landafshic_tom5_statfiz_Ch1 (1083899), страница 55
Текст из файла (страница 55)
э) Для лучшего уяснения структуры членов (80,8) и (80,9), обратим внимание на то, что в первых из них пары операторов а, а+ с одинаковыми индексами происходят от ф-операторов, взятых в одной и той же точке пространства (г, илн га); в членах же (80,9) эти пары происходят от ф-операторов, взятых в различных точках. а) Здесь использовано известное выражение для фурье-компоненты кулонавского потенциала: еаглУ 4л е г й' (см., ниже примечание на стр.
390). (знак минус возникает здесь в результате перестановки операторов а,'„о и а„о, нужной для приведения произведения а„оа„оар,еар„ к виду а,'„ат„еар',гяттьо; напомним, что в случае фермионов эти операторы антикоммутативны). Члены (80,8) представляют собой просто энергию прямого кулоновского взаимодействия электронов, равномерно распределенных в пространстве. Как уже было отмечено в 9 78, ввиду электрической нейтральности плазмы эти члены в действительности тождественно сокращаются с аналогичными членами, выражающими энергию взаимодействия других частиц (ионов) друг с другом и с электронами (и в этой связи расходимость интеграла в (80,8) несущественна). Члены же (80,9), содержащие недиагональные матричные элементы кулоновскаго потенциала, выражают собой искомый обменный эффект' ).
Имея в виду, что при макроскопическом объеме Р импульсы электронов пробегают практически непрерывный ряд значений, можно перейти от суммирования по р„р, к интегрированию по узРр,с(зра)(2пга)а (при этом ограничение р,Фра становится несущественным). Интеграл в (80,9) равен') у~ ег (р'-р,) г!а (Рт — Рз) 274 (гл. тп инидилльныи газы В результате выражение (80,9) принимает вид — 2пез)'~~» Д Статистическое усреднение этого выражения производится (в рассматриваемом приближении) по равновесному распределению идеального газа.
Ввиду статистической независимости частиц идеального газа в различных квантовых состояниях при этом <пр,опр,о>=ар,опр,о', средние же значения п„даются формулой распределения Ферми пр, — — [е(' мз)г +1~ ' (р,— химический потенциал электронов). Наконец, поскольку получившееся выражение простопропорциональное', то, согласно(80,4), оно непосредственно дает искомую поправку к термодинамическому потенциалу плазмы: г обм зо ) (2 )з (80,10) (Е.
МУ(дпег, Р. Яейг, 1934). В предельном случае сильного вырождения электронною газа (Т(<Фпзгз/и) распределение пр сводится к «ступенчатой» функции (п,= 1 при р(рю и = 0 при р)р ). Вычисление интеграла приводит тогда к результату'): еззз~р, ззобм 4пзлз пзлз (80,11) Ззгз з'б = )з ЕП» 4 тгз и (80,12) т) Интеграл заменой рт — р,=я, (рт+рз)/2=з приводится к интегралу г'= ~~ б-збзбРз, берущемуся по области (з 4 ч/2(~ рю интеграл ~ брз (при заданном ч) есть объем, заключенный между двумя сферами радиуса рр с центрами, раздвинутыми на расстояние 4: 4л Ч пззмм З Л (Зри — й), й=рр —.
2' Интегрируя затем по бзб по области О < 4 < 2рр, получим г' бпзрр. Эта же величина, если выразить в ней химический потенциал через плотность числа электронов п,=Ж,/)г(согласно (57,3)) дает поправку к свободной энергии: Э 80! тзнмодинлмичаскнк ввлнчнны нынождкнной пллзмы 276 В обратном же предельном случае больцмановского газа (р, < О, )р,,))> Т) вычисление по формуле (80,!О) даетт) обп 4- »Т»4 илн, выразив р, через пе согласно (46,1а), пе»»е»»пе Рб о п 2тТ (80, 14) Прн Т - р, ОбМЕННая ПОПраВКа Р,б„УЕ»П е~», МЕжду тЕМ Каи найденнаЯ в 2 78 коРРелЯционнаЯ попРавка Р„о „Ре»п»~»(Тп', при этом в силу условия слабой неидеальности тез е»М (с П11» (с йз йз (80,16) (М вЂ” масса иона), то температура Т- изме' превышает температуру вырождения ионов: йа ~Р' Т вЂ” еза»1» >)— М (причем Т(се»М/Ь).
В этих условиях ионная компонента составляет невырожденную, но существенно неидеальную систему. 4) В этом случае (2р, А+Р» ! 1 2и, 4з'+е'! и и =ехр ) — '- — е =ехр э» 1 Т 2тТ 1 1( Т 4тТ и интегрирование по »(зн(»4 распространяется па всему Ч- и з-прзстранству. ») Вопросо вычислении корреляционной поправки прн произвольной степени вырождения электронов представляет, тем не менее, определенный методический интерес.
Эта задача будет рассмотрена в другом томе этого курса (том 1Х). з) В этой и последующих оценках полагаем для простоты я=1 (водородная плазма). т. е. электронная обменная поправка действительно является главной. При повышении температуры, однако, Р,б„ убывает быстрее, чем Рео (при Т>) ребР„„оз Т ', а Р„„оэср Т- 1з). Поэтому существует область, в которой обе поправки одинакового порядка величины. В этой области, однако, вырождение плазмы уже незначительно, и потому для корреляционной поправки можно пользоваться классическими формулами (78,11 — 14)').
В предыдущем изложении подразумевалось, что ионная компонента плазмы не только не вырождена, но и почти идеальна, т. е. что энергия взаимодействия ионов мала по сравнению с их тепловой энергией: пы»ез(с Т»). Но если плотность плазмы не слишком велика: 276 (гл. тп нннднлльнын газы ~ Ер, ~ — унепме Ъееаме.
(80, 17) По порядку величины она совпадает с обменной энергией выро- жденной электронной компоненты плазмы. Для устойчивой решетки энергия связи, разумеется, отрицательна '). ') Количественное вычисление энергия сзязн решетки — сн. А. А. Аорияосае ЖЭТФ, 39, 179? (1960). Минимальности энергии взаимодействия ионов друг с другом и с электронами отвечает тогда упорядоченное расположение ядер, т. е. ядра образуют кристаллическую решетку (А.
А. Абрикосов, 1960). Это приводит к тому, что энергии прямого кулонов- ского взаимодействия различных частиц уже не полностью взаимно компенсируются. В каждой ячейке решетки поле ионов компенсируется находящимися в ней электронами. Но энергия взаимодействия частиц в пределах одной ячейки(размеры которой и-и') отлична от нуля. По грубой оценке эта энергия -е'по', а для всей решетки (с числом ячеек У )7п) ее энергия связи состав- ляет ГЛАВА у!!! РАВНОВЕСИЕ ФАЗ 8 81. Условия равновесия фаз Состояние (равновесное) однородного тела определяется заданием каких-либо двух термодинамическнх величин, например объема У и энергии Е. Однако нет никаких оснований утверждать, что при всякой заданной паре значений У н Е тепловому равновесию будет соответствовать именно однородное состояние тела.
Может оказаться, что при данных объеме и энергии в тепловом равновесии тело не является однородным, а распадается на две соприкасающиеся однородные части, находящиеся в различных состояниях. Такие состояния вещества, которые могут существовать одновременно в равновесии друг с другом, соприкасаясь между собой, называются различными фазами вещества. Напишем условия равновесия двух фаз друг с другом. Прежде всего, как и для любых находящихся в равновесии тел, должны быть равны температуры Т, и Т, обеих фаз: Т,= Т,.
Далее должно выполняться условие равенства давлений в обеих фазах: Р =Р, 1= й поскольку на поверхности их соприкосновения силы, с которыми обе фазы действуют друг на друга, должны быть равны и противоположны. Наконец, должно выполняться условие равенства химических потенциалов обеих фаз: р~=рм которое выводится для двух фаз в точности тем же образом, как это было сделано в й 25 для любых двух соприкасающихся участков тела.
Если потенциалы выражены как функции от давления и температуры, то, обозначая равные друг другу температуры и давления обеих фаз через Т и Р, мы получим уравнение в,(Р, Т) =р,~(Р, Т), (81,1) откуда давление и температура находящихся в равновесии фаз могут быть выражены как функции друг друга. Таким образом, Рлвновесие Флз (гл. юц две фазы могут находиться в равновесии друг с другом не при любых давлении и температуре; задание одной из этих величин вполне определяет вторую. Если откладывать на осях координат давление и температуру, то точки, в которых возможно равновесие фаз, будут лежать на некоторой кривой (кривой равновесия фаз). При этом точки, ле'жащие по сторонам этой кривой, будут представлять собой однородные состояния тела.
При изменении состояния тела вдоль линии, пересекающей кривую равновесия, наступает расслоение фаз (в точке пересечения кривой), после чего тело переходит в другую фазу. Заметим, что при медленном изменении состояния тела оно иногда может остаться однородным даже тогда, когда при полном равновесии уже должно было бы наступить разделение фаз (таковы, например, переохлажденный пар и перегретая жидкость). Такие состояния, однако, метастабильны. Если изображать равновесие фаз с помощью диаграммы, в которой на осях координат откладываются температура и объем (отнесенный к определенному количеству вещества), то состояния, в которых имеются одновременно две фазы, будут заполнять целую область плоскости, а не только одну кривую; а это отличие ст диаграммы Р, Т свя- 1 1 вано с тем, что объем Р' в противоположность давлению неодинаков у обеих фаз.
В результате получается диаграмма изображенного на рис. 12 типа. Точки в областях 1 и П по обе стороны заштрихованной облаь сти соответствуют однородным перРис, 12. вой и второй фазам. Заштрихован- ная же область изображает состояния, в которых обе фазы находятся в равновесии друг с другом: в какой-либо точке а находятся в равновесии фазы 1 и 11 с удельными объемами, определяемыми абсциссами точек 1 и 2, лежащих на горизонтальной прямой, проходящей через точку а. Непосредственно из баланса количества вещества легко заключить, что количества фаз 1 и 11 при этом обратно пропорциональны длинам отрезков а1 и а2 (так называемое правило рычага).
Аналогично условиям равновесия двух фаз, равновесие трех фаз одного и того же вещества определяется равенствами Р,=Р,=Р„Т,=Т,=Т„ц,=р,=ц,. (8(,2) Если обозначить снова общие значения давления и температуры трех фаз посредством Р и Т, то мы получим условия )л,(Р, Т) = )л,(Р, Т) = )л,(Р, Т). (81,3) 279 $ 811 УСЛОВИЯ РХВИОВЕСИЯ ФАЗ Это †д уравнения с двумя неизвестными Р и Т; они имеют в качестве решений определеяяые пары значений Р и Т. Состояния, в которых одновременно существуют три фазы (так называемые тройные точки), на диаграмме Р, Т изобразятся изолированными точками, являющимися точками пересечения кривых равновесия каждых двух из трех фаз (рис. 13; области 1, П, .(П вЂ” области трех однородных фаз).
Равновесие более чем трех фаз одного и того же вещества, очевидяо, яевозможно. На диаграмме Т, У окрестность тройной точки имеет вид, изображенный на рис. 14, где заштрихованные области †облас попарного равновесия фаз; удельные объемы трех фаз, находящихся в равновесии в тройной точке (при температуре Т„), определяются абсциссами точек 1, 2, 3. ' тр тги Рис. 13.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
