landafshic_tom5_statfiz_Ch1 (1083899), страница 76
Текст из файла (страница 76)
т ер (й) Задача Определить первый член разложения корреляционной функция разрежен- нога газа по степеням М/)г. Решение. Исходим из формулы (79,2). В первом приближении можно считать, что все остальные частицы, кроме двух заданных, находятся вдали друг от друга н их взанмодействвем можно пренебречь, так что интегрирования дают (ТА'-з. С той же точностью можно положить г" =гад.
В результате находим т (г) = л [е и 1г117 11 где (7 (г) — энергия взаимодействия двух частиц газа. Отметим, что подстановка етого выражения в (79,1) дает для знергии газа Этот результат находится, конечно, в соответствии с формулами (74,4 — 5) для свободной энергии слабо неидеального газа. Поскольку каждый из членов суммы (116,10) зависит только от одного из Лпь, то флуктуации различных спи статистически независимы. Каждый квадрат (Лпи~* входит в сумму дважды (~)г), так что распределение вероятностей его флуктуаций дается выражением [гл.
хп ФЛУКТУАЦИИ 5 117. Корреляция флуктуаций плотности в вырожденном газе Как уже было отмечено в предыдущем параграфе, в классическом идеальном газе никакой корреляции между положениями различных частиц вообще нет. В квантовой механике, однако, такая корреляция возникает ввиду косвенного взаимодействия частиц идеального газа в силу принципа симметрии волновых функций '). Задача об определении корреляционной функции в вырожденном газе наиболее просто может быть решена методом вторичного квантования (который уже был применен в 9 80 для вычисления энергии электронного газа). Как известно, в этом методе плотности числа частиц отвечаег оператор и (г) = ф+ (г) ф (г); после подстановки фоператоров (80,5) он выражается суммой и (г) =- ~и приор'оуро (г) фр'е' (г) (117,1) оо'рр где суммирование производится по всем значениям импульсов р, р' (для свободных частиц в объеме [Г) и по проекциям спина а, а' ').
г(о ввиду ортогональности спиновых волновых функций, отвечающих различным значениям а, фактически отличны от нуля лишь члены суммы с а=о'. В произведениях фрофр, нормированные спиновые множители дают единицу, так что волновые функции можно писать просто в виде координатных плоских вали с «рггй Р (117,2) Легко видеть, что диагональные члены суммы (1!7,1) (р=р') дают как раз среднюю плотность п: поскольку оператор ар,' ар, есть просто число частиц пр, в данном квантовом состоянии, то сумма этих членов равна 1 с»ч У вЂ” пра = — = и. )г ~.~ у ор ') Коррелкцни флуктуаций в ферми-газе была рассмотрена В. С.
Фурсовым (1937), а в бозе-газе — А. Ц. Галаниным (1940), ') Напомним, что волновые функции частицы со спинам представляют собой спнноры н произведение волновых функций в (1!7,1) является в действительности «скалнрным произведением» коварнантного н контрзарнантного спнноров с соответствующим суммированием по спннорным индексам (с которымн не следует смешивать индексы о, о', указывающие собственные значения проекции спина в данных состоаннях). й 117! корреляция рлтктрвция плотности в вырождвниом глзв 387 Поэтому можно написать т + гти = и (г) — и = ~ а, а д>рфр, Орр' (117,3) (здесь и везде ниже верхний знак относится к случаю статистики Ферми, а нижний — к статистике Бозе).
Подставляя также функции фр (117,2), получим (1 ~ пр'р) прае ' 1 ррр' Это выражение должно быть теперь усреднено н статистическом смысле, т. е. по равновесному распределению частиц по различным квантовым состояниям. Поскольку частицы, находящиеся в различных квантовых состояниях, ведут себя независимо друг от друга, то усреднение чисел и, и и производится независимо. В результате для искомого среднего значения находим 1 <Ли,Лп,)= —,~~! (! ~=ар,)пр,е''Р РЗ и'-тп~".
(117,4) ррр' От суммирования по р, р' перейдем теперь обычным образом к интегрированию по И'рИ'р'42птр)' (при этом ограничение р~р' становится несущественным). Интеграл разбивается на две части, из которых первая есть ') ! лр,е'~р-рп< з- нз с —, еррр арр где штрих у знака суммы означает, что диагональные члены в ней должны быть опущены. С помощью этого выражения не представляет труда вычислить интересующее нас среднее значение <Ли,Лп,). Вычисление среднего значения производится в два этапа. Прежде всего надо произвести квантовомеханическое усреднение по состояниям частиц. Это усреднение сводится к взятию соответствующего диагонального матричного элемента данной величины.
Перемножив два оператора (!17,3), относящиеся к двум различным точкам г, и г„мы получим сумму членов, содержа+ щих различного рода произведения операторов ар„а „взятых по четыре. Но из всех этих произведений имеют диагональные матричные элементы лишь те, которые содержат две пары опе+ раторов ар„ар, с одинаковыми индексами, т. е. члены +" "+" * .~~ ар,ар„ар„!!ррфр(г,) зрр (г,) фр (г,) фр(г,). ррр' Эти члены представляют собой диагональные матрицы, причем + йр рйр и — — ! -+. Пр'о аррйрр = прр ФЛУКТУАЦИИ (гл. хп (1 !7,7) Интегрирование по г(*р'!(2п)з)' дает 6-функцию 5(г,— г,), которая позволяет положить г,— г,= О в оставшемся подынтегральном выражении; после этого остается — па 5(г — г)'С~ и „вЂ” =пб(г — г).
' С-~ 3 (2ЛД)з о Это есть как раз первый член в формуле (116,3). Поэтому для корреляционной функции (второй член в (116,3)) находим следующее выражение: т(г) = ~ = э ~ ~ еч гйпр (117,5) и ~ ~ ~ „(2пд) з о В равновесном газе распределение частиц по квантовым состояниям дается формулой распределения Ферми или Бозе пр, — пр сьерре-ппг + 11 — т (117,6) Эти числа не зависят от щ поэтому суммирование по а в (117,5) дает просто множитель и= 2а+ 1 (з — спин частицы). Таким образом, получаем окончательно следующую формулу для корреляционной функции '): или после интегрирования по направлениям р т (г) ~ А' ('з1п (Рггп) Рггр (117,8) 4папгтпч,~ евое "Нг ш 1 о Приведем также формулу для средних квадратов компонент Фурье флуктуаций плотности, которую легко получить, подставляя т(г) из (117,7) в общую формулу (116,13) и производя интегрирование по координатам '): (~йп !з) = ~ ( пр(1 ~прайя) — ".
(117,9) Из формулы (117,7) видно прежде всего, что для ферми-газа ч (г) <О, а для бозе-газа т (г) ) О. Лругими словами, у бозе-газа присутствие в некоторой точке пространства частицы увеличивает вероятность нахождения другой частицы вблизи этой точки, т. е. частицы испытывают своеобразное притяжение. В ферми- газе, напротив, частицы проявляют аналогичное отталкивание (ср. замечание в конце $ 56). ') В случае бозе-газа эта формула относнтся только к температурам выше точкн бозе-эйнштейновской конденсацнн (см. задачу 4). ') Не смешнвать фурье-компоненты флуктуацнй плотности газа Ьлк с чнсламн заполнення квантовых состояннй частнц и ! В соответствии со сказанным в начале этого параграфа в классическом пределе корреляционная функция обращается в нуль: при гь 0 частота асциллирующего множителя ехр(/рг/гь) в подыитегральном выражении в (117,7) неограниченно возрастает, и интеграл стремится к нулю.
При г — 0 функция т(г) стремится к постоянному пределу: т(0)= ~=~ ~ и (117,10) л 1,) (2л )з~ л Применим формулу (П7,8) к ферми-газу при Т=О. В этом случае функция распределения есть ступенчатая функция: п,=1 пРи Р ( Рк и а„=О пРи Р > Рш где Р„=Ф(бпзп/й)ыз — гРаничный импульс.
Поэтому находим р з!и — с(р рг й о т(г) =— йг 4лейелгз Рассмотрим не слишком малые расстояния — будем считать, что р„г4)) 1. Соответственно этому вычисляем интеграл, сохранив лишь член с наименьшей степенью !/ш ч(г)=— ЗЬ ргг соз' — . 2паргт4 $ Квадрат косинуса быстро меняется на интервалах /хг, малых по сравнению с рассматриваемыми расстояниями. Усредиив яо такому интервалу, найдем 3$ (117,11) Задачн 1.
Определить средний квадрат фурье-компонент (с малымн волновыми векторами: й((рг/й) флуктуацнй плотности в ферми-газе прн Т =О. Р е ш с н н е. Подынтегральное выраженне в (117,9) отлнчно от нуля (н равно единице) лишь в точках, в которых лв =1, лр+йв=о, т. е. в точках, принадлежащих сфере радиуса рг н в то же время не принадлежащих сфере того же раднуса с центром, сдана>тым на ЙЮ Вычисляя объем этой области прн йй (с рю получим пйврея Злй л <)Ьлк!"г = (2п)зйз(г 4дк 2. Определить корреляционную функцию для ферми-газа пря температурах; нкзкнх по сравненню с температурой вырождения.
Решение, В интеграле в (117,8) полагаем р и в~ =рр/2ш н преобра. зуем его следующим образом: ь ~рз)п(рг/Ь)др д ~ соа(рг/Ь)др о е -1- 1 ( - гУт = дг ( -з~)!т о е ' +1 $ 117] корреляция елуктглцнй плотности в выеождянном глзк 389 ВВО (гл. хы влуктклции Произноднм интегрирование по частям, после чего вводим новую переменную х=рс(Р— Рс)~тТ. Ввиду малости Т подынтегральнос выражение быстро убывает с ростом (х), и потому интеграл по дх можно распространить от — оз до +оь: 7 = — нз — — з!п — г+ Лхг дг г д! ~,~ ) (е +!)(е-х Р1) т т р д ) з!п (рсг)а) (' ~хг дх дг )( г,) (е"-1-1)(е-х+1)/ (где л=ттгтьрс), получившийся интеграл подстановкой (ах+1)-а=и приво- дится к В-интегралу Эйлера, н в результате получается д ! лЛ .
Рсг! 7 =ез — — з!ив дг (з!г(лЛг) Ь ) Для расстояний г>) лгрс усредннв быстро меняющийся квадрат косинуса, получаем окончательно (.)=- зй- ( — ) . 3(тТ)а Г тТг' з 47ьр' г' Л Йрс ~ При Т вЂ” сб зта формула переходит в (117,11). В асимптотической области, где грс/Ь велико не только по сравнению с 1, но и по сравнению с зс)Т, имеем 3 (тТ)' / 2лглТг Л и (г) = — ехр ь," 3.
Определнть корреляционную функцию для бозе-газа на больших рас- стояниях (г >) )ЬГ' Гг лтТ) при температурах выше точки Те начала бозе-эйншгей- новской конденсации, но близких к ней. Решение. Вблизи точки Те химический потенциал (!г( мал (см. задачу к $62). При этом интеграл в (117,7) (обозначим его 7) определяется областью малых значеняй р: е)Т вЂ” рз)тТ вЂ” )р)гТ((1.
Поэтому, разлагая подынте- гральнае выражение по е и р, находим') егэг)й дзр тТ ! (2т ) )г !)Ыз ! утТ" — = — ехр — г ) рз)2т+ ! р ( (2лв)з 2ллзг ( й, Окончательно дтзТз ! 2(2т) р))Ы'! и (г) = = ехр г — г йл Д"' $ х) Использована формула фурье-преобразования е "' п„4л ( е~~г дзй е нг — е-г дг= из+Фа' 3 нт+ йз (2 )г 4 г Ее проще всего можно получить, заметив, что функция ф=е-нггг удовлетвориет дифференциальному уравнению Ь<р — н~р = — 4л6 (г). Умножив это уравнение с обеих сторон на е гы н интегрируя по всему пространству (причем интеграл от е Пн б~р берется дважды по частям), получим требуемый результат. 2 118) коггкляция ельктьлций во вгкмвни 391 4.
Определить корреляционную функцию бозе-газа при Т < Т,, Решение. Прн Т < Т, конечная доля числа частиц (!Уз-е) находится в состояниях с р=о (конденсат). Возврмцаясь к выражению (117,4) надо предварительно (до перехода от суммирования к интегрированию) выделить в нем члены с равным нулю р илн р', учитывая при атом, что число частиц в каждом нз квантовых состояний с р=о: пр а= !уа-а/л. После етого сумма преобразуется, как зто было сделано в тексте, н в результате вместо (117,7) находим т(г) /( /а 1 — ! е и 2па Й', !" Грг7й- а(ар и и,) а' (2пй)а (где и,= )аз а/я), причем пр дается формулой распределения Бозе с и=О: п =~еа77 11-а а На расстояниях г )) й/)/шТ интеграл ! =тТ/2пуааг (формула из предыдущей задачи с )а=о), так что тТпа лшаТа т(г) — а+ ппуааг 4папуааг а вторым членом можно пренебречь, если только Т не слишком близко к Т, (так что па не слишком мало).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
