landafshic_tom5_statfiz_Ch1 (1083899), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Число д(ш)с(ш дается (деленным на (2п)») объемом )с-пространства, заключенным между двумя бесконечно близкими изочастотнымн повсрхностямн (повсрхностямн постоянной частоты) го(й)=сопя!. В каждой точке )с-пространства градиент функции ш((с) направлен по нормали к проходящей через эту точку изочастотной поверхности. Поэтому из выражения г(ш=г()с-!7кю(й) ясно, что расстояние между двумя бесконечно близкими такими !) Наличие дефектов решетки приводит также и к некоторым изменениям в спехтре ее колебаний — появлению новых частот (отвечающих «локальным» колебаниям вблизи!дефектов).
Исследование этих вопросов — см. И. М. Лифшия, А. М. ласеиич, »хннамика кристаллической решетки сдефехтами, мероггз оп Ргойгезз !и Рйуясз, 29, 2!7, 1266. 236 (гл. ч~ таеедые телА поверхностями (измеренное по отрезку нормали между ними) есть с(аг(1тка ~. Умножив эту величину на площадь с(7а элемента изочастотной поверхности и проинтегрировав по всей этой поверхности (в пределах одной ячейки обратной решетки), найдем искомую часть объема (с-пространства, а разделив ее на (2п)',— плотность распределения частот: ! (' л7к и(а)=(2 ),) )рвы(е)1 В каждой зоне (области значений, пробегаемых некоторой ветвью а((с) в одной ячейке обратной решетки )с) функция а((с) должна иметь по крайней мере один минимум и один максимум.
Отсюда в свою очередь следует, что эта функция должна обла-. дать также и седловымн точками'). Существование всех таких стационарных точек приводит к определенным особенностям функции распределения частот н(а) (7,. оап Ноие, 1953). Вблизи экстремальной точки, находящейся при некотором (с=(с„разность оз(11) — го, (где го,=го(11,)) имеет вид 1 а ае = 2 уга (йг пег) (ма неа)' Направив координатные оси в (с-пространстве вдоль главных осей этой квадратичной формы, запишем ее в виде ОЗ вЂ” аа = 2 171 ()Си — Лаз)'+ Уз (˄— )ааа)'+ Уз А — йы)'1 (70~2) 1 где у„ у„ у, †главн значения симметричного тензора уг„. Рассмотрим сначала точку минимума или максимума функции а(й).
Тогда у„ у„ у, имеют одинаковый знак, Введя вместо й„, й, л, новые переменные х„, х„, х, согласно х„ = 'Р'17з((й„— й,„), ..., пишем: (70,3) а — а, — ~ — (х, + х„'+ х,') = ~ — х'. При этом изочастотные поверхности в х-пространстве являются сферами. Переходя в (70,1) к интегрированию в х-пространстве, имеем 1 Г д(и й'(а) 2 ., У-~1„( )) ° У=)У У У 1. (704) Элемент поверхности сферы: г()„=хзс(оп, где с(о„— элемент телесного угла. Градиент же функции (70,3): 17„а(х)=~и.
Поэтому з) Можно показать (на чем мы здссь не будем останавлнватьсн), что должно супгестаовать по крадней мере шесть ссдловых точек,— па трн каждого нздвух типов, которым отвечают знаки + и — в формуле (70,8) ниже. $70) ПЛОТНОСТЬ ЧИСЛА КОЛЕБАНИЙ 237 интеграл в (70,4) оказывается равным 4пх; выразив х через О» — О»« согласно (70,3), окончательно находим (70,5) Таким образом, плотность числа колебаний имеет корневую особенность; производная «(д,'йо обращается при «Б-»О»«в бесконечность. Следует, однако, иметь в виду, что в общем случае(если значение О» = О»» лежит внутри, а не на самых краях полосы изменения частоты) изочастотные поверхности для близких к О»» значений Б» могут содержать (помимо эллипсоидов вокруг точки к= — )с,) еще и другие листы, в других частях ячейки к-пространства. Поэтому в общем случае выражение (70,5) дает лишь «особую» часть плот- »»«»« ности числа колебаний, так что правильнее писать «Т(О») =«»(«О«)+ ~ « ~, (70,6) с одной стороны от точки сл =.
О»» (при О» < со, в случае максимума, или Б» > «О«в случае минимума), и д(О»)=п(ы«) с другой стороны. Отметим также, что формула (70,5) не относится, конечно, к окрестности нижнего края (Б» = О) зоны акустических колебаний, где закон дисперсии имеет вид (69,15). Легко видеть, что в этом случае Рис. 9 »т(О») = сопз( О»». (70,7) Рассмотрим теперь окрестность седловой точки.
В этом случае две из величин у„у„у, в (70,2) положительны, а одна отрицательна, или наоборот, Вместо (70,3) будем иметь теперь ! ໠— О»« = ~ ~ (н, + х« — к»). (70,8) Примем для определенности верхний знак в этом выражении. Тогда изочастотные поверхности при «Б<«с«представляют собой двухполостные, а при О» > ь»,— однополостные гиперболоиды; граничная же поверхность О»=сэ«является двухполостным конусом (рис. 9). (гл. с«« твегдыв тялА к ! 2хх, «)х„ д(со)= 2 ! о )с +2(,оо ф„= — «(х~«, 2пхьх х !х,! в качестве верхнего предела К (значение которого не отражается на виде искомой особенности) можно взять какое-либо значение х, большое по сравнению с 1/соо — со, но в то же время настолько малое, что еще применимо выражение (70,8) для формы нзочастотнай поверхности.
В результате находим й (со) =- )К вЂ” )' 2 (со, — «о)~. ! 2х«)~ т При со) «о, аналогичным путем находим К 2 г. 2ах ««(х «К (2х)о$~ т г' х« — 2 (и ма) 2а )«т где х',,„= 2 (со — со,). Таким образом, в окрестности седловой точки плотность числа колебаний имеет вид «!") —, — "Р" "<" «! >= (70,9) з («оо) при со ) со,. И здесь д(«о) имеет корневую особенность. Для седловой точки с нижним знаком в (70,8) получается такой же результат с перестановкой областей со ( со, и «о ) со, (корневая особенность при ш ) со,).
и 71. Фононы. Обратимся к вопросу о том, как выглядит картина колебаний решетки с точки зрения квантовой теории. Вместо волн (69,8), в которых атомы испытывают в каждый момент времени определенные смещения„в квантовой теории вводится понятие о так называемых фонанах как о некоторых распространяющихся по решетке квазичаспси«(ак, обладающих определенными энергиями и направлениями движения. Поскольку Интегрирование в (70,4) удобно производить теперь в цилиндрических координатах в х-пространстве: х«„х„«о, где х«= =)«х„'+к„*, а «р — полярный угол в плоскости х„, х„. Абсолютная величина градиента: (дхсо~=х. При со < со, интеграл, берется по двум полостям гиперболоида: 239 й 711 ФОНОНЫ энергия осциллятора в квантовой механике есть целое кратное от йю (где а — частота классической волны), то энергия фонона связана с частотой в посредством е=йв, (71, 1) подобно тому, как это имеет место для световых квантов — фотонов.
Что же касается волнового вектора к, то он определяет так называемый квазиимпульс фонона р: р =- й'к. (71,2) Это величина, во многом аналогичная обычному импульсу. В то же время между ними имеется существенное отличие, связанное с тем, что квазиимпульс есть величина, определенная лишь с точностью до прибавления постоянного вектора вида йЬ; значения р, отличающиеся на такую величину, физически эквивалентны. Скорость фонона определяется групповой скоростью соответствующих классических волн: к= да(дк.
Написанная в виде (71,3) эта формула вполне аналогична обычному соотношению между энергией, импульсом и скоростью частиц. Все сказанное в Я 69, 70 о свойствах спектра классических колебаний кристаллической решетки, полностью переносится (с соответствующим изменением терминологии) на энергетический спектр фононов — зависимость их энергии от квазиимпульса. В частности, энергетический спектр фононов е(р) имеет Зт ветвей, в том числе три акустические ветви.
Рассмотренная в $ 70 плотность числа колебаний становится теперь плотностью числа квантовых состояний фононов. Свободному распространению волн в гармоническом приближении соответствует в квантовой картине свободное движение не взаимодействующих друг с другом фононов. В следующих же приближениях появляются различного рода процессы упругих и неунругнх столкновений фононов. Этн столкновения н составляют механизм, приводящий к установлению теплового равновесия в фононном газе, т.
е. к установлению равновесного теплового движения в решетке. При всех таких процессах должен соблюдаться закон сохранения энергии, а также закон сохранения квазиимпульса. Последний, однако, требует сохранения суммарного квазиимпульса фононов лишь с точностью до прибавления любого вектора вида йЬ, что связано с неоднозначностью самого квазиимпульса. Таким образом, начальные (р) и конечные (р') квазиимпульсы 240 (гл. вч твердык тала при каком-либо процессе столкновения фононов должны быть связаны соотношением вида ') ч;р=~р'+$Ь.
(71,4) В решетке может быть возбуждено одновременно сколько угодно одинаковых фононов; другими словами, в каждом квантовом состоянии фононов может находиться любое их число (в классической картине этому отвечает произвольная интенсивность волн).
Это значит, что фононный газ подчиняется статистоке Бозе. Поскольку к тому же полное число частиц в этом газе не является заданным и само определяется условиями равновесия, то его химический потенциал равен нулю (см. З 63). Поэтому среднее число фононов в каждом квантовом состоянии (с квазиимпульсом р и энергией к) определяется в тепловом равновесии функцией распределения Планка 1 ~р = мрят (71,5) Отметим, что при высоких температурах (Т>)е) это выражение переходит в — т па = —, й)' т) Процессы, в которыя суммарный квааннмпульс не остается постоянным, а меняет я на ЙЬ, навывмот прояессами переораса. т, е, число фононов в данном состоянии пропорционально температ ре.
~1 онятие о фононах является частным случаем более общего понятия, играющего основную роль в теории квантовых энергетических 'спектров всяких макроскопических тел. Всякое слабо возбужденное состояние макроскопического тела может рассматриваться в квантовой механике как совокупность отдельных элеменлсармых возбуждений.
Эти элементарные возбуждения ведут себя как некоторые квазичастицы, движущиеся в занимаемом телом объеме. До тех пор, пока число элементарных возбуждений достаточно мало, они «не взаимодействуют» друг с другом (т. е. их энергии просто складываются), так что их совокупность можно рассматривать как идеальный газ квазичастнц. Подчеркнем лишний раз, что понятие элементарных возбуждений возникает как способ квантовомеханического описания коллективного движения атомов тела, и они ни в какой мере не могут быть отождествлены с отдельными атомами или молекулами. В случае фононов их взаимодействию отвечает (в классической картине) ангармонизм колебаний атомов в решетке.
Но, как уже 241 Ф 711 Фоиоим было отмечено в й 64, в твердых телах эти колебания фактически всегда малы, а потому и «почти гармоничны». Поэтому взаимодействие фононов в твердых телах фактически всегда слабо. В заключение выпишем формулы, определяющие термодинамические величины твердого тела по спектру фононов в нем. Свободная энергия твердого тела в термодинамическом равновесии дается формулой (64,1), Перейдя в ней от суммирования к интегрированию по непрерывному ряду фононных состояний, имеем Зт Е=-йге,+Т~~' ) 1п~1 — ехр( — ~ )1 ~„„(71,7) а=! где суммирование производится по всем ветвям спектра, а интегрирование †значениям К в одной ячейке обратной решетки '). Введя плотности д„(ю) числа состояний в каждой ветви спектра и перейдя к интегрированию по частотам, эту формулу можно записать также и в виде Е = Лгве+ ТУ Х 1! 1и (! — в "е!!') йга (о!) Йо. (71,8) и=! Неравновесное макроскопнческое состояние твердого тела описывается некоторым неравновесным распределением фононов по их квантовым состояниям, подобно тому, как это делается для идеального газа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
