landafshic_tom5_statfiz_Ch1 (1083899), страница 91
Текст из файла (страница 91)
Таким образом, задача о нахождении всех неприводимых представлений снмморфных пространственных групп полностью сводится к классификации векторов (г по их собственной симметрии и к известной задаче об отыскании неприводимых представлений конечных точечных групп. Обратимся теперь к пространственным группам с винтовыми осями или плоскостями скольжения. Наличие таких элементов $1341 нипвиводнмыи паидстлвлиния пиостэанствинных гагин 457 симметрии все еще остается несущественным, если волновой вектор й при всех преобразованиях нз его группы вообще не меняется (т.
е. не переходит в эквивалентный) '). В таких случаях соответствующие неприводимые представления по-прежнему осуществляются функциями вида (134,4), в которых и„образуют базис представления точечной группы вектора и. Единственное отличие от случая симморфных групп будет состоять в том, что при поворотных преобразованиях функции «рк = ехр (иг в (134,4) не остаются неизменными, а умножаются на ехр((кт). Функции вида (!34,4) становятся, однако, непригодными, если существует несколько эквивалентных векторов («, переходящих друг в друга при преобразованиях группы их собственной симметрии.
При поворотном преобразовании, связанном с одновременным переносом т, функции ехр (кг с эквивалентными, но все же различными значениями к умножаются на различные множители (поскольку Ьт/2н — не целое число); поэтому их линейные комбинации «рк не будут преобразовываться через самих себя. В таких случаях раздельное рассмотрение поворотных элементов и трансляций уже невозможно. Однако из бесконечного множества трансляций достаточно включить в рассмотрение лишь конечное их число. Эти случаи возникают для векторов проведенных из вершины элементарной ячейки обратной решетки в некоторые выделенные точки внутри ячейки; координаты (все три, или некоторые из них) этих точек выражаются простыми рациональными частями основных периодов Ь„ Ь„ Ь,').
Назовем расширенной группой волнового вектора группу, составленную из поворотных элементов (вместе со связанными с ними трансляциями на доли периодов т) и из всех тех трансляций, для которых («а/2н †рациональн дробь (меньшая !); остальные же трансляции рассматриваются по-прежнему как тождественные преобразования. Функции «рк„, осуществлягощие неприводимые представления составленной таким образом конечной группы (малые представления), вместе с такими же функциями «рк других лучей из данной звезды («, осуществляют неприводимое представление пространственной группы. Отметим, что размерность малых представлений в этих группах достигает шести (в группах кристаллического класса 0„)*).
') К этой категории всегда относятся, в частности, вектор 1«=0 и вектор, эанимающнй общее положение, в котором единственным элементом его группы является тождественное преобразование. э) Фактически этн части бывают равными лишь 1/2, 1/3, 2/3 (последние два значения †группах ромбоэдрической и гексагональной систем). а) Если рассматривать представления расширенной группы волнового вектора как представлеияя иерасшнренной группы (одна иэ точечных групп), то соотношения между матрииамя 6, представляющими элементы 0 группы, будут [гл. хш 458 СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ Продемонстрируем этот способ на конкретном примере. Рассмотрим пространственную группу )2,'ь, относящуюся к простой ромбической решетке Бравэ и содержащую следующие поворотные элементы '): (Е[0), (С;[0), (Са!0), (С;[0), (У[т), (о„!Т), (п„[т), (а,[с), где оси х, у, г направлены вдоль трех основных периодов решетки, а т=(а,+а,+а,)72 (оси симметрии С, простые, а перпендикулярные им плоскости а — плоскости скольжения).
Выберем например, вектор [с = (172, О, 0), (!34,5) где числа в скобках дают значения составляющих вектора по осям обратной решетки, измеренные в единицах длин ребер (Ь,=2п)аг) ее ячейки. Собственная симметрия этого волнового вектора содержит все оси и плоскости точечной группы й,з, так что этот вектор сам по себе составляет звезду. Расширенная группа получается добавлением трансляции (Е[а,), для которой [са)2п=172. В результате получим группу из!б элементов, распределенных по 10 классам, как показано в верхнем ряду табл. 2. В сопряженности (т. е. принадлежности к одному классу), например, элементов (Са«[ 0) и (Сй'[а,) можно убедиться следующим образом. Имеем (1 [ с) '(Сз[0) (! / с)=(1[ — т) (С" [О) (1[т)= = и [ — т) (Су [Сат) = (Сз[ — т+Сат).
Но Сзт = — ( — а,+а,— а,), С,"т — т= — а,— а,=-а,— (2а,+а,), 1 отличаться от соотношений между самими этими элементамн: если 0,0,=0, то соответствующие матрицы представления будут, в«юбще говоря, связанй между собой не таким же равенством 0»0,=0, (как в обычных представлениах), а равенством вида 0»0«=ю»»0», где ю„— некоторый фазовый множятель, равный единице лишь по модулю: [ю»»[=!. Такие представления называют праентивлыми. Все существенно различные проективные представле~шя могут быть раэ и навсегда перечислены для каждой из точечных групп, и затем использованы в качестве малых представлений при построении неприводимых представлений пространственных групп.
Изложение теории проектнвных представлений и таблицы проектнвиых представлений кристаллографическвх точечных групп можно найти в кинге: Г. Л. Бир, Г. Е. Ппнрс, Симметрия и деформациониые эффекты в полупроводниках, «Наука», 1972. Существуют также полные таблицы неприводимых представлений пространственных групп, которые можно найти в книгах: О. В. 7«оеалеа, Неприводимые представления пространственных групп, Нзд. АН УССР, Киев, 1961; С. 7.
Втаб!еу, А. Р. Сгасйла!1, Тйе ша11«еша1!са! 1Ьеогу о1 зупппесгу !п зо1гйз, С!агепбоп Ргем, Ох[оса, 1972. ') Пространственные группы прянято обозначать символом кристалличе. ского класса, дополненным верхним индексом — условным номером группы в данном нлассе. й 1341 нкпгнводнмык покдставлкння пвоствхнствкнных гоипп 459 Таблица 2 (о„( '«) (о„(«+ал (о («) (о ! «+а,) ми) «) (а («:а,) ()) «) () («+а,) (сД о) (в (а,) (е ( о) г г (Е~ а,) приписывается характер 1. Этн представления, однако, возникают здесь как «паразнтные» н должны быть отброшены.
Онн не соответствуют поставленному вопросу: функцнн нх базиса инвариантны по отношению ко всем трансляциям, между тем как функция ехр!1(г с данным 1( заведомо не инвариантна по отношению к трансляции (Е ! а,). Таким образом, остаются всего два непрнводнмых представления, характеры которых указаны в табл. 2. Функции базнса этих представлений могут быть выбраны в виде Г,: соз лх, з!и лх; Г,: соз лх зйп 2лу, з!и лхз!и 2лу (коордннаты х, у, г измеряются в единицах длин соответствующнх периодов а„а„а,). Рассмотрим еще представления, отвечающие звезде двух векторов 1( = (1(2, О, л), (1(2, О, — л) (134,6) с собственной симметрией С, (ось С,— вдоль осн г); здесь к — произвольное число между 0 н 1 (кроме 1(2). Расширенная группа к содержит восемь элементов, распределенных по пяти классам (табл.
3). (Завнснмость от г функций базиса представлений этой группы сводится к общему множителю ехр (2лйлг) нлн ехр( — 2л(мг), ннварнантному относительно всех преобразований группы; поэтому расширять группу трансляциями вдоль осн г не надо). Имеется четыре одномерных н одно двумерное непрнводнмые представления этой группы. Одномерные представлення должны быть отброшены по той же причине, что н в а поскольку трансляции на а, н на 2а, должны рассматриваться как тождественное преобразование, то (((т) '(С",) О) ((/т) =(С",!а,). По числу элементов н числу классов в группе находим, что она имеет 8 одномерных н 2 двумерных непрнводнмых представленнй (8 1'+ 2 2'= 16).
Все одномерные представления получаются нз представлений точечной группы а»,», причем трансляции 460 (гп. хп( снммкглия кгистдллои предыдущем случае, так что остается всего одно представление, характеры которого даны в табл. 3. Функции его базиса могут быть выбраны в виде их та(ихСОз и к Кх тк(нх 3!и ях со знаком плюс или минус в показателе, соответственно для первого и второго из векторов (134,6); полное неприводимое представление всей пространственной группы четырехмерно и осуществляется набором всех этих четырех функций. Таблица 3 (сг) о) (с*(а,) (Ох 1 т) (о )трао (о„( т> (о (теап (з (а> (и 1 а,) $136. Симметрия относительно обращения времени ') Но ато уже будет ие гак при наличии магнитного поля или и кристаапах с магнитной структурой.
В физических применениях теории групп симметрии на их представления обычно накладывается дополнительное требование: функции базиса представления должны быть вещественными (точнее †допуска приведение к вещественному виду). Это требование возникает как следствие симметрии по отношению к обращению времени. В квантовой механике в силу этой симметрии комплексно-сопряженные волновые функции должны отвечать одному и тому же уровню энергии квантовой системы и потому должны входить в число функций базиса одного и того же физически неприводимого представления (ср. 11!„5 96). В классической же теории эта симметрия выражается инвариантностью уравнений движения по отношению к замене г — г' (уравнения содержат производные по времени четного — второго — порядка).
Именно в результате этого уравнения для смещений и, атомов в решетке остаются вещественными, когда их решение ищется в комплексном ( е '"') виде (69,6); амплитуды этих выражений могут, следовательно, быть выбраны вещественными '). Вещественные функции базиса остаются, конечно, вещественными и в результате воздействия всех элементов симметрии; другими словами, вещественны и все матрицы представления группы. Если же некоторое неприводимое представление не й 1351 симметгнн относительно онглщнннн знамени 461 удовлетворяет этому требованию, то оно должно быть объединено с комплексно-сопряженным ему представлением в одно физически неприводнмое представление вдвое большей размерности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
