landafshic_tom5_statfiz_Ch1 (1083899), страница 95
Текст из файла (страница 95)
Таким образом, в разложении Р— Р надо рассмотреть следующие квадратичные по смещению члены: (производные по у и г должны входить в симметричной комбинации ввиду полной симметрии в плоскости у, г). При подстановке в (137,3) они дадут соответственно члены вида (и,ь1«А», 1и;е1» й„хе, 1и ь1» х', где ха=ил+да,. Хотя последние два выражения содержат более высокие степени компонент волнового вектора, чем первое, но они могут быть одинакового порядка величины с ним, поскольку об относительной величине й„и х заранее ничего не известно.
Таким образом, изменение свободной энергии будет иметь вид ЬР„=-у~~э' ~ и„ь 1»<р(й„, х'), (137,8) где <р — квадратичная функция переменных й„и х'. Вместо (137,7) будем теперь иметь 1) Напомннм, что написанный внд повынтегрального аыралсеннн относнтсн лнюь к не слюнкам болыннм аначеннвм В. 474 [гл. хги симмктвия квиствллов Но этот интеграл логарифмически расходится при й — О. Расходимость среднего квадрата смещения означает, что точка, к которой относится определенное значение р(х), может смещаться на очень большие расстояния; другими словами, плотность р(х) «размажется» по всему телу, так что никакая функция р(х) (кроме тривиальной р = сопз() не оказывается возможной.
Аналогичные рассуждения в случае тела с р= — р(х, у) приводят к следующему выражению для средних квадратов смещения: (137, 1О) где снова ф — квадратичная функция своих аргументов. Этот интеграл, как легко видеть, сходится на нижнем пределе, так что среднее флуктуационное смещение остается конечным. Таким образом, тела с такой структурой могли бы в принципе существоватгя неизвестно, однако, существуют ли они фактически в природе. До сих пор в этом параграфе речь шла о трехмерных телах, и лишь упорядоченность расположения атомов в них предполагалась двух- (или одно-) мерной. Рассмотрим теперь вопрос о возможности упорядоченного расположения атомов в двумерных системах с атомами, заполняющими лишь некоторую поверхность'), Двумерным аналогом обычных твердых кристаллов являлась бы пленка, в которой атомы расположены правильным образом в узлах плоской решетки. Это расположение могло бы быть описано функцией плотности р(х, у) (имеющей теперь другой — по сравнению с рассмотренным выше случаем — смысл, так как рассматриваются только атомы на одной поверхности г=сопз().
Легко, однако, видеть, что тепловые флуктуации «размывактг» такой кристалл, так что единственной возможностью оказывается р=сопз(. Действительно, средние значения произведений компонент флуктуационного смещения и (в плоскости х, у) определяются снова формулами вида (137, б — 7) с той разницей, что интегрирование будет теперь производиться по двумерному к-1тространству: <и;и,> = Т ') (137,11) и интеграл логарифмически расходится при й — О.
Здесь необходимо, однако, сделать следующую оговорку. Полученный результат означает лишь, строго говоря, что флуктуационное смещение обращается в бесконечность при неограниченном возрастании размеров (площади) двумерной системы (что допускает рассмотрение сколь угодно малых значений вол- ») Таковыми явля»»тон моиомолекулярные адсорбционные пленки, расположенные на границе между двумя изотропными фазами — см. 4 !59. й 138! коггкляциоинля агнкция в дюмигных систимах 475 нового вектора). Но ввиду медленного (логарифмического) характера расходимости интеграла размеры пленки, при которых флуктуации остаются еще малыми, могут оказаться довольно большими ').
В таких случаях пленка конечных размеров могла бы практически проявлять «твердо-кристаллические» свойства, и для нее можно было бы приближенно говорить о двумерной решетке. Мы увидим в следующем параграфе, что эти свойства двумерных систем еще усиливаются при понижении температуры. $138.
Корреляционная функция в двумерных системах Выражение (137,11) определяет средний квадрат флуктуационного смещения в каждой заданной точке двумерной кристаллической системы. Более глубокое понимание свойств таких систем может быть достигнуто путем рассмотрения функции корреляции между флуктуациями в различных точках системы. Прежде всего заметим, что при Т= О двумерная решетка вполне могла бы существовать при любых размерах: расходимость интеграла (137,11) связана именно с тепловыми (Т~ О) флуктуациями; пусть р,(г) — функция плотности этой системы при Т=О').
Определим теперь корреляционную функцию флуктуаций плотности при конечных, но достаточно низких температурах (малых по сравнению с дебаевской). В этих условиях в решетке возбуждены лишь длинноволновые колебания; другими словами, изменение функции плотности определяется в основном длинноволновыми флуктуациями. Пусть атомы в точках г решетки испытывают флуктуационные смещения п(г). Если функция и(г) мало меняется на расстояниях порядка постоянной решетки (что соответствует интересующим нас флуктуациям с малыми волновыми векторами), то изменение плотности в каждой точке пространства можно рассматривать как результат просто сдвига решетки на величину, равную местному значению вектора смещения.
Другими словами, флуктуирующая плотность запишется как р (г) = р,[г — и (г)1, а корреляция между ее флуктуациями в различных точках г, и г, определяется средним значением (Р (г,) Р (г,)> = <Рь [г, — и (гг)1 Р„[г, — и (г,)]>, (138,1) Разложим периодическую функцию р, (г) в ряд Фурье (ср. (133,2)): р, (г) = р +,5, рьег ь" (138,2) ьчьо т) То же самое относи~ся к трехмерным телам с одномерной периодичностью, для которых интеграл (!37,9) расходится логарифмически. ') Здесь и ниже и атом параграфе г=(х, у) — двумерный радиус-вектор в плоскости системы. СИММЕТРИИ КРИСТДЛЛОВ (гл.
хш где Ь вЂ векто обратной решетки (плоской); из суммы выделен постоянный член р. При подстановке этих рядов в (138,1) и усреднении члены с произведениями рьрь с Ь'Ф вЂ” Ь, как мы увидим ниже, выпадают. Произведение же с Ь' = — Ь дает в (138,1) вклад ) рь)э ехр [1 Ь (г,— г,Ц <ехр [ — 1 Ь (и,— И,Ц> (138,3) (для краткости пишем п(г,) =п„п(г,)=п,). Распределение вероятностей для флуктуаций вектора смещения дается формулой (137,2) в которой Лг"„— квадратичный функционал от п(г). Если рассматривать значения п(г) в различных (дискретных) точках пространства как различные флуктуирующие величины и,(а= 1, 2, ...), то это значит, что распределение вероятностей для них — гауссово.
Тогда можно воспользоваться для усреднения в (138,3) формулой ~' 1 <ехр (а,х,)> = ехр, — а,аь <х,хь>) (см. задачу к 3 111), что дает <ехр [ — 1 Ь (и,— И,Ц>=ехр ( — — Ьбгуи ~, (138,4) 1 где )(гг (г) <(иа — им) (и„— цз)> = 2 <ци,> — <ц,и„> — <ц,им> (г=г,— г,). Остается подставить сюда и, и и, в виде разложений (137,1). Заметив при этом, что средние значения <им им> равны нулю при и'чь — (с, а при к'= — й даются выражениями (137„11), получим )(ц(г)=Т~ — ", 2(1 — соз1сг), . (138,5) Г Аи(п) г'дл ада Этот интеграл сходится при малых я, поскольку множитель (1 — созЙг)азиз при й — От). Со стороны же больших значений й интеграл логарифмически расходится.
Эта расходимость связана в действительности лишь с неприменимостью использованных приближений при больших и: при й~)з,„,гэсй „„Т (с — скорость звука; см. 3 110) флуктуации перестают быть классическими (при низких температурах это условие нарушается раньше, чем условие й((1/а, где а — постоянная решетки). Замечая также, г) Проследив за происхождением этого множителя, заметим, что он возник в результате равенсгва Ь'= — Ь в (133,3). Легко убедиться, что при Ь' ~ — Ь сокращения в подынтегральиом выражении не происходит и интеграл расходится, Поскольку эти интегралы входят в показатель экспоненты (ср.
(133М)), то нх расходимость приводит к обращению в нуль соответствующих вкладов в корреляционную функцию. 4 1381 сяммвтвки по вгивитдцяи молвкгл 477 что при больших й член с быстро осциллирующим множителем соз)гг в подынтегральном выражении может быть опущен, находим )(гг (г) =- — Ап 1п (й,„г) (138,6) (черта над Ап означает усреднение по направлениям вектора )г в плоскости). Искомую корреляционную функцию мы получим теперь, подставив (138,6) в (138,3 — 4) и просуммировав по Ь; асимптотнческий закон убывания этой функции с расстоянием г определяется наименее быстро убывающим членом суммы: (р (г,) р (га)) — р' сто то соз Ьг, ав = — Ь,(т,ссо (138,7) ,'" Ь где в качестве Ь надо выбрать тот из основных периодов обратной решетки, для которого величина ав имеет наименьшее значение.
Таким образом, в двумерной решетке корреляционная функция хотя и стремится к нулю при г- оо (в противоположность трехмерной решетке, где она стремится к конечному пределу), но лишь по степенному закону, причем тем более медленному, чем ниже температура '). Аналогичные, хотя и несколько более громоздкие вычисления пряводят к закону такого же типа и для корреляционной функции в трехмерной системе с функцией плотности р(х).
Напомним для сравнения, что в обычной жидкости корреляционная функция убывает по гораздо более быстрому, зкспоненциальному, закону (см, $ 116). $ !39. Симметрия по ориентации молекул Условие р= сопя( есть необходимое, но отнюдь не достаточное условие изотропности тела. Это ясно видно из следующего примера. Представим себе тело, состоящее из молекул удлиненной формы, причем все положения в пространстве молекулы квк целого (ее центра инерции) равновероятны, но оси молекул ориентированы преимущественно в одну сторону. Ясно, что такое тело будет аннзотропным, несмотря на то, что для каждого из входящих в состав молекулы атомов будет р = сопи(. Свойство, о симметрии которого при этом идет речь, можно сформулировать как взаимную корреляцию между положениями т) Корреляционная функция такого вида была найдена Рейсом (т. м, дчсс, !995) для другого двумерного объекта (двумерного еверкнроводника), а для двумерной решетки — В.
Л. Березинским ((9т™(). [гн. Хгп симметРия книсталлов различных атомов. Пусть р,«ЛГ» есть вероятность нахождения атома 2 в элементе объема йУ» при заданном положении атома 1 (при этом обычно речь идет об атомах различного сорта); р„есть функция от координат г, и г, двух атомов, и свойства симметрии этой функции определяют симметрию тела (у которого р=сопз[). Постоянство функции плотности р означает, что перемещение частей тела друг относительно друга (без изменения их объема) не приводит к какому-либо изменению равновесного состояния тела, т. е.
изменению его термодинамических величин. Это есть как раз то свойство, которое характеризует жидкости (как и газы). Поэтому тела с р=сопз[ и анизотропной функцией корреляции р„представляют собой определенную категорию жидких кристаллов — анизотропных текучих тел. С более наглядной точки зрения это тела с анизотропным распределением молекул по их ориентации в пространстве. В смысле симметрии этого распределения возможны две категории случаев. В одной из них (так называемые нематические жидкие кристаллы) корреляционная функция зависит только от разности г„= г,— г,; при изменении длины вектора г„и сохранении его направления она не обнаруживает никакой периодичности (хотя и может испытывать колебания, затухающие по мере увеличения г„). Другими словами, такая функция не имеет трансляционной симметрии, и ее группа симметрии может складываться лишь из различных поворотов и отражений, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
