного электронного газа связан с плотностью тела р равенством (Зп') з)з гзз )ь = рз!з гл т'м е (формула (57,3), в которую подставлено р=т'У/17; т' — масса, приходящаяся на один электрон, т,— электронная масса). Выразив отсюда р через )ь и подставив в (107,3), получим следующее уравнение' ): А~ х ™з 'м'*0 — — — ")= — Лр) ) = ' . (10?,б) й' 550 СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА ПРИ ВОЛЬШНХ ПЛОТНОСТЯХ [ГЛ.
Х! Обладающие физическим смыслом решения этого уравнения ие должны иметь особенности в начале координат: р — сопз( при г — О. Это требование автоматически приводит к условию для первой производной — "=0 при г=О, в(Р л = (107,6) как это непосредственно следует из уравнения (107,5) после интегрирования по в(г: — — — гз)ваГз г(г. )с Г нг Т )в (г) твоа 1 ( р) (107,7) где 7' — некоторая функция только от безразмерного отношения гЯ. Поскольку плотность р пропорциональна )веге, то распреде- ление плотности должно иметь вид р(г)= ~, р'(Т) с химическим потенциалом электронов в качестве и и с массой, приходящейся на одни электрон, в качестве и .
Действительно, вывод этого условия равновесия (б 25) связан с рассмотрением переноса бесконечно малого количества вещества из одного места в другое. Но в газе, состоящем из заряженных частиц обоих знаков, такой перенос надо представлять себе как перенос некоторого количества нейтрального вещества (т.
е. электронов и ядер вместе). Разьединеиие зарядов обоих знаков энергетически весьма невыгодно благодаря возникающим при этом очень большим электрическим полям. Поэтому мы получим условие равновесия в виде и +гр,„+(и„„+гива) р=е (на одно ядро приходится 2 электронов). Вследствие большой массы ядер (по сравнению с массой электронов) их химический потенциал очень мал по сравнению с р . Пренебрегая р,д и разделив урзвнеиие на 2, получим р +иву=а.
Как и в б 106, при численных оценках в этом параграфе будем полагать и' равной удвоенной массе иуклоиа (и'=2и„), Ряд существенных результатов можно получить уже путем применения к уравнению (107,5) простых соображений размерности. Решения уравнения (107,5) содержат лишь два постоянных параметра †постоянн )ь и, например, радиус тела )св, заданием которого однозначно определяется выбор решения. Из этих двух величин можно образовать всего одну величину с размерностью длины †сам радиус )т, и одну величину с размерностью энергии: 1/)ьз)7в (постоянная )ь имеет размерность слв 'эра-в/з). Поэтому ясно, что функция р(г) должна иметь вид ~ 1071 глвноввсие твл с вольшой млссой 351 Таким образом, при изменении размеров сферы распределение плотности в ней меняется подобным образом, причем в подобных точках плотность меняется обратно пропорционально )т'.
В частности, средняя плотность сферы будет просто обратно пропорциональна Д'. ! р с/э —. !!в Полная же масса М тела, следовательно, обратно пропорциональна кубу радиуса: ! М сл —. ДВ ' Эти два соотношения можно написать также в виде (107,8) Я сл М- м', р сл М'. Таким образом, размеры равновесной сферы обратно пропорциональны кубическому корню из ее полной массы, а средняя плотность пропорциональна квадрату массы. Последнее обстоятельство подтверждает сделанное выше предположение о том, что плотность гравитирующего тела растет с увеличением его массы.
Тот факт, что гравитирующая сфера из нерелятивистского вырожденного ферми-газа может находиться в равновесии при любом значении полной массы М, можно было усмотреть заранее из следующих качественных соображений. Полная кинетическая энергия частицтакого газа пропорциональна й! (й(/Р)м' (см. (57,6)), или, что то же, М'~'Я', а гравитационная энергия газа в целом отрицательна и пропорциональна М'Я. Сумма двух выражений такого типа может иметь минимум (как функция от )с) при любом М, причем в точке минимума )с сю М-'и.
Подставляя (107,7) в (107,5) и вводя безразмерную переменную 5 =гЯ, найдем, что функция (Я) удовлетворяет уравнению (107,9) с граничными условиями )'(0)= — О, 7(!)=О. Это уравнение не может быть решено в аналитическом виде и должно интегрироваться численно. Укажем, что !' (0) = 178,2, 1' (1) = — 132,4. С помощью этих численных значений легко определить значение постоянной М)с'. Умножив уравнение (107,1) на г'й и интегрируя от 0 до )с, получим 352 СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА ПРИ ВОЛЬ$БИХ ПЛОТИОСТЯХ [ГЛ. Х! откуда Ма[а=919 з, =2 2.10тв[ "1 Олма (107,10) где О = 2 10" г — масса Солнца.
Наконец, для отношения центральной плотности р(0) к средней плотности р=ЗМ/4п/са легко найти 3/' (1) (107,11) На рис. 50 (крнвая 1) изображен график отношения р (г)/р (О) как функции г/)т '). Ф дг ах а~ а~ щ а~ ог ОИ у//и Рис, 00. Перейдем к исследованию равновесия, сферы, состоящей из вырожденного ультрарелятивистского электронного газа. Полная кинетическая энергия частиц такого газа пропорцяональна л/ (й//$')ыа (см.
(61,3)), или иначе М'/еЯ; гравитационная же энергия про- г) В предыдущем параграфе мы видели, что вещество можно рассматривать нак нерелятивисгский вырожденный алектронный газ при плотностях р))зола%ма. если потребовать выполнения этого неравенства для средней плотности рассматриваемой сферы, то для ее массы получится условие М>б [о-гО, Зтим массам соответствуют радиусм < 0 10ел" Ыа нм. й 107! Рлаиоаесие тел с БОльшОЙ мьссой 353 р=(ЗЛ~)0~6с (Р,)'". Вместо уравнения (107,5) получаем теперь (107,12) 4от" Имея в виду, что )5 обладает теперь размерностью эра 'см ', находим, что химический потенциал как функция от г должен иметь вид 1«(г) = = 1 ( — ), (107,14) а распределение плотности р (г) = » ~ ( р ) ° Таким образом, средняя плотность будет теперь обратно пропорциональна )«', а полная масса Мс»з»1»р оказывается не зависящей от размеров постоянной: 1 рс/» л», М= соп51.= Мо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
