landafshic_tom5_statfiz_Ch1 (1083899), страница 82
Текст из файла (страница 82)
53) или нулю (если а лежит вне этого интервала) вне зави- ь". ф симости от числа самопересечений контура. Отсюда следует, что выражение (123,13) равно единице при 0 < а < ар и нулю при всяком другом значении а. Таким образом, мы приходим к выводу, что функция а(рр) в верхней полу- плоскости ьр принимает всего по одному разу всякое вещественное значение а, лежащее в указанном интервале (и ни разу — значения, лежащие вне этого интервала). Отсюда прежде всего можно заключить, что на мнимой оси, где функция рх(го) вещественна, она не может иметь ни максимума, нн минимума: в противном случае она принимала бы некоторые значения по крайней мере дважды.
Следовательно, на мнимой оси функция а (ьр) меняется монотонно, пробегая здесь и только здесь по одному разу все вещественные значения от срр до нуля. Если а = со (т. е. а(рр) имеет полюс в точке ьр= 0), то изложенное доказательство меняется лишь в том отношении, что при движении (в плоскости ьр) вдоль вещественной оси надо обойти начало координат сверху по бесконечно малой полуокружности. Изменение контура С' на рис. 53 можно представлять себе при этом как результат отодвигания и, на бесконечность. Функция а (ы) на мнимой оси в этом случае монотонно убывает от + ОО до О.
Далее выведем формулу, связывающую мнимую и вещественную части функции ре (ы) друг с другом. Для этого выберем какое- либо положительное вещественное значение Бр= ьрр и проинтегрируем выражение ср/(ь — ьр,) по контуру, изображенному на рис. 54. Этот контур идет вдоль всей вещественной оси, огибая сверху точку ьр=Орр > 0 (а также точку Ор=О, если последняя является полюсом функции а (ьр)). Контур замыкается бесконечно удаленной полуокружностью. На бесконечности и — О, и потому функция ср!(Вр — ьр,) стремится к нулю быстрее, чем !)ьр. Поэтому интеграл а (рр) — ' (О) М вЂ” Мр с 4(Е (гл.
хп елкктклцнн (ме о Ю !пп ( ( — йо+ ( — Но! — (псе(ю,)=0. о~о( ! ™ юе ! ы ыо О кч т Р Первый член есть интеграл от — со до +оо, понимаемый в смысле главного значения. Отмечая это обстоятельство, как принято, перечеркнутым знаком интеграла, имеем (123,14) Переменная интегрирования ез пробегает здесь лишь вещественные значения. Переобоэначим ее буквой 6, а посредством со обозначим заданное вещественное значение ю,; напишем также функцию св(щ) вещественного переменного ез в виде се=се'+(и".
Отделяя в (123„14) вещественную и мнимую части, найдем окончательно следующие две формулы: '()= — „~ ~ „б$, 1 (' се' (й) Ф ак (оз) = — — ~ — сц. 1 в се' ($) я г й — ы (123,15) (123,16) Эгн соотношения (которые называют дисаерсиомными) были впервые получены Крамерсом и Кронигом (гт". А. Кгатггз, тс. с,. Кгоп(й, 1927). Подчеркнем, что единственным существенным свойством функции а (со), использованным при выводе этих формул, является отсутствие особых точек в верхней полуплоскости '). Поэтому можно сказать, что формулы Крамерса — Кронига (как и указанное ') Что касается свойства и — ~0 при и — ~ <е, то оно не является сущест. веиным; если бы предел и был отличен от О, то надо было бы просто рассматривать разность а — и внеся а с соттветствующнм очевидным видоизменением формул (!23,15 — 16).
См. также задачу к 6 126. сходится; поскольку же а (то) не имеет особых точек в верхней полуплоскости, а точка ю = со, исключена из области интегрирования, то функция а!(аз †с) аналитична во всей области внутри контура С, и написанный интеграл равен нулю. Интеграл по бесконечно удаленной полуокружности обращается в нуль сам по себе. Точку же ю, обовдем по бесконечно малой полуокружности (радиуса р — О). Обход происходит по часовой стрелке и дает в интеграле вклад, равный — (псе(!ее). Если и, конечно, то обход начала координат излишен и интегрирование вдоль всей вещественной оси дает, таким образом, з 123! 417 оооощааяля воспоииичивосгь свойство функции а(в))являются прямым следствием принципа причинности.
Воспользовавшись нечетиостью функции а" ($), можно переписать (123,!5) в виде О а (в)= — ~ — ~($+ — ~ — 'с$ 1 Г сс" (Ц ! Г а" (й) д ~й — в и $+в о о или О а'(в)= — „~ ., Щ 2 Г $а" (о) о (123,17) Если функция а(в) имеет полюс в точке в=О, вблизи которой а=-(А/в, то обход этого полюса по полуокружности дает в интеграле дополнительный вещественный член — А/в„который должен быть прибавлен к левой стороне равенства(123,14). Соответственно такой же член появится и в формуле (123,16): а" (в) =- — — ~ — Д+ —. 1 Г а'(о) А я ой — в в' Ю (123,18) взятый по контуру, состоящему из вещественной оси и бесконечно удаленной полуокружности в верхней полуплоскости (в,— вещественное число). Этот интеграл выражается через вычет подынтегрального выражения относительно пол1оса в= (в,.
Сдругой стороны, интеграл по бесконечно удаленной полуокружности исчезает, так что получаем Ф о ( о ~(В=(на(1Во). ва (в) о й В левой стороне равенства вещественная часть интеграла обра- щается в нуль в силу нечетности интегрируемой функции. За- менив также обозначения в, и в на в и а„получим оконча- тельно: о (123,19) формулы же (123,15) или (!23,17) остаются без изменений. Выведем еще формулу, выражающую значения а(в) на верхней мнимой полуоси через значения а" (в) на вещественной оси. Для этого рассмотрим интеграл 418 [гл.
хп Флуктуации Если проинтегрировать это соотношение с обеих сторон по да, то получается Ю ~ и(йа)да= ~ а" (а)йо. (123,20) ф 124, Флуктуационно-диссипационная теорема 2 (хорхе'+ха'хв)и»= 2 ~~~~1(хв)ии(хв.)ел+(хе,)да(хд)щи~, (124,1) гл где суммирование распространяется по всему спектру уровней энергии (ввиду комплексности оператора х„два члена в квадратных скобках не совпадают друг с другом). Зависимость оператора х(1) от времени означает, что вычисление его матричных элементов должно производиться с помощью зависящих от времени волновых функций. Поэтому имеем (х )„= ) х„е'(" +")'пг'= 2пх„6 (а„+а), (124,2) — О где х„— обычный, не зависящий от времени матричный элемент оператора х, выраженного через координаты частиц тела, а а„=(ń— Е )/$ — частота перехода между состояниями а и гп.
Таким образом, 1 — (х„х ° +х„х )„„= = АР ~ ~ х„~ ~' ~6 (а„+ а) 6 (а „+ а') + 6 (а„+ а') 6 (а „+ а)1 (здесь учтено, что х„=х „ввиду вещественности х). Произве- дения 6-функций в квадратных скобках можно, очевидно, пере- писать в виде 6(а„+а) 6(а+а')+6(а „+а) 6 (а+а'). Приступим теперь к вычислениям, имеющим целью связать флуктуации величины х с введенной в предыдущем параграфе обобщенной восприимчивостью. Пусть тело, к которому относится величина х, находится в некотором определенном (и-м) стационарном состоянии.
Среднее значение (122,8) вычисляется как соответствующий диагональный матричный элемент оператора й 1241 ФЛУКТУАЦИОННО"ДИССИИАЦИОННАЯ ТЕОРЕМА 419 Сравнивая после этого с (122,8), получим следующую формулу: (х')„=- я,'~Е ~ х„|' [6 (ы+ы„)+ 6 (ы+ ы „Н. (124,3) В связи с формой записи этого выражения сделаем следующее замечание. Хотя уровни энергии макроскопического тела, строго говоря, дискретны, но они расположены так густо, что фактически образуют непрерывный спектр. Формулу (124,3) можно написать без б-функций, если усреднить ее по малым (но содержащим все же много уровней) интервалам частот. Если Г(Е)— число уровней энергии, меньших Е, то (х~)м = нд ! х„~ ~а ~~Ее + ы1" Йг (124,4) где Е =Е„+ВО, Е' =ń— $а.
Предположим теперь, что на тело действует периодическое (с частотой а) возмущение, описывающееся оператором 17 = — ~х = — — (1 е ""' + 1;еим) х. (124,6) Под влиянием возмущения система совершает переходы, причем вероятность перехода и- и (в единицу времени) дается формулой ш „= 1~'1 ~х „~' (6(в+в „)+6(в+а„)). (124,6) (см. П1, $42). Два члена в этой формуле возникают соответственно из двух членов в (124,5). При каждом переходе система поглощает (или отдает) квант Ьв.
Сумма Я Х~ "Оак т дает среднюю энергию, поглощаемую телом (в единицу времени); источником этой энергии является внешнее возмущение, а поглощаясь телом, она диссипируется и нем. Подставив (124,6), получим а= — "~т.~ Е~ ..Г(6(+ ..)+6(+ ...)) .. или, учитывая, что 6-функции отличны от нуля лишь при равном нулю аргументе, Я = — а~~о!'~~~,(х„~'(6(а+а„) — 6(ы+ю„„)). (!24,7) Сравнивая (124,7) с (123,11), находим а" (а) = — ~ ~х„~'(6(о)+ы„м) — 6(м+ы,)). (124,8) 420 (гл.
хп Флуктющии Вычисленные таким образом величины (х')„на" связаны между собой простым соотношением. Оно выявляется, однако, лишь после того, как эти величины будут выражены через температуру тела. Для этого производим усреднение с помощью распределения Гиббса (ср. примечание на стр. 392). Для (х') имеем (х')„=л „~ ~р„)х„('(6(а+а )+6(а+а „)), л,в где для краткости обозначено I Š— Е„'~ р„= ехр ( Е„ †уров энергии тела, Р†е свободная энергия.
Поскольку суммирование производится теперь по обоим индексам и и и, то можно менять их пбозначение. Раскрыв фигурные скобки и заменив во втором члене т и п друг на друга, получим (х )„= л ~ (р„+ р ) (х„~' 6 (а+ а„) = е,п =и~ р„(1+е" У )(х„)'6(а+а„) т,п или, ввиду наличия в суммируемом выражении б-функции, (х')„= л (1+ е-"""г) ~, р„~ х„'Г 6 (а+ а„), Совершенно аналогичным путем получим а" = — (1 — е ""~г) ~~' р„~ х„(' 6 (а+ а„). т,л Сравнивая друг с другом эти два выражения, найдем (х')„= йа" с1)т —, г 2йи" ( — -1- „~ ~ . (124,9) Полный же средний квадрат флуктуирующей величины дается интегралом 4 х>= — 1,"а(в)с(й,7 д .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
