landafshic_tom5_statfiz_Ch1 (1083899), страница 90
Текст из файла (страница 90)
Аналогичная формула ч~~~ игь' = о' ~р ~6 (к — Ь) (!33,10) прямо следует из (133,9) ввиду взаимного характера связи между прямой и обратной решетками. й 134. Неприаодимые представления пространственных групп Физические применения теории симметрии обычно связаны с использованием математического аппарата так называемых представлений групп. В этом параграфе мы остановимся на вопросе о классификации и методе построения неприводимых представлений пространственных групп ').
Предварительно снова подытожим, в более математических терминах, изложенные в предыдущих параграфах сведения о структуре пространственных групп. Каждая пространственная группа содержит подгруппу трансляций, заключающую в себе бесконечное множество всех возможных параллельных переносов, совмещающих решетку саму с собой„эта подгруппа и представляет собой с математической точки зрения то, что называется решеткой Бравэ кристалла. Полная пространственная группа получается из этой подгруппы добавлением и элементов симметрии, содержащих вращения и з) Расходимость суммы при г=а связана с бесконечностью решетки.
При рассмотрении решетки большого, ио конечного объема значение суммы при г=а надо полагать равным числу М ячеек в решетке. ') Предполагается знание читателем теории групп в объеме, содержащемся, например, в П)„глава ХП. (133,7) до начала координат есть 2пт)Ь, где Ь есть длина дан- ного вектора обратной решетки. Для следующей плоскости это расстояние есть 2и(т+1)!Ь. Расстояние же г( между этими дву- мя плоскостями есть (гл. хгн СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ отражения, где п †чис преобразований симметрии соответствующего кристаллического класса; эти элементы будем называть аолоролгнылси. Всякий элемент пространственной группы можно представить как произведение одной из трансляций на один из поворотных элементов ').
Если пространственная группа не содержит винтовых осей и плоскостей скольжения (симморфная группа), то в качестве поворотных элементов можно выбрать просто и преобразований симметрии †вращен и отражений †кристаллическо класса. В несимморфных же группах поворотные элементы представляют собой вращения и отражения с одновременным переносом на определенную долю одного из основных периодов решетки. Для ясной характеристики элементов пространственной группы удобно обозначать их символами (Р~1), где Р— какое-либо вращение или отражение, а 1 — вектор одновременной трансляции; при воздействии на радиус-вектор г какой-либо точки: (Р~1) г= Рг+1.
Перемножение элементов происходит по очевидному правилу (Р'(1') (Р(1) = (Р'Р~Р'1+ 1'). ((З4,1) Элемент, обратный элементу (Р~1), есть (Р)1) '=(Р г~ — Р г1); при умножении на (Рф) он дает единичный элемент группы (Е~О) (где Š— символ тождественного поворотного преобразования). В частности, чистые трансляции изображаются символом (Е~а), где а — какой-либо из периодов решетки. Поворотные элементы в симморфных группах, выбранные указанным выше образом, являются элементами вида (Р~О). В несимморфных же группах поворотные элементы имеют вид (Р~т), где т — та доля периода решетки, на которую происходит перенос в винтовой оси или плоскости скольжения. В первом случае совокупность поворотных преобразований (Р~О) сама образует подгруппу пространственной группы.
Во втором же случае элементы (Р~т) сами по себе не образуют подгруппы„поскольку повторное их применение приводит не к тождественному преобразованию, а к трансляции на один из основных периодов решетки. Вращения же и отражения Р как таковые (т. е. если не различать простые и винтовые оси, простые плоскости симметрии и плоскости скольжения) всегда составляют группу — точечную группу симметрии, г) Отметим, что подгруппа трансляций — абелееа (нсе ее элементы коммутатнаиы между собой), и что она представляет собой нормальный делительнсей простраистаеииой группы: асе элементы группы, сопряженные с трансляциями, тоже являются трансляциями (напомним, что даа элемента Л и В называются сопряженными, если А=С-гВС, где С вЂ” тоже элемент группы.
й 1341 ннпниводимын пнндстлвлкнии пностнлнствннных гнупп 455 определяющую кристаллический класс; эту точечную группу удобно называть в данном аспекте группой направлений решетки '). Обратимся к построению неприводимых представлений пространственных групп '). Всякое такое представление может быть осуществлено набором функций вида ф~ = имхе ~эт (134,3) где К вЂ” постоянные нолновые векторы, иь„— функции, инвариантные относительно трансляций; индекс а= 1, 2, . нумерует функции с одинаковыми М.
В результате параллельного переноса г — г+а (где а — какой-либо период решетки), функции (!34,3) умножаются на постоянные е'"'. Другими слонами, в осуществляемом функциями (134,3) представлении матрицы трансляций диагональны. Очевидно, что два вектора К отличающиеся на какой-либо период обратной решетки Ь, приводят к одинаковому закону преобразования функций фк„при трансляциях: поскольку аЬ вЂ” целое кратное от 2п, то ехр((аЬ)=1. Такие векторы )с мы будем называть эквивалентными. Если представлять себе векторы Ь проведенными из першины ячейки обратной решетки в различные ее точки, то все неэквивалентные векторы исчерпываются одной элементарной ячейкой. При воздействии же поворотного элемента симметрии (Р~т) функция фк„преобразуется в линейную комбинацию функций фк с различными а н вектором к', получающимся из Й посредством данного вращения или отражения, произведенного н обратной решетке: (с' = Рй з).
Совокупность всех (неэквиналентных) векторов М, получающихся друг из друга при воздействии всех и поворотных элементов группы, называют звездой волнового вектора М. В общем случае произвольного й его звезда содержит п векторов (лучей). В число функций фк базиса неприводимого представления должны во всяком случае войти функции со всеми лучами звезды: поскольку функции с неэквивалентными (с умножаются при трансляциях на различные множители, то никаким з) Во всех случаях связь между пространственной группой и группой направлений можно сформулировать с групповой точки зрения следующим образом. Распределим все элементы пространственной группы по л смежным классам, каждый из которых содержит бесконечное множество произведений одного нз поворотных элементов на все возможные трансляции, т.
е. все элементы вида (Р~т+а) с ззданными Р и т. Если теперь рассматривать каждый из смежных нлассов целиком как элемент ионой группы, то мы получим так называемую фоюпор-группу исходной пространственной группы. Этв фактор-группа изоморфна группе направлений. ') Излагаемые ниже соображения принадлежат Зейтяу (Р. Лема, 1936).
') Для преобразования вектора К в обратной решетне, разумеется, все осн и плоскости симметрии следует рассматривать как простые, т. е. надо рассматривать лишь группу направлений. 456 [гл. хгп СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ выбором их линейных комбинаций нельзя добиться уменьшения числа преобразукяцнхся друг через друга функций. При определенных значениях К число лучей в его звезде может оказаться меньшим чем п, так как может оказаться, что некоторые из поворотных элементов симметрии не меняют к или превращают его в эквивалентный.
Так, если вектор й направлен вдоль оси симметрии, то он ие меняется при поворотах вокруг этой оси; вектор й, проведенный из вершины в центр элементарной ячейки (й=-Ь;/2, где Ь вЂ” один из основных периодов обратной решетки), при инверсии превращается в эквивалентный ему вектор — й = — Ь,/2 = 1с — Ь,. Совокупность поворотных элементов симметрии (рассматриваемых все как простые вращения или Отражения Р), входящих в данную пространственную группу и не меняияцих вектора к (или превращающих его в эквивалентный), называют группой собси Ленной симмелтрии вектора (с или просто группой волнового вектора; она представляет собой одну из обычных точечных групп симметрии.
Рассмотрим сначала простейший случай симморфных пространственных групп. Функции базиса неприводимого представления такой группы могут быть представлены в виде произведений Чьи = Пофм (! 34,4) где функции и„инвариантны относительно трансляций, а фк— линейные комбинации выражений е'к' (с эквивалентными инварнантные относительно преобразований группы собственной симметрии вектора к; вектор (г в (134,4) пробегает все значения своей звезды. При трансляциях функции и„не меняются, а функции фк (а с ними и ~рьи) умножаются на ехр (ка. При вращениях и отражениях, входящих в группу Ы, не меняются функции фк, а функции и преобразуются друг через друга. Другими словами, функции а„осуществляют какое-либо из неприводимых представлений точечной 1руппы (о которых говорят в этой связи как о мплых и/тедставленпях).
Наконец, поворотные элементы, не входящие в группу й, преобразуют друг через друга наборы функций (134,4) с неэквивалентными (г. Размерность построенного таким образом представления пространственной группы равна произведению числа лучей в звезде й иа размерность малого представления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
