landafshic_tom5_statfiz_Ch1 (1083899), страница 94
Текст из файла (страница 94)
1П, Э97). Если вырожденная частота отвечает некоторому неприводимому представлению ):у, то этн правила определяются разложением антисимметричной части его прямого произведения самого на себя: (Р'); отличные от нуля матричные элементы существуют, если это разложение содержит в себе части, по которым преобразуются компоненты вектора. Расщепление заведомо будет второго порядка по бк, если точечная группа симметрии решетки (кристаллический класс) содержит центр инверсии; это очевидно уже из того, что квадратичный базис представления (ЕМ) заведомо четен относительно инверсии, между тем как компоненты вектора меняют знак при этом преобразовании. Если же кристаллический класс не содержит инверсии, то возможны оба случая.
Так, для кристаллического класса О антнсимметричные произведения самих на себя для двумерного неприводимого представления Е и трехмерных представлений г', и г',') (Еа) = А„Щ = Щ = г, +ге. Компоненты же вектора преобразуются по Р;, поэтому расщепление двукратно вырожденной частоты будет второго, а трех- кратно вырожденных — первого порядка по бк. а) Оаоаначеннн непрнеоднмых предстаеленна точечныхгрупп — см. 1ц,йэб. 470 ггл. хгп сяммктгия кгистяллои Обратимся к колебаниям с отличным от нуля волновым вектором.
Их классификация в случае симморфных пространственных групп производится так же, как н в описанном выше случае к = О. Неприводимые малые представления совпадают здесь с непрнводимыми представлениями точечной группы симметрии вектора К а для нахождения колебательного малого представления надо по-прежнему рассматривать атомы только в одной элементарной ячейке. Продемонстрируем эту процедуру на примере оптических колебаний решетки алмаза. Гранецентрированной решетке Брава этой структуры отвечает объемноцентрированная кубическая обратная решетка. В точке к = О !вершина кубической ячейки) собственная симметрия волнового вектора в Оа, и имеется !как было выяснено выше) одна трехкратно вырожденная частота оптических колебаний, отвечающая представлению Р,х; характеры этого представления '): Е ЗСз ЗС; бо' 65, 1 63, Зо 6Сз 6С, Ед:ЗΠ— ! ! — !ЗО Проследим за расщеплением этой частоты при выходе из точки й= О.
Прн смещении вдоль пространственной диагонали кубической ячейки вектор й приобретает собственную симметрию Сею По отношению к этой группе представление, осуществляемое теми же тремя колебательными координатами, приводимо: Е 2С, Зо' З О ! =В+А„ т. е. трехкратно вырожденная частота расщепляется на одну двукратно вырожденную н одну невырожденную. Такого же типа расщепление произойдет при смещении вдоль ребра кубической ячейки, где собственная симметрия волнового вектора — С,„: Е С, 2С, 2п 2о' 3 — ! — ! — ! ! =Е+В.
При смещении вдоль диагонали грани кубической ячейки собственная симметрия вектора к понижается до С,„и расщепление частот полное: Е С, и о' 3 ! — ! ! = Аз+Аз+ Ва. т) Перечислены сначала элементы сямметрин, входящяе в точечную группу та, а затем — элементы, получающиеся умножением предыдущих на инверсию д Элементы ЗС, †поворо на угол м вокруг осей, проходящих через ребра кубической ячейки; 6Сэ — повороты на я вокруг диагоналей граней кубической ячейки: бп' †отражен в плоскостях, проходящих через противоположные ребра кубяческой ячейки; Зп †отражен в плоскостях, совпадающих с гранямн ячейки.
$137] стггктгеы с одно- и дюмканой пкгподичностью 471 Для кристаллических решеток несимморфных пространственных групп процедура классификации нормальных колебаний более громоздка, и мы на этом останавливаться ие будем '). $137. Структуры с одно- и двумерной периодичностью Характерной особенностью твердых кристаллов является трехмерная периодичность функции плотности р(к, у, г), простирающаяся на неограниченные расстояния. Рассмотрим вопрос о возможности существования в природе тел, у которых функция плотности была бы периодична лишь в одном или двух измерениях ()т. Ре~егЬ, 1934; Л. Д. Ландау, 193?). Так, тело с р=р(к) можно было бы представлять себе как состоящее из правильным образом расположенных друг относительно друга параллельных плоскостей (перпендикулярных к оси х), в каждой из которых, однако, атомы расположены беспорядочным образом.
При р=р(х, у) атомы были бы расположены беспорядочным образом вдоль линий (параллельных оси г), в то время ка4с сами эти линии располагались бы правильным образом друг относительно друга. Для исследования поставленного вопроса рассмотрим смещения, испытываемые малыми участками тела в результате тепловых флуктуаций.
Ясно, что если такие смещения будут неограниченно возрастать с увеличением размеров тела, то это автоматически приведет к «размыванию» функции р, т. е. возникнет противоречие со сделанным предположением. Другими словами, могут осуществляться лишь такие структуры, для которых среднее смещение остается конечным при сколь угодно болыпих размерах тела. Проверим прежде всего, что это условие выполняется для обычного кристалла. Обозначим посредством н(х, у, г) вектор флуктуационного смещйния малого участка с координатами к, у, г и представим его в виде ряда Фурье н = ~~~„нк е "м, (137,1) причем компоненты вектора й пробегают как положительные, так и отрицательные значения, а коэффициенты нк связаны соотношениями н к = пк, следующими из вещественности и.
В ряде (137,1) будут присутствовать лишь члены с не слишком большими волновыми векторами (й(1?с(, где с( — линейные размеры смещающегося участка). Будем рассматривать флуктуации т) Г[рнмеры, относящиеся к таким группам, можно найти в укааанной на стр. 458 книге Г..т. Бира н Г. Е. Пикуса. (гл. хш симмвтгяя ЯРястлллов Ьг', ~ (г — тс) !Лу (! 37,3) есть изменение полной сиободной энергии тела при флуктуации, а Р обозначает теперь свободную энергию, отнесенную к единице объема тела (ср. (116,7)). Для вычисления Лг„надо разложить г — г по степеням смещения.
При этом в разложение войдут не сама функция н (х, у, г), а лишь ее производные, поскольку разность г — г должна обращаться в нуль при н = сопз(, что соответствует простому смещению тела как целого. Далее очевидно, что линейных по производным членов в разложении не может быть: в противном случае г" не могло бы иметь минимума при Я=О. Далее вследствие малости волновых векторов (с в разложении свободной энергии можно ограничиться членами, квадратичными по первым производным от н, пренебрегая членами, содержащими производные высших порядков. В результате найдем, что Лг„имеет вид М„= — уЧ~ ливиИы(й„, )та, й,), ! (137,4) гДе элементы веЩественного тензоРа ~уы (1', 1 — тензоРные индексы, по которым подразумевается суммирование) — квадратичные функции компонент вектора (с ').
Согласно (111,9) находим отсюда для средних квадратичных флуктуаций фурье-компонент вектора смещения <иски(к> = — <рп' (йл, й„, й,), <и;ьиж > = О при к' Ф вЂ” 11, (137,5) где «р, — компоненты тензора, обратного тензору юы '). Для большей наглядности представим это выражение в вйде Т Ап(п) <и!хи)ь> = — —, (137,6) где величины Аы зависят только от направления вектора (и = (с)й). Средние значения <и;и,> получаются из (137,6) сумми- т) члены с пронзведеннямн иски!ь,ехр(1(а+к) г) с к' ж' — )с исчезают прн ннтетрнрованнн по объему. т) для установлення общего численного коэффициента в (!37,3) надо учесть, что каждое произведение и,ьи)1, входит в (137А) дважды (* 1с), давая 2 йе (и!ни)ь), а вещественная часть произведения и,ки)к сама есть сумма двух независимых пронзведеннй.
при постоянной температуре; их вероятность определяется тогда формулой ти ехр( — 1зр,)Т), (137,2) где 'й 1371 стггкттгы с одно- н двьмегной пвпиодичпостью 473 рованием пой; перейдя обычным образом от суммирования по и к интегрированию, получим, например, для среднего квадрата вектора смещения (!37,7) Этот интеграл сходится на нижнем пределе (к 0) как первая степень й'). Таким образом, средний квадрат флуктуациониого смещения оказывается, как и следовало, конечной величиной, ие зависящей от объема тела.
Рассмотрим далее тело с функцией плотности р=р(х). Поскольку в направлениях осей у и г в таком теле р=сопз(, то никакое смещение вдоль этих осей ие может «размазать» функцию плотности, а потому не представляет для нас интереса. Надо, следовательно, рассмотреть только смещение и„. Далее легко видеть, что первые производные ди„/ду, ди„)дг вообще не могут входить в разложение свободной энергии: если повернуть тело как целое вокруг оси у или г, то эти производные изменятся, между тем как свободная энергия должна, очевидно, остаться неизменной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
