landafshic_tom5_statfiz_Ch1 (1083899), страница 89
Текст из файла (страница 89)
Все возможные пространственные группы распределяются по кристаллическим классам. Именно, каждая пространственная группа относится к тому классу, в котором совокупность осей и плоскостей симметрии та же, что и в пространственной группе, если в последней не делать различия между простыми и винтовыми осями и простыми н скользящими плоскостями. Всего оказываются возможными 230 различных простуанственных групп ').
Они были впервые найдены Е. С. Федоровым (1895 г.). Пространственные группы распределяются по классам следующим образом (табл. 1): Таблица ! Число групп Число групп Число групп Число групп Класс Класс Класс Класс 1 1 4 3 6 22 9 28 2 6 6 12 12 10 20 4 6 5 7 6 8 10 За с с,„ )9„ с Оа )уа» Са с, Сг с с с, с и Вал с Ра мал Т Т„ 14 О о, ха с 2) В с„ с ~а а) В том числе 1! пар пространственных групп, отличающихся друг от друга только направлением вращения вокруг своих винтовых осей. а) Полное описание пространственных групп можно яаати, например, в книге: Г. Я. Любарский, Теория групп и ее применения в физике (Приложение !У), Физматгиз, 1958 иля в «Интернациональных таблицах для определения кристаллических структур» (1и!егпа!!опа1 !аыез !аг Х-гау сгуз!а1!оагарау, Купал!т Ргезз, В!Ггп!Пх)тат, 1952). В последних перечислены также для каждоа пространственной группы все зквивалентиые точки.
Мы не станем приводить здесь перечисления элементов симметрии всех пространственных групп, которое было бы весьма громоздким. Его можно найти в специальных кристаллографических справочниках а). Пространственные группы, не содержащие винтовых осей нлн плоскостей скольжения, называют симморфными; всего существует 73 такие группы. Остальные 157 пространственных групп содержат указанные элементы симметрии. Отметим, что крнстал- 450 (гл.
хш СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ лические решетки, относящиеся к несимморфным пространственным группам, заведомо должны содержать по крайней мере два одинаковых атома в элементарной ячейке. Действительно, поскольку поворот вокруг винтовой оси, или отражение в плоскости скольжения связаны с переносом на долю основного периода, то такое преобразование не совмещает друг с другом узлы решетки Бравэ; кристаллическая решетка должна поэтому быть построена по крайней мере из двух вдвинутых друг в друга решеток Бравэ, заполненных одинаковыми атомами.
й 1ЗЗ. Обратная решетка Все физические величины, характеризующие свойства кристаллической решетки, обладают такой же периодичностью, как и сама решетка. Таковы, например, плотность заряда, создаваемая электронами атомов в решетке, вероятность нахождения атомов в том или ином месте решетки и т. и. Пусть функция У (г) представляет собой какую-либо из таких величин. Ее периодичность означает, что У (г + л,а, + п,а, + пза а) = У (г) (133,1) при любых целых а„а,„а, (а„а„а, — основные периоды решетки). Разложим периодическую функцию У (г) в тройной ряд фурье. Это разложение можно написать в виде У =~~.", Уье", ь (133,2) где суммирование происходит по всем возможным значениям вектора Ь.
Эти возможные значения Ь определяются из требования, чтобы функция (У, представленная в виде ряда (133,2), удовлетворяла условию периодичности (!33,1). Это значит, что все экспоненциальные множители не должны меняться при замене г на г+а, где а — любой из периодов решетки. Для этого необходимо, чтобы скалярное произведение аЬ было всегда целым кратным от 2п. Выбирая в качестве а последовательно основные периоды а„а„а„мы должны, следовательно, иметь а,Ь= 2лр„а,Ь= 2л:р„а,Ь= 2п р„ где р„р„р,— целые положительные илн отрицательные числа (включая нуль). Решение этих трех уравнений имеет вид Ь=р,Ь,+р,Ь,+р,Ь„ (133,3) где векторы Ь| определяются через а; посредством Ь, = — 1а,а,], Ь, = — 1а,а ], Ь, = — 1а,а,], о = а, [а,а,].
(133,4) й 1831 451 ОБРАтнАя Решетка Таким образом, мы определили возможные значения вектора Ь. Суммирование в (133,2) распространяется по всем целым значениям Р, Рэ )ээ. Геометрически произведение п=аэ[а,а1 представляет собой объем параллелепипеда, построенного на векторах а„ а„ а„ т. е. объем элементарной ячейки; произведения же (а,аэ1 и т. д. изображают площади трех граней этой ячейки. Векторы Ь; имеют, следовательно, размерность обратной длины, а по величине равны умноженным на 2п обратным высотам параллелепипеда, построенного на векторах а„ а„ а,.
Из (133,4) видно, что между Ь, и а; имеют место соотношения ( О, если 1 ~й, а~ЬА = ~ (133,5) Это значит, что вектор Ь, перпендикулярен к векторам а„ а, и аналогично для Ь„ Ь,. Определив векторы Ь„ мы можем формально построить решетку с основными периодами Ь„ Ь„ Ь,. Построенная таким образом решетка носит название обратной, а векторы Ь„ Ьэ, Ь, называются периодами (основными) обратной решетки').
Вычислим объем элементарной ячейки обратной решетки. Он равен и' = Ь, ('Ь,Ьэ1. Подставляя сюда выражения (133,4), находим (2п) э (2п)э и' = —,(а,аэ1 ааааа| (аэаД = ~ (1 аэаэ1 аэ) (1аааэ1 а,), или окончательно: (2п)э и' = —. (133,6) Очевидно, что ячейка обратной решетки триклинной решетки Брава тоже является произвольным параллелепипедом. Аналогично обратные решетки простых решеток Бравэ других систем тоже являются простыми решетками той же системы; например, обратная решетка простой кубической решетки Брава тоже имеет простую кубическую ячейку.
Легко, далее, убедиться при помощи простого построения в том, что обратная решетка гранецентрированных решеток Бравэ (ромбической, тетрагональной и кубической) представляет собой объемноцентрированную решетку той же системы; при этом объем параллелепипеда Брава обратной решетки п„'=8(2п)э/пу, где пу — объем параллелепипеда Бравэ ') Определение (133,4), принятое в современной физической литературе, отличается множителями 2п от определения, принятого в чистой ирнсталлография. СИММВТРЯЯ КРИСТАЛЛОВ (гл. хш прямой решетки.
Обратно, прямой объемноцентрированной решетке отвечает гранецентрированная обратная решетка, ирнчем снова о/= (2п)'8/о,. Наконец, для прямой решетки с центрирован- ными основаннямй обратная решетка тоже имеет ячейки с центрированиыми основаниями, причем о>=(2п)>4/о>. Как известно, уравнение вида Ьг=сопз(, где Ь вЂ” постоянный вектор, описывает плоскость, перпендикулярную к вектору Ь и находящуюся на расстоянии сопз(/Ь от начала координат.
Вь>- берем начало координат в каком-нибудь из узлов решетки Бравэ, и пусть Ь= р,Ь,+р,Ь, +р,Ь, есть какой-нибудь вектор обратной решетки (р„р„р,— целые числа). Написав также г в виде а= = п,а,+п,а, +п,а„ получаем уравнение плоскости вида Ьа/2п = п,р, + п,р, + и, р, = т, (133,7) где т — заданная постоянная. Для того чтобы это уравнение представляло собой плоскость, заполненную бесконечным множеством узлов решетки Брава (о таких плоскостях говорят, как о кристаллических), надо, чтобы оно удовлетворялось набором целых чисел п„п„п,. Для этого, очевидно, постоянная т тоже должна быть целой.
При заданных р„р„р, и пробегающей различные целые значения постоянной т уравнение (133,7) определяет, следовательно, бесчисленное множество кристаллических плоскостей, которые все параллельны друг другу. Каждому вектору обратной решетки соответствует определенное указанным способом семейство параллельных кристаллических плоскостей. Числа р„, р„р, в (133,7) можно представлять себе всегда взаимно простыми, т.
е. не имеющими общего делителя, за исключением единицы. Если такой делитель имелся бы, то можно было бы разделить на него обе стороны уравнения, причем получилось бы уравнение того же вида. Числа р„р„р, называются индексами Миллера данного семейства кристаллических плоскостей и обозначаются как (р,р,р,). Плоскость (133,7) пересекает осн координат (выбранные вдоль основных периодов а„а„а,) в точках та,/р,, та,/р„та,/р>.
Отношение длин отрезков (измеренных соответственно в единйцах а„а„а,), отсекаемых плоскостью от осей координат, есть ! . ! ! —: —: —, т, е. эти длины относятся обратно пропорционально Р> Р> Р> индексам Миллера. Так, индексы Миллера плоскостей, параллельных координатным плоскостям (т. е. отсекаюших от осей отрезки, относящиеся как оо:со:!), равны (100), (010), (001)— соответственно для трех координатных плоскостей. Плоскости, параллельные диагональной плоскости основного параллелепипеда решетки, имеют индексы (111) и т. д. Легко определить расстояние между двумя последовательными плоскостями одного и того же семейства.
Расстояние плоскости й 1341 икпниводямыи пиидстлвлаиня пгостгдистниииых ггнпп 453 зи о (133,8) Отметим полезную в применениях формулу ~~~~ ~нгьг о ~ б (! а) ь в (133,9) где суммирования справа и слева производятся соответственно по всем векторам прямой и обратной решеток. Сумма в правой стороне равенства †функц г, периодическая в прямой решетке; выражение слева — ее разложение в ряд Фурье' ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
