landafshic_tom5_statfiz_Ch1 (1083899), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Если  — другой узел, отстоящий от А на один из трансляционных периодов, то через В должна проходить другая такая же ось симметрии. Произведем теперь поворот вокруг оси, проходящей через А на угол ~р= 2п)п (л — порядок оси). Тогда точка В вместе с проходящей через нее осью займет положение В'. Аналогично поворот вокруг В переводит точку А в А'. По условиям построения 441 % 1361 кгисткллическгге систвмы точки А' н В' относятся к той же решетке Бравэ и потому могут быть совмещены друг с другом посредством параллельного переноса. Поэтому расстояние А'В' тоже должно быть трансляционным периодом решетки.
Если а есть кратчайший период в данном направлении, то расстояние А'В' должно быть, следовательно, равно ар с целым р. Из рисунка мы видим, что это приводит к уравнению а+ 2а з1п (гр — — 1 = а — 2а соз гр = ар 2! 1 — р созгс= —. 2 Поскольку (созгр ~ =1, то р может быть здесь равным 3, 2, 1, О. Зги значения приводят соответственно к гр=2ийг с л= .=2, 3, 4, 6. Таким образом, кристаллическая решетка может обладать осями симметрии только 2-го, З-го, 4-го и 6-го порядков. Перейдем теперь к изучению возможных типов симметрии решетки Брава по отношению к поворотам и отражениям. Зти типы симметрии носят название кристаллических систем или саксоний.
Каждая из них представ- ! ляет собой определенную совокуп- и а ность осей и плоскостей симметрии, я я т. е. является одной из точечных д а групп. Легко видеть, что каждый Рис. 55. узел решетки Бравэ представляет собой ее центр симметрии. Действительно, каждому атому в решетке Бравэ соответствует другой атом, расположенный на одной прямой с данным узлом и первым атомом таким образом, что оба атома находятся на равных расстояниях от узла.
Если центр симметрии является единственным (кроме трансляций) элементом симметрии решетки Бравэ, имеет место так называемая 1. Трикли иная система. Зта система, наименее симметричная из всех, соответствует точечной группе С;. Узлы триклинной решетки Бравэ расположены в вершинах одинаковых параллелепипедов с произвольными длинами ребер и углами между ними; такой параллелепипед изображен на рис. 66.
Решетки Брава принято обозначать особыми символами; решетка триклинной системы обозначается как Еи 2. Моноклнин а я система является следующей по степени симметричности. Ее элементы симметрии — ось второго порядка и перпендикулярная к ней плоскость симметрии, т.е. эта система представляет собой точечную группу Сы. Зто есть симметрия, которой обладает прямой параллелепипед с произвольным 442 (гл. хгп СИММЕТРИЯ КРИСТЛЛЛОВ основанием. Решетка Бр авэ этой системы может осуществляться двумя способами. В первом случае — так называемая простая моноклинная решетка Бравэ (Г„) — узлы расположены в вершинах прямых (в направлении Ь) параллелепипедов с произвольным параллелограммом в качестве грани ас (рис.
56). Во 4" 4 уг' г" Рис. 56. втором случае — решетка с центрированными основаниями (Г~)— узлы расположены не только в вершинах, но и в центрах противоположных прямоугольных граней параллелепипедов. 3. Р о м б и ч е с к а я (или о р т о г о н а л ь и а я) с и с т е и а соответствует точечной группе,0,„. Это есть симметрия прямоугольного параллелепипеда с произвольными длинами ребер. К ромбической системе относятся четыре вида решеток Брава. В простой ромбической решетке (Г,) узлы расположены в вершинах прямоугольных параллелепипедов.
В решетке с центрированными основаниями (Г3) узлы находятся также в центрах двух противоположных граней каждого параллелепипеда. Далее, 443 % 13О) кгистйллнчзския снстзмы в объемноцентрированной решетке (Г~~ узлы находятся в вершинах и центрах параллелепипедов и, наконец, в гранецентрированной решетке (Г~) узлы находятся, кроме вершин, также и в центрах всех граней. 4, Тетрагональная (или квадратная) система представляет собой точечную группу В,»; это есть симметрия, которой обладает прямая призма с квадратным основанием. Решетки Бравэ этой системы могут осуществляться двумя способами. Именно, существуют простая и объемноцентрнрованная тетрагональные решетки Бравэ (обозначаемые соответственно как Гч и Г') с узлами, расположенными соответствейно по вершинам и по вер- 7 ~ / х х шинам и центрам прямых призм с квадратными основаниями.
5. Ромбоэдрическ ая (или три- ч х х 7 х гон альп а я) систе ма соответствует точечной группе )у,з; такой симметрией обладает ромбоэдр (фигура, получающаяся при растяжении или сжатии куба вдоль его пространственной диагонали). В един- г к х х к х х х х ственной возможной в этой системе ре- ф- — ф- — -Я. щетке Бравэ (Г,„) узлы расположены в ч ~„~ х х У вершинах ромбоэдров. 7"',4М 6. Гексагон альп ая система соответствует точечной группе .Р,„; такой Рис.
57. симметрией обладает правильная шестигранная призма. Решетка Бравэ этой системы (Гь) может быть осуществлена только одним способом — ее узлы расположены в вершинах правильных шестигранных призм и в центрах их шестиугольных оснований. Полезно указать на следующее различие между ромбоэдрнческой и гексагональной решетками Бравэ. И в той и в другой узлы расположены в плоскостях, перпендикулярных к оси 6-го (или 3-го) порядка, таким образом, что образуют сетку из равносторонних треугольников.
Но в гексагональной решетке в последовательных (вдоль оси С,) таких плоскостях узлы расположены непосредственно друг над другом (на рнс. 57 эти плоскости изображены в плане). В ромбоэдрической же решетке в каждой следующей плоскости узлы расположены над центрами треугольников, образованных узлами предыдущей плоскости (кружки и крестики на рис. 57). 7. Куб ическ ая система соответствует точечной группе О„; это есть симметрия куба. К этой системе относятся три типа решеток Бравэ: простая кубическая (Г,), объемноцентрированная (Г;) и гранецентрированная (Г~). В последовательности систем триклинной, моноклинной, ромбической, тетрагональной и кубической каждая обладает большей 444 ~гл.
Хп! СИММЕТРИЙ КРИСТАЛЛОВ симметрией, чем все предыдущие. Другими словами, каждая следующая из них содержит в себе все элементы симметрии, содержащиеся в предыдущих. Ромбоэдрическая система обладает в том же смысле симметрией более высокой, чем моноклинная, и в то же время более низкой, чем симметрия кубической и гексагональной систем: ее элементы симметрии содержатся и в той и в другой. Наиболее симметричными являются именно эти две последние системы. Укажем еще на следующее обстоятельство. На первый взгляд могло бы показаться, что возможны еще некоторые типы решеток Брава, кроме перечисленных четырнадцати. Так, если к простой тетрагональной решетке присоединить еще по узлу в центрах Рис. 89.
Рис. 88. противоположных квадратных оснований призм, то решетка имела бы при этом по-прежнему тетрагональную симметрию. Легко, однако, видеть, что мы при этом ве получили бы новой решетки Брава. Действительно, соединив узлы такой решетки указанным на рис. 58 (пунктирными линиями) способом, мы увидим, что новая решетка является по-прежнему простой тетрагональной. Легко убедиться, что то же самое имеет место и во всех других подобных случаях.
Параллелепипеды решетки Бравэ, изображенные на рис. 56, сами по себе обладают всеми элементами симметрии той системы, к которой они относятся. Необходимо, однако, иметь в виду, что во всех случаях, за исключением только простых решеток Бравэ, эти параллелепипеды не являются элементарнымн ячейками: периоды, на которых они построены, не являются основными. В качестве основных периодов в гранецентрированных решетках Брава можно выбрать векторы из какой-нибудь вершины параллелепипеда к центрам граней; в обьемноцентрированной — из вершины в центры параллелепипедов н т.п.
На рис. 59 изображены элементарные ячейки для кубических решеток 1Ч и Г",; эти ячейки представляют собой ромбоэдры и отнюдь не обладают сами по себе всеми элементами симметрии кубической системы. Очевидно, что обьем Ог гранецентрированного й !ЗП 445 КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ КЛАССЫ параллелепипеда Бравэ в 4 раза больше объема элементарной ячейки: с = 4р; объемы же объемиоцентрированного параллелепипеда и параллелепипеда с центрированными основаниями равны удвоенным объемам элементарной ячейки: с,=2р, с„= 2о.
Для того чтобы полностью определить триклинную решетку Бравэ, необходимо указать шесть величин: длины ребер ее параллелепипедов и углы между ними; в моноклинной достаточно уже четырех величин, так как два из углов между ребрами всегда прямые, н т. д. Аналогичным образом легко найти, что решетки Бравэ различных систем определяются следующим числом величин (длин ребер параллелепипедов или углов между ними): Ромбоадрическая .. 2 Гексагональнан . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
