landafshic_tom5_statfiz_Ch1 (1083899), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Эта же величина является, согласно (122,5), н компонентой Фурье корреляционной функции. Обратно: (ха)„= ) «р (У) е«"««41. (122,7) В написанных формулах величина х(1) предполагалась классической. В случае квантовой величины разложение (122,1 — 2) ') В способе ввеленнн спектрального рааложеннн флуктуаций мм следуем С. А«.
Рмтову. [гл. хп Флуктуации должно относиться к зависящему от времени оператору х(!), а определение спектральной плотности (хе) записывается (вместо (122,4)) в виде — <х„хн, +х„,хе> = 2п (х')„6 (со ~-со'). Для корреляционной функции квазистационарных флуктуаций одной величины в 2 118 было получено выражение (118,8). Элементарное интегрирование дает следующий результат для ее спектрального разложения: 1Г 1 1 1 2А (х')„— — — [д,.
+ ' ~ = ( ' -ъе ' (122'9) В соответствии с физическим смыслом приближения, отвечающего квазистационарным флуктуациям, зто выражение применимо лишь для частот, малых по сравнению с обратным временем неполного равновесия. В терминах введенной в конце 2 118 случайной силы у (!) временная зависимость флуктуирующей величины х описывается уравнением х= — Ах+у. умножив его на езчм н проинтегрировав по д! в пределах от — оо до + оо (причем член хи!им интегрируется по частям')), получим ()ь — (го)х =у .
Отсюда ясно, что надо положить (у') =(озз+ Хз)(х')„= —. (122,10) Это выражение можно, конечно, получить и прямо из (118,10). Наличию 6-функции 6 (!) в (118,10) отвечает в (122,10) независимо (уз)н от ю. Написанные формулы непосредственно обобщаются на флуктуации одновременно нескольких термодинамических величин х„х„... Соответствующие корреляционные функции фм(г) были определены в 5 1!9.
Компоненты их спектрального разложения определяются как О Ф (х,ха)„= ) !р!Л(!) е""'М = ~ <х;(!) х„(0)>е'""г!1, (122,11) а вместо (!22,4) имеем <х!„ха„> = 2п (х;хь) 6 (го -[- го') (122,12) (в обозначении (х,х„) порядок множителей существен!). з) При этом члены, содержащие х(1 ое), следует опустить; ик появление связано с упомянутой выше фактической раскодимостью интегралов (!22,!). С формальной точки зрения вти члены все равно несущественны орн вычислении среднего <у„у„,>, поскольку онн конечны при ы'= — ы н могут быть опущены по сравнению с Ь.функционным основным членом.
Изменение знака времени эквивалентно замене о> — — |о в спектральном разложении, а эта замена в свою очередь означает комплексное сопряжение величин (х|х»)„. Поэтому равенство >Р|»(()=|Р»|( Г) (119,2) означает, что (х;х») = (х»х|) „= (х„х|)„', (122,13) Симметрия же флуктуаций по отношению к обращению времени, выражающаяся равенствами (119,3) или (1!9,4), в терминах спектрального разложения записывается как (х,х»)„ = -ь (х;х„) „ = ь- (х|х»);„ (122,14) где знаки + или — относятся соответственно к случаям, когда сами величины х, и х» ведут себя одинаково или по-разному по отношению к обращению времени; в первом случае, следовательно, величина (х;х») вещественна и симметрична по индексам |, й, а во втором — мнима и антисимметрична.
В 9 119 была написана система уравнений (119;8), которой подчиняются корреляционные функции квазистационарных флуктуаций. Эти уравнения легко решаются с помощью спектрального разложения. Поскольку уравнения (1!9,8) относятся только к временам 1 ) О, производим над ними «одностороннее» преобразование Фурье: умножаем уравнения на е|"' и интегрируем по Ж в пределах от 0 до оо. При этом член еМр|>(1) интегрируется по частям; учитывая, что |рп(ао)=0, получим — |рп (0) — йо (х;х|)'+> = — Л|» (х„х,)„'+>, где введено обозначение >>> (х;х,)„'"'=) >р»(г)е|""Ж, о (122,15) Значение >рп(0) определяется «начальным условием» (119,9); поэтому (Л|» — (о>б|») (х»х,)'„+' = 8;,' или (Ь>» — ар|») (х»х,)"> = 6;|, где вместо коэффициентов Ль» введены более удобные (ввиду их симметрии) кинетические коэффициенты ~;»=йпЛ>» (см.
(120,13)). Решение этой алгебраической системы уравнений (х»х|)'+> = (ь — (о>й)»>>, где — 1 в показателе означает взятие обратной матрицы. С другой стороны, интересующие нас компоненты спектрального разложения (122,11) выражаются через компоненты $1221 спвктолльнов олзложвнив олуктгоций 407 !гл.
хп елзткткдции «одностороннего» разложения (122,15) равенствами (хгх )„= (х,ха)'+'+ (хэха),' (! 22,16) в этом легко убедиться, представив интеграл от — оо до + оо в виде суммы двух интегралов (от — оо до 0 и от 0 до + сю), заменив в первом из них ! — ! и воспользовавшись свойством симметрии (119,2). Таким образом, окончательно находим (х,ха)„= Д вЂ” (щ()) а'+(~+!ю())а)". (122,17) В силу свойств симметрии матриц ьаа и (),а, величины (122,17) автоматически обладают свойствами (122„13) или (122,14) т).
Полученные результаты можно представить в другом виде, введя в релаксационные уравнения «случайные сильв подобно тому, как это было сделано в конце 9 118 для одной флуктуирующей величины. При этом корреляционные свойства этих сил фурмулируются в особенно простом виде, если ввести их в уравнения, записанные с помощью термодинамически взаимных величин — как это сделано в (120,5) или (120,13). Так, введя случайные силы г'г в уравнения (120,13), запишем их в виде Х1 = — ~гах.
+ Уб (122,18) величинами 1'; можно пренебречь, когда ха становятся больше своих средних флуктуаций. Аналогично тому, как это было сделано прн выводе (122,10), получим после простого вычисления следующую формулу для спектрального разложения корреляционных функций случайных сил: ()'1)та) =тьаа+ть" (122,19) Как и в (!22,10), эти величины не зависят от частоты. Если же ввести случайные силы у, в уравнении (120,5): х; = — умХа+Уо (122,20) то для их корреляционной функции получится аналогичная формула (У~У»)м = Ум + Ум.
(122,21) Эта формула очевидна без новых вычислений, если снова вспомнить о взаимном характере соответствия между величинами ха и Х; (см. примечание на стр. 367), Преимущество формул (122,19) т) Матрица величин р;а всегда симметрична. Но если некоторые л; и ла ведут себя по-разному при обращении времени, то соответствующее р;а=.О.
Это следует из того, что рча есть коэффициент при произведении яака в квадратичной форме (111,1), определяющей изменение эитронии при отклонении от равновесия. Поскольку энтропии инвариантна относительно обращения времени, а произведение кгха меняет знак, то энтропия ие Может содержать такого члена, т. е. должно быть Р1»=0. Я !221 спектглльное тлзложение ельктьлций 409 Р = — тюо(г у Р Ш (122,24) где — ТР/тп = — ТЯ есть сила трения. Как было объяснено в 2 121, если рассматривать Я н Р как величины х, н х„то соответствующими Х, н Х, будут: лают!Т н Р/тТ. Уравнения (122,23 — 24) играют прн этом роль соотношений х;= — 71аХ», так что у„= 0, у„= — тат = — Т, у»а =ТТ. Чтобы применить этн уравнения к флуктуациям, перепнсываем (122,24) в виде Р= — лтю1Я вЂ” т Р+у, (122,25) т) Независимость выражений (122,10) н (122,2ц от частоты означает (как и в случае формулы (122,10) для одной флуктуирующей величины), что сами корреляционные функции <у;(1) у"а(0)> и <у;(1) уа(0)> содержат й-функцию времени.
Так, <уг(1) у„(о)>=(ум+та!) 6(1). (122,2!а) н (122,21) состоит в том, что в ннх входят компоненты самих матриц ьса н ум, а не обратных нм '). В качестве примера применения полученных формул рассмотрим флуктуации одномерного осцнллятора. Другими словами, рассмотрим тело, покоящееся в равновесном положении (() = О), но способное совершать малые колебания по некоторой макроскопнческой координате (;). Благодаря флуктуациям координата (Г будет в действительности испытывать отклонения от значений Д =-О. Средний квадрат этого отклонения определяется непосредственно по коэффнцненту в квазнупругой силе, действующей на тело прн его отклонении. Напишем потенциальную энергию осцнллятора в виде где лт — его «масса» (т.
е. коэффнцнент пропорцнональностн между обобщенным импульсом Р н скоростью 9:Р=тЯ), а юа — частота свободных колебаний (в отсутствие трения). Тогда средняя квадратичная флуктуация (ср. задачу 7, 2 112) будет равна <~а> (122,22) ИФо Спектральное разложение флуктуаций коордннаты пронзведем для общего случая, когда колебания осцнллятора сопровождаются трением.
Уравнения двнження осцнллятора с трепнем гласят: Р (122,23) 410 [гл. хп влгнтгации введя в его правую часть случайну|о силу у. Уравнение же (122,23), являющееся определением импульса, следует оставить неизменным. Согласно формуле (122,21) непосредственно находим спектральную плотность флуктуаций случайной силы: (у') = 27„= 27Т.
(122,26) Наконец, для нахождения искомого (Я') пишем, подставив Р=тЯ в (122,25): тЯ+уф+онэЯ =у. (122,27) Умножив это уравнение на е' ' и интегрируя по времени, найдем ( — оно' — (му+оно~о) Яа = не откуда окончательно (Я )ь= т'(о~ — мю)'+ е'т~ ' (122,28) й 123. Обобщенная восприимчивость где х — оператор данной физической величины, а возмущающая обобщенная сила 1 есть заданная функция времени. Квантовомеханическое среднее значение х при наличии такого возмущения отлично от нуля (в то время как в равновесном состоянии в отсутствие возмущения х=О) и может быть представлено в виде а~, где а — линейный интегральный оператор, действие которого на функцию 1 (1) определяется формулой вида (123,2) Невозможно получить общую формулу для спектрального распределения произвольных флуктуаций, аналогичную формуле (122,9) для квазистационарных флуктуаций.
Однако в ряде случаев оказывается возможным связать свойства флуктуаций с величинами, характеризующими поведение тела под действием определенных внешних воздействий. При этом речь может идти о флуктуациях как классических величин, так и величин квантовой природы. Физические величины этой категории обладают тем свойством, что для каждой из них существует такое внешнее воздействие, которое описывается появлением в гамильтониане тела возмущающего оператора вида У= — х1 (1), й 1231 411 ововщкнная иосппиимчивость где а (т) †функц времени, зависящая от свойств тела. Значение х в момент времени 1 может, конечно, зависеть от значений силы ) лишь в предшествующие (а не последующие) моменты времени; выражение (123,2) удовлетворяет этому требованию.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
