landafshic_tom5_statfiz_Ch1 (1083899), страница 53
Текст из файла (страница 53)
На больших расстояниях г волновая функция стационарного состояния с орбитальным моментом 1 и положительной энерГИЕй Ре!ЛТ ИМЕЕТ аСИМПтОтИЧЕСКИй ВИД севе! . Т р !ее ер=- — з)п ( — т — — +6 1 т' (й г где фазы 6,=6,(р) зависят от конкретного вида поля Уее(т) (см. 11!, 5 33). Положим формально, что область изменения расстояния т ограничена весьма большим, но конечным значением )с.
Тогда импульс р сможет принимать лишь дискретный ряд значений, определяющихся граничным условием, требующим обращения ф в нуль при т=-)с' р !я $, 2 — )с — — +6, =за где з — целые числа. Но при большом )с ряд этих значений очень густ, и в сумме ~~ Š— р'(т Т Р можно перейти к интегрированию. Для этого при заданном 1 умножаем суммируемое выражение на ! (!1 аз!) 1 и интегрируем по г(р, после чего результат должен еще быть умножен на 21 + 1 (кратность вырождения по направлениям орбитального момента) и просуммирован по 1: 0 ~~) с-рчтт ~) (21 1 1) ~ ( 1 е) е-рчтт!1р р л 0 Для частиц, подчиняющихся статистике Бозе и не обладающих $771 вычислвиие виеилльного коэееициаитл 283 спином, координатные волновые функции должны быть симметричными; это значит, что допустимы лишь четные значения 1, так что суммирование по 1 производится по всем четным числам. При свободном движении все фазы 6,=0.
Поэтому выражение, остающееся при 6, = О, есть та часть суммы, которая должна быть отброшена как не связанная со взаимодействием атомов. Таким образом, получаем для искомого Я„следующее выражение: 2„= ~~, е1св 1~ + — ~„~ (21+!) — „' е-Я' Ыр, (77,4) и о а вириальный коэффициент В = В,а„+ В„равен В(7) = — ф("~, )" (1+ 1Ы ). (77,5) Как известно фазы 6, определяют амплитуду рассеяния частиц, движущихся в поле У„(г), согласно формуле') 1(8) = —,.
~ч ' (21+1) (а"с — 1) Р,(соз8), 1 где Р,— полиномы Лежандра, 8 — угол между направлениями падения и рассеяния; суммирование в данном случае производится по всем четным значениям 1. В связи с этим оказывается возможным выразить интеграл в (77,4) через амплитуду рассеяния. Именно, легко проверить непосредственной подстановкой выражения для 1(8) справедливость следующего соотношения: ~ (21+ 1) — ' = — — )р 17 (0) +1* (0) Ц + — ' ( р' 1 1 —. — "1' — ) с(о. г)Р 2л "Р Стоящая же слева сумма как раз входит в подынтегральное выра- жение а (77,4), и в результате его подстановки (и интегрирова- ния по частям в одном из членов) получим ч 2„=,'),е1' 1~~+ ) рэе-Яч"т '11(0)+1*(0))г1)з+ лат~, ~~ рта-энтт ~)' ~~~ ~~ с)1 ) г)рг)о (77,6) ') См.
111, 4 !23. Сечение рассеяния в элемент телесного угла яо есть ! 1(В) Р с)о. Если в поле 17„(г) имеются дискретные уровни, то при достаточно низких температурах температурная зависимость В(Т) будет в основном определяться экспоненциально возрастшошей 264 [гл. ин неидеальные Газы с уменьшением Т суммой по дискретным уровням. Дискретные уровни, однако, могут и отсутствовать вовсе; тогда вириальный коэффициент будет зависеть от температуры по степенному закону (если учесть, что при р — 0 амплитуда рассеяния стремится к постоянному пределу, то легко найти, что при достаточно низких температурах В будет определяться в основном членом Воем) Отметим, что в случае слабого взаимодействия, когда столкновения частиц могут быть описаны борновским приближением, амплитуда рассеяния мала, и третий член в (77,6), квадратичный по этой амплитуде, может быть опущен.
При слабом взаимодействии отсутствуют связанные состояния, а потому отсутствует и первый член в (77,6). Используя известное выражение для амплитуды рассеяния ) (0) в борновском приближении, пропорциональное интегРалУ ) (lгегейг, легко УбедитьсЯ в том, что выражение для г в точности совпадает с формулой (32,3) (без квадратичного члена), как и должно было быть в этом случае, Задача В квазиклассическом случае определить квантовую поправку (порядка ве) в вириальиом козффициенте В (Т) одаоатомного газа. Решение. Поправка к классической свободной знергии дается формулой (33,15).
учитывая, что в данном случае осуществляется лишь парное взаимодействие атомов и что (/ге — функция только расстояния между атомамн, найдем бтТа,) [, Кг ) о Это выражение представляет собой поправку к основному, классическому значению, даваемому формулой (74,5). Отметим, что В„, ) О. $78, Термодинамические величины классической плазмы Изложенный в й 75 метод вычисления термодинамических величин неидеального газа заведомо непригоден для газа, состоящего из заряженных частиц, взаимодействующих по закону Кулона, так как в этом случае входящие в формулы интегралы расходятся.
Поэтому такой газ требует особого рассмотрения. Рассмотрим полностью ионизованный газ (плазма). Заряды его частиц будем обозначать посредством г,е, где индекс а отличает различные сорта ионов (е — элементарный заряд, г, — положительные и отрицательные целые числа). Пусть далее п„есть число ионов а-го сорта в единице объема газа. Газ в целом, разумеется, электрически нейтрален, т.е. ~~Р г,п„= О. (78,[) в $ 78) твамодииамичискии виличииы кллссичиской плазмы 265 Будем считать, что газ слабо отклоняется от идеальности. Для этого во всяком случае необходимо, чтобы средняя энергия кулоновского взаимодействия двух ионов ( (се)э/г, где г-и-ив среднее расстояние между ионами) была мала по сравнению со средней кинетической энергией ионов ( Т).
Таким образом, должно быть (ге)эппз((Т или л(< ~ —,,) . (78,2) 1 чсч Екорр ) ' 9 ~ з агалач~ра~ а (78,3) где от,— потенциал поля, действующего на ион а-го сорта со стороны остальных зарядов. Для вычисления этих потенциалов поступим следующим образом '). Каждый из ионов создает вокруг себя некоторое (в среднем сферически-симметричное) неравномерно заряженное ионное облако. Другими словами, если выбрать какой-либо из ионов в газе и рассматривать плотность распределения остальных ионов относительно данного, то эта плотность будет зависеть только от расстояния г от центра. Обозначим плотность распределении ионов (а-го сорта) в этом ионном облаке посредством а,.
Потенциальная энергия каждого иона а-го сорта в электрическом поле вокруг данного иона есть геегр, где ~р — потенциал этого поля. Поэтому, согласно формуле Больцмана (38,6), имеем г еч') и =и,ехр1 — — ~ а а ~ 7 (78,4) т) Излагаемый метод был применен Дебаем н Хюакелел для вычисления термодннамнчесних величин сильвии электролитов (Р. Оеьое, е. Вйсле1, 1923). Ввиду электронейтральности плазмы среднее значение энергии кулоновского взаимодействия ее частиц, если бы все они были равномерно распределены в пространстве независимо друг от друга, обратилось бы в нуль. Поэтому первые поправки в термодинамических величинах плазмы (по сравнению с их значениями в идеальном газе) возникают только при учете корреляции между положениями различных частиц. С целью напоминать об этом обстоятельстве, будем называть эти поправки корре,тяционными.
Начнем с определения поправки Е„„, в энергии плазмы. Как известно из электростатики, энергия электрического взаимодействия системы заряженных частиц может быть написана в виде половины суммы произведений зарядов на потенциалы поля, создаваемого в точках их нахождения всеми остальными зарядами. В данном случае 266 (гл. чп явндвлльныв глзы Формулы (78,4 — 5) составляют вместе систему уравнений само- согласованного электрического поля электронов и ионов. При сделанном нами предположении об относительной слабости взаимодействия ионов энергия ег,ор мала по сравнению с Т, и формулу (78,4) можно написать приближенно в виде лооега и =и,— — ~р. а о т (78,6) Подставив это выражение в (78,5) и имея в виду условие (78,1) нейтральности газа в целом, получим уравнение Гоор — яогр = О, (78,7) где введено обозначение 4лео ч-о и ог ° т ~ а о.
а (78,8) Величина х имеет размерность обратной длины. Центрально-симметричное решение уравнения (78,7) есть — мо е ор = соп51 '— l В непосредственной близости от центра поле должно переходить в чисто кулоновское поле данного заряда (величнну которого обозначим как гое). Другими словами, при достаточно малых г должно быть орущего/г; поэтому надо положить сопз1=гое, так что искомое распределение потенциала дается формулой е -«г 'р= его (78,9) Отсюда видно, кстати, что поле стааовится очень малым на расстояниях, больших по сравнению с 1(к. Поэтому длину 1/н можно рассматривать как определяющую размеры ионного облака, создаваемого данным ионом (ее называют также дебаевским радиусом).
Все производимые здесь вычисления, конечно, предполагают, что этот радиус велик по сравнению со средними расстояниями между ионами (это условие совпадает, очевидно, с условием (78,2)). Постоянный коэффициент положен равным и„, так как вдали от центра (где ор — 0) плотность ионного облака должна переходить в среднюю ионную плотность в газе. Потенциал ор поля в ионном облаке связан с плотностью зарядов в нем (равной ~э~,'ег,и,) электростатическим уравнением Пуассона Лор = — 4пе ч~'„г,и,. (78,5) о 8 78] твгмодиндмичвскнв ввличниы классической плазмы 267 Разлагая потенциал (78,9) в ряд прн малых хг, найдем сяьн+ ° азь г Ч зГз з (78,11) Эта энергия обратно пропорциональна квадратному корню из температуры и из объема газа. Е д Е Интегрируя термодинамическое соотношение Т' дТ Т можно найти из Е„, соответствующую добавку к свободной энергии: з-г„— '— ," у Д(фи.е)" (?8,12) (постоянную интегрирования надо положить равной нулю, так как при 7' — со должно быть Е=Е,я).
Отсюда давление — т ~,~* У т(2 з где М=ч~Р~У,. Термодинамический потенциал Ф можно получить из Р с помощью теоремы о малых добавках (как это было сделано и в 8 74), т.е. рассматривая второй член в (78,12) как малую добавку к Е„я и выразив ее с нужной точностью через переменные Р и Т з): о=о — — ( — ) (Г. я,') (78,14) з) Зля перехода от (78,! 1) к (78,12) такой способ не мог быть применен, поскольку энергия (78,11) ие била вмражеиа через необходимые для этого пеэеменные 5 и г'. Опущенные члены обращаются при г=О в нуль. Первый член есть кулоново поле самого данного иона.
Второй же член есть, очевидно, потенциал, создаваемый всеми остальными ионами облака в точке нахождения данного иона; это и есть та величина, которая должна быть подставлена в формулу (?8,3): зр, = — егзх. Таким образом, мы получаем следующее выражение для корреляционной части энергии плазмы: д з/з я з или, вводя полные числа различных ионов в газе У,=и„(г; (гл. тп НЕИДЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ $79. Метод корреляционных функций Преимущество изложенного в предыдущем параграфе метода Дебая — Хюккеля состоит в его простоте и физической прозрачности. С другой стороны, его основной недостаток заключается в невозможности обобщения для вычисления следующих приближений по концентрации.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
