landafshic_tom5_statfiz_Ch1 (1083899), страница 96
Текст из файла (страница 96)
представляет собой какую-либо из точечных групп. С чисто геометрической точки зрения это может быть любая из точечных групп с осями симметрии произвольного порядка. По-видимому, однако, все известные нематические жидкие кристаллы имеют ось полной аксиальной симметрии, причем оба направления вдоль этой оси эквивалентны. Такими свойствами обладают точечные группы С ю [»„, а» ь') Мы увидим, однако, в следующем параграфе, что симметрия О„(не содержащая никаких плоскостей симметрии) приводит к неустойчивости состояния жидкого кристалла, в результате чего автоматически появляется определенная «вторичная» периодическая структура, характерная для жидких кристаллов другой категории — так называемых холестерических.
Помимо двух перечисленных категорий, существуют ещеидругие анизотропные жидкие вещества разнообразной слоистой структуры, которые принято объединять в группу смектических жидких кристаллов. По-видимому, по крайней мере некоторые из них представляют собой тела с функцией плотности р(х), периодической лишь в одном направлении. Такие тела можно ') В остальных группах аксиальной симметрии (С„, С„) оба направления вдоль оси не эквивалентны. Такие жидкие кристаллы были бы, вообгде говоря, пироэлектрическими. $ 140! нвяхтичвскяв н холвстсеичвскяв жидкив кгнстхллы 479 представлять себе как состоящие из свободно смещающихся друг относительно друга плоских слоев, расположенных на одинаковых расстояниях друг от друга. В каждом нз слоев молекулы ориентированы упорядоченным образом, но расположение их центров инерции беспорядочно.
В 9 137 было показано, что структуры с одномерной периодичностью функции плотности размываются тепловыми флуктуациями. Расходимость этих флуктуаций, однако, лишь логарифмическая. Хотя этим исключается возможность одномерной периодичности, простирающейся на сколь угодно большие расстояния, но не исключается (как уже было отмечено в конце 5 137) возможность ее существования в сравнительно небольших, но все же макроскопических участках пространства. Наконец, упомянем, что у обычных изотропных жидкостей тоже существует два различных типа симметрии.
Если жидкость состоит из вещества, не имеющего стереоизомеров, то она полностью симметрична не только по отношению к повороту на любой угол вокруг любой оси, но и по отношению к отражению в любой плоскости; другими словами, ее группа симметрии есть полная группа вращений вокруг точки, дополненная центром симметрии (группа К„), Если же вещество имеет две стереоизомерные формы, причем жидкость содержит молекулы обоих изомеров в различных количествах, то жидкость не будет обладать центром симметрии (а потому не будет допускать и отражений в плоскостях); ее группа симметрии будет просто полной группой вращений вокруг точки (группа К).
й 140. Нематические и холестерические жидкие кристаллы Ориентацнонная симметрия нематических жидких кристаллов является одноосной: в каждой точке жидкости существуют всего одно выделенное направление ориентации молекул, — направление оси аксиальной симметрии. Поэтому макроскопическое состояние такого тела можно описать заданием в каждой его точке одного единичного вектора п(г), определяющего указанное направление; этот вектор называют дирекгиором.
В полностью равновесном состоянии тело однородно, т. е. п =сонэ(. Неоднородные же распределения п(г) описывают различные деформированные состояния жидкого кристалла. При макроскопической деформации п(г) медленно меняется вдоль тела (характерные размеры деформации велики по сравнению с молекулярными размерами). Поэтому производные функции п (г) по координатам являются малыми величинами, тем более высокого порядка малости, чем выше порядок производной. Представив полную свободную энергию деформированного жидкого кристалла (при заданной температуре) в виде интеграла 48О [гл.
хгп СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ /т„ = ~ г аьх, разложим плотность свободной энергии г" по степеням производных функций п(г) (С. [[У. Оеееп, 1933; г'. С. г'галй, 1958). Разложение скалярной величины г может содержать лишь скалярные же комбинации компонент вектора п и его производ- ных. Существует всего две скалярные комбинации, линейные по первым производным: истинный скаляр Йч и и псевдоскаляр пго1п.
Из них первый прн интегрировании по объему преобра- зуется в интеграл по поверхности тела и, таким образом, несу- ществен при рассмотрении объемных свойств вещества. Истинные скаляры, квадратичные по первым производным, можно получить, написав тензор четвертого ранга дл» дл» дх; дхи и образуя из него инварианты путем сворачивания по парам индексов или умножением на компоненты вектора п. При этом надо учесть, что вектор и единичный, и поэтому д дл» вЂ” и'= 2п» вЂ” «=О. дх; дх~ Таким путем найдем инварианты [(п ч) п)э, — — „(Йч и)*, дл» дл» . дл» дл» дха дх; дх„дх» ' Но два последних отличаются друг от друга лишь дивергенцией: дл; дл» дл« дл; д / дл» дл; ~ дх~ дх» дх; дх» дх; [, ' дх» дх» / ' так что их вклады в полную свободную энергию отличаются лишь не интересующим нас интегралом по поверхности тела (/.
/.. Ег/сйаеп, 1962). Инвариант же') —" — ' = (и го1 и)'+ (Йч и)*, так что в качестве независимого можно выбрать (пго1 п)'. Нако- нец, можно построить квадратичный по первым производным псевдоскаляр: (пго1 и) Йч и'). К величинам того же порядка малости относятся скаляры, линейные по вторым производным; все такие величины, однако„ путем интегрирования по частям сводятся к членам, квадратич- ным по первым производным. ') В этом легяо убедиться, раскрывая выражения а компонентах, выбрав при этом одну иэ координатных осей (ось х) вдоль направления и в данной точке пространства (при этом дл /дх; = О).
') Проиаведение же ((ИЧ) и) ю( п=о, посиольку иа Чиэ О следует, ато (пч) и = — [и то( и[. $140] неь!ьтические и холестеРические жидкие кРистьллы 481 Таким образом, мы приходим к следующему выражению для плотности свободной энергии жидкого кристалла: Г = ]оз + Ьп го1 п + — (!]1у и) з + — (и го1 п) ' + — ((п 7) п)' + 2 л ага (п го1 и) Йу п, (140, 1) где Ь, а„аы а„аге — постоянные (функции температуры). Как уже было указано в предыдущем параграфе, во всех известных жидких кристаллах рассматриваемых категорий направления п и — п эквивалентны; для соблюдения этого требования надо положить а!!=-О. Далее, если среди элементов симметрии кристалла есть плоскости, то должно быть Ь=-О.
Действительно, поскольку пго1 п — псевдоскаляр, а свободная энергия — истинный скаляр, то псевдоскаляром должен быть и коэффициент Ь. Но среда, имеющая плоскости симметрии, не может характеризоваться псевдоскалярными величинами, так как отражение в плоскости привело бы к равенству Ь= — Ь. Таким образол1, свободная энергия нематического жидкого кристалла: Р=Ье+ 2 (г]]уп)'+ 2' (п111п)'-]- Я ((пу) и)'. (140 2) Все три коэффициента а„а„аз должны быть положительными. Тогда равновесному состоянию отвечает п=сопз(.
Если же жидкий кристалл не имеет плоскостей симметрии, то Ь~О !). Перепишем тогда (140,1) (с а„=О) в виде р= рз+ — '(б1уп)'+ — '(иго(и+!уе)'+ — '((пр) п)', (140 3) где де=Ьгаз (а постоаннаЯ вЂ” Ьз]2аз включена в г,). Равновесному состоянию такого вещества отвечает распределение направлений директора, для которого б]уп=О, (пр)п=О, пго1п= — !уз.
Эти уравнения имеют решение П» 0 ПР СОЗ тлех Пз 81П !)зх (140,4) Эту структуру (отвечающую холестерическим жидким кристаллам) можно представить себе как результат равномерного закручивания вокруг оси х нематической среды, первоначально ориентированной своими и= сонз1 в одном направлении в плоскости у, г.
Ориентационная симметрия холестерического кри') Такой симметрией во всяком случае будет обладать жидкий кристалл, состоицнй из одного стереоизомера вещества с зеркально асимметричными молекулами (именно таковы все известные холестерические жидкие кристаллы]. Кристаллы, состоящие из двух различных стереоизомеров одного н того же вещества, отличаются знаком постоянной З. 482 (гл. х~п симмятгия кгистлллов сталла оказывается периодической вдоль одного направления (ось х) в пространстве (так что корреляционная функция р„ = =р„(х, г„)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
