landafshic_tom5_statfiz_Ch1 (1083899), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Энтропия тела в таком состоянии может быть вычислена с помощью полученных в з 55 (для бозе-газа) формул. В частности, если в каждом состоянии имеется много фононов, энтропия равна ей'у 5=-~избу)п ~ ! где Лг — число фононов в группе из с!у близких состояний (см. (55,8)).
Этот случай отвечает высоким температурам (Т>) В). Перепишем эту формулу в интегральном виде, отвечающем классической картине тепловых колебаний. Число состояний фононов (в каждой из ветвей спектра), приходящихся на интервал !1'А значений волнового вектора и элемента дУ пространственного объема, есть г(к=с(ай!(У)(2л)". Пусть 0„(г, 'к)г(т — энергия тепловых колебаний в том же элементе фазового пространства г(т. Соответствующее число фононов есть сl (г, й) с(т. ~ма (й) !) эта формула была уже испольаоваиа в 4 бз дви вклада в свободную энергию от акустических ветвей спектра. 242 [гл, ч! тзкгдын телА Подставляя эти выражения вместо Оу и Лу и переходя к интегри- рованию, получим следующую формулу для энтропни твердого тела с заданным неравновесным распределением энергии в спектре тепловых колебаний: Зч о=! и( ) (71,9) 2 72.
Операторы ролщення и уничтожения фононов Покажем теперь, каким образом введенные в предыдущем параграфе понятия появляются при последовательном проведении квантования колебаний решетки. Получающиеся при этом формулы имеют и самостоятельное значение,— на них основана математическая техника для изучения элементарных актов взаимодействия фононов. Произвольное колебательное движение кристаллической решетки может быть представлено в виде наложения бегущих плоских волн!). Если рассматривать объем решетки как большой, но конечный, то волновой вектор )с будет пробегать ряд хотя и близких друг к другу, но дискретных значений. Смещения атомов п,(1, и) изобразятся тогда дискретной суммой вида а п,(1, п) — =~~,~„,(акое',"'(1с)е' а+а!, е'," (к)е ' ") (72,1) 'г'Ас =! А ') Вполне аналогично тому, как ато делается для снободного электромагнитного поля †.
11, 4 52. (Ж вЂ” число элементарных ячеек в решетке). Суммирование производится по всем (не эквивалентным) значениям (с и по всем ветвям спектра колебаний, а остальные обозначения имеют следующий смысл. Векторы е',"' в (72,1) — векторы поляризации колебаний, т. е. амплитуды, которые не только удовлетворяют уравнениям (69,7), но и предполагаются теперь нормированными определенным условием. Это условие (вместе с соотношениями ортогональности (б9,11)) запишем в виде ~~~, — а е)" > (1с) (е!оо (1с)1* —. б 5= 1 (лт = ~ч~~лта — суммарная масса атомов в одной ячейке).
условия (72,2) оставляют еще произвольным общий (не зависящий от з) фазовый множитель в векторах е,'"'. Этот произвол позволяет наложить на эти векторы дополнительные условия е<а!( (с) (е!а! ()с)1* (72,3) $721 опнгхтоеы гождення н хннчтожяння кононов 243 (возможность такого выбора очевидна из того, что в силу соотношений (69,10) векторы, стоящие в обеих сторонах равенства (72,3), удовлетворяют о11инаковым уравнениям). Коэффициенты ас в (72,1) — функции времени, удовлетворяющие уравнениям (72,4) аьа+ ма (й) а1са= О, получающимся подстановкой (72,1) в уравнения (69,4). Положим аяа сл ехр [ — мяа(й) 111 (72,5) тогда каждый член в сумме будет зависеть только от разности йг„— ма(, т.
е. представит собой волну, бегущую в направлении М. Колебательная энергия решетки выражается через смещения и скорости атомов формулой Е = — ~ т,й',(и)+ — ~ Л)х'(и — и') и,с(п) и„»(п'). (72,6) ссп' сс Подставим сюда разложение (72,1). Все члены получающихся сумм, содержащие множители ехр~-~-1(к~К')г„1 с к~й'~0 обращаются в нуль при суммировании по и в силу того, что счс„( Ж при 9=0, а ( 0 при 9ФО, где 9 пробегает все неэквивалентиые значения (см. 3 1ЗЗ). Учитывая также условия (72,2 — 3), преобразуем кинетическую энергию к виду Х ( с1 " 1с аиэ„~аяааьс+ — (ая„а на+ах~а яа)~ . асс Потенциальная энергия в (72,6) с помощью уравнений движения (69,4) переписывается в виде —,Е,й.() .() 1 ссс и затем преобразуется аналогичным образом; в результате она приводится к виду, отличающемуся от кинетической энергии лишь знаком перед вторым членом в фигурных скобках.
Складывая обе части энергии, найдем Е = ~ 2ак»' (к) ( аь„1с. (72,7) 244 (гл. гт тпегдые тела Таким образом, полная энергия колебаний решетки выражается в виде суммы энергий, связанных с каждой из волн в отдельности. Произведем теперь преобразование, в результате которого уравнения движения решетки примут вид канонических уравнений механики. Для этого вводим вещественные «канонические переменные» Яи„ и Ри„ согласно определению Яи =3/гп(ав„+ав„), (72,8) Риа = †(ого (й) )' пт(ииа оиа) = Яиа. Выразив отсюда аи и ав н подставив в (72,7), получим гамильтонову функцию решетки 2 Е[Р + ( )а 1' (72,9) аи При этом уравнения Гамильтона дН1дРи = 4и„совпадают с равенствами Ри„= ()в„, а из дН!д()и = — Рв находим уравнения Яви+ага(й) Два = О.
совпадающие с уравнениями движения решетки. Таким образом, функция Гамильтона представлена в виде суммы независимых членов, каждый из которых имеет вид.гамильтоновой функции одномерного гармонического осциллятора. Такой способ описания классического колебательного движения делает очевидным путь перехода к квантовой теории '). Мы должны рассматривать теперь канонические переменные †обобщенн координаты Яв„ н обобщенные импульсы Р» †к операторы с правилом коммутации РвЯи — О.в Рв = — Й. (72, 10) Функция Гамильтона (72,9) заменяется таким же оператором, собственные значения которого известны из квантовой механики: Е= ~„йго„(1с) (пи„+ —,), пв„=О, 1, 2, ...
(72,!1) Вта формула и дает возможность ввести понятие о фононах в указанном в з 71 смысле: возбужденное состояние решетки можно рассматривать как совокупность элементарных возбуждений (квазичастиц), каждое из которых имеет энергию йоэ„(й), являющуюся определенной функцией параметра (квазиим- э) Аналогично тому, как проиэаоднтся переход от классического описания свободного электромагнитного поля к квантовой картине фоионов — см.
1 т', $2. й 721 опннатогы гождвння и гннчтожиння аононов 245 пульса) )с. Квантовые числа пь становятся при этом числами заполнения различных состояний квазичастиц ). Согласно известным свойствам гармонического осциллятора в квантовой механике величины ю„()с)(~к„-+-сРка имеют матричные элементы только для переходов с изменением чисел йьа на единицу (см. 111, 2 23). Именно, если ввести операторы сь = (ю ()с)Як +(Рк4, 2~ма (К) "+ 1 Ска= ггюа (1с) Яка 1Рка1 )с 2йсла (1с) (72,12) то отличны от нуля матричные элементы Гйка 1 ) С1са ) йааУ = (Пка ) Ссса ~ Псса 1) = )~ Ока. (72, 13) Правила коммутации этих операторов получаются из определе- ния (72,12) и правила (72,10): + С1,„СС,а — Сааеьа.= 1.
(72,14) Из (72,13) видно, что в смысле воздействия на функции чисел заполнения операторы ска и ск„ играют роль операторов уничтожения и рождения фононов. При этом правило (72,14) отвечает, как н следовало, статистике Бозе. Вместе с величинами ск„становятся операторами (в смысле вторичного квантования) также и векторы смещения') н,(п) = =1 — ~~~ — — (с~ е,' '(и)е "+ссе1 >ее '1. (72,15) г) Что касаетсЯ снУлеиой энеРгннз байша/2, остающейсЯ и (72,11) пРн всех п„а О, то ее слеДУет аключнть а энеРгаю основного состоЯнна тела. Эта аелнчнна конечна (уже а силу конечности числа членов э сумме), и ее сущестэоаанне не прниодит здесь к каким-либо принципиальным затруднениям (и отличие от кнаитоаой электродинамики, где сумма ~~да расходится) з) Из определений (72,8) н (72,!2) легко убедиться, что аеличнны с отличаются от а1, лишь множителем. С помощью этого выражения ангармонические члены в гамильтониане (члены третьего и более высоких степеней по смещениям) выражаются через произведения различного числа операторов рождения и уничтожения фононов.
Эти члены и представляют собой возмущение, приводящее к различным процессам рассеяния фононов,— процессам с изменениями фононных чисел заполнения. 246 (гл. и! ТНЕРДЫЕ ТЕЛА й 73. Отрицательные температуры Мы рассмотрим теперь некоторые своеобразные явления, связанные со свойствами парамагнитных диэлектриков. ГГоследние характеризуются тем, что их атомы обладают более или менее свободно ориентирующимися механическими (а с ними и магнитными) моментами. Взаимодействие этих моментов (магнитное или обменное в зависимости от их взаимных расстояний) приводит к появлению нового «магнитного» спектра, налагающегося на обычный диэлектрический спектр.
Этот новый спектр целиком заключен в конечном энергетическом интервале — интервале порядка величины энергии взаимодействия магнитных моментов всех атомов тела, расположенных иа определенных расстояниях друг от друга в узлах кристаллической решетки; отнесенная к одному атому, эта энергия может составлять от десятых долей до сотни градусов. В этом отношении магнитный энергетический спектр существенно отличается от обычных спектров, которые благодаря наличию кинетической энергии частиц простираются до сколь угодно больших значений энергии ').
В связи с этой особенностью можно рассмотреть область температур, больших по сравнению со всем допустимым интервалом значений энергии, приходящейся на один атом. Связанная с магнитной частью спектра свободная энергия Т„„ вычисляется при этом аналогично тому, как это делалось в 3 32. Пусть ń— уровни энергии системы взаимодействующих моментов. Тогда имеем для интересующей нас статистической суммы Здесь, как и в 3 32, формальное разложение в ряд по степеням, вообще говоря, не малой величины Е„)Т даст после логарифмирования разложение по малой величине -Е,!ЖТ, где М вЂ” число атомов. Полное число уровней в рассматриваемом спектре конечно и равно числу всех возможных комбинаций ориентаций атомных моментов; так, если все моменты одинаковы, зто есть д", где д — число возможных ориентаций отдельного момента относительно решетки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
