landafshic_tom5_statfiz_Ch1 (1083899), страница 93
Текст из файла (страница 93)
С учетом одной лишь пространственной симметрии это может произойти либо в изолированных точках обратной решетки, либо на целых прямых линиях (осях симметрии) в ней. Симметрии же относительно обращения времени может привести также и к вырождению (двукратному) на целых плоскостях в й-пространстве (Р. Нипс(, 1936; С. Негг(лд, 1937); согласно сказанному в предыдущем параграфе такое вырождение может иметь место на плоскостях, перпендикулярных к винтовой оси второго порядка (см. пример представлений, связанных со звездой (!35,2))»). Для того чтобы произвести классификацию нормальных колебаний конкретной кристаллической решетки, надо прежде всего найти полное колебательное представление пространственной группы, осуществляемое сразу всеми колебательными координатами (векторами смещения атомов).
Это представление приво- димо и, разложив его на иеприводнмые части, мы тем самым определим кратности вырождения частот и свойства симметрии соответствующих колебаний. При этом может оказаться, что одно и то же представление входит в колебательное представление несколько раз: это будет означать, что имеется несколько ») С физической точки зрения связь преобразования и — » — й для колебаний решетки с обращением времени очевидна: изменение знака времени меняет на обратное направление распространения волн (или, в терминах фононной картины, меняет знак импульса фонона р= Вй).
») Помимо вырождений, связанных с симметрией решетки, может иметь место также и вырождение при «случайных» значениях й; существование таких вырождений могло бы быть предсказано теоретически лишь путем фактического решения уравнений движения атомов в конкретной решетке. Исследование возможных здесь стучаев — см. С.
Негг!Ля, Рьуз. Мет 53, 365, !937 (зта статья воспроизведена также в сборнике: Р. Нокс, А. Го«д, Симметрия в твердом теле, «Йаука», !970). 6 1361 свойствх снммвтвня ногмлльных колввхннй ввшвткн 467 различных частот одинаковой кратности с колебаниями одинаковой симметрии. Эта процедура аналогична способу классификации колебаний молекулы (П1, 3 100).
Существенное отличие состоит, однако, в том, что колебания решетки характеризуются еще и параметром )с, пробегающим непрерывяый ряд значений, и классификация должна производиться для каждого значения (или каждой категории значений) волкового вектора в отдельности. Заданием значения )г определяется звезда иеприводимого представления пространственной группы. Поэтому фактически необходимо определить лишь колебательное малое представление и разложить его иа неприводимые малые же представления— иеприводимые представления группы симметрии вектора к. В особенности просто проведение классификации предельных (при )с- 0) колебаний решетки. При )с=О неприводимые малые представления для всех (как симморфиых, так и иесимморфных) пространственных групп совпадают с неприводимыми представлеииями точечной группы симметрии решетки †кристаллического класса.
Для нахождения же колебательного представления (Р„„) надо рассматривать только атомы в одной элементарной ячейке (другими словами, все трансляционно эквивалентные атомы ') надо рассматривать как один и тот же атом). Не повторяя заново всех рассуждений, которые проводятся в этой связи для' колебаний атомов в молекуле, сформулируем следующее правило нахождения характеров колебательного представления решетки для )с=О. Характеры поворота С(ф) иа угол ф вокруг оси симметрии или поворота Я(ф) вокруг зеркально- поворотной оси, равны Х~, (С) = чсХ„(С), Х~, (Я) = чзХ~ (Я) (136,3) где Х,(С) = 1+ 2 сов ф, Х,(Я) = — 1+2 созф — характеры представления, осуществляемого тремя компонеитами вектора (поляриого), а чс или чз — число атомов, которые при преобразовании остаются иа месте или переходят в трансляционно эквивалентные места').
Эти же формулы определяют характеры для отражения в плоскости (преобразоваиие 8(0)) и для инверсии в центре симметрии (преобразоваиие Я (и)). х) То есть звполняющве узлы одной н той же решеткн Брава. ') В случае молекулы в характерах колебательного представления должно было производиться вычитание с целью нсключенвя координат, отвечающих смещению нлн повороту молекулы как целого. В случае решетки число (б) этих степеней свободы исчезающе мало по сравнению с полным чнслом степеней свободы, н соответствузяцее вычнтанне не требуется. (гл.
хш симметРия ИРисталлов Поворот вокруг винтовой оси или отражение в плоскости скольжения заведомо переводят все атомы в трансляционно не эквивалентные положения; поэтому для них всегда )(„„= О. Пронллюстрируем эти правила примером '). Решетка алмаза относится к несимморфной пространственной группе ч)й.
Она имеет гранецентрированную кубическую решетку Брава с двумя одинаковыми атомами в элементарной ячейке, занимающими положения в вершинах (000) и в точках (1/4 1/4 1/4) на пространственных диагоналях кубических ячеек'). Половина поворотных элементов группы 01 совпадает с вращениями и отражениями точечной группы Тл. Эти преобразования оставляют оба атома на местах илн переводят их в трансляционно эквивалентные положения; поэтому характеры колебательного представления для этих элементов: )(,,= — 2)(„. Остальные же поворотные элементы группы 01 представляют собой винтовые вращения и отражения в плоскостях скольжения, получающиеся комбинированием элементов группы Тл с инверсией (/ ~т), где т=(1/2 1/2 1/2); эти элементы совмещают атом в точке (000) с атомом в трансляционно неэквивалентной точке (1/4 1/4 1/4), так что их характеры )( „=О.
Разложение полученного таким образом колебательного представления по неприводнмым представлениям точечной группы О„: 4)„,„=Р, +Р„'). Координаты акустических колебаний, описывающие при )с= 0 смещение ячейки как целого, преобразуются как компоненты вектора; им отвечает, следовательно представление Рвю по которому преобразуются в группе О„ компоненты вектора. Представление же Р, отвечает трехкратно вырожденной предельной частоте оптических колебаний 4). з) Во нзбежакне недоразумений, отметим, что классификацяя предельных частот оптических ветвей колебаний по одной лишь кристаллографнческой симметрии решетки недопустима для ионных кристаллов. Дляинозолновые оптические колебания ионной решетки сопровождаются появлением макроскопической поляризации кристалла и связанного с иею макроскопического электрического поля; это поле, вообще говоря, меняет (понижает) симметрию колебаний. ') Координаты атомов даются по отношению к ребрам кубической ячейки (в единицах длины этих ребер).
Напомним, что объем кубической гранецевтрироваиной ячейки в четыре раза больше объема элементарной ячейки, Освовнымн периодамн решетки являются векторы, проведенные из вершвиы в точки (1/2 !/2 О), (1/2 О 1/2), (О 1/2 !/2) — центры граней кубической ячейки. з) Точечную группу Оа можно рассматривать как пряьюе произведение ОХС1 нлн улхСП мы пользуемся здесь вторым нз них. В соответствии с этны непрнводнмые представления группы Оз строим из представлений группы Тл. В частности, представления Рея и гзч точечной группы Оа получакпся из представления гз группы 7ю отличаясь друг от друга соответственно четностью нля нечеткостью по отношению к ннверсяи (см.
1П, й 95). 4) Предельная частота акустических колебаний всегда вырождена: макроскопнческий характер этих колебаний приводит к одинаковому значению ы=о для всех трех ветвей, даже если зто не вызывается требованиями симметрян. В эгон смысле это вырождение является зслучайнымз. $1361 свойства снммнтгнн ногмлльных колнвлннй гашетки 469 При выходе из точки й=О вырождение оптических колебаний, вообще говоря, снимается. В зависимости от симметрии величина расщепления может меняться (вблизи точки к = О) как однородная функция первого или второго порядка от компонент вектора к. Соответствующий критерий легко получить в терминах квантовомеханической теории возмущений. Гамильтониан колебаний решетки с малым волновым вектором й = — бк имеет вид Й,+убй, где Й,— гамильтониан колебаний с к=О, а у †некотор векторный оператор; член убй играет роль возмущения, вызывающего расщепление.
Величина расщепления будет первого порядка по бн, если оператор у имеет отличные от нуля матричные элементы для переходов между состояниями, относящимися к одной и той же вырожденной частоте колебаний; в противном случае расщепление будет второго порядка по бй. При этом надо учесть, что оператор у нечетен по отношению к обращению времени; это следует из того, что нечетен волновой вектор бй, а произведение убн (как и всякий гамильтониан) должно быть инвариантно относительно обращения времени. Таким образом, решение поставленного вопроса сводится к выяснению правил отбора для диагональных (по частоте) матричных элементов векторного оператора, нечетного относительно обращения времени (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
