landafshic_tom5_statfiz_Ch1 (1083899), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Прн параллельном смещении все п,(п)= — сопз(, и поэтому должно быть ~~>„'Л,'„' (п) = О. Р5' Разделив обе части равенства на ехр(йг,) и заменив суммирование по и' суммированием по и' — п, находим ~ч'з, ЛЦ' (й) е, л — Бз'тп,е„. =- О, 5 (69,7) где введено обозначение ЛЦ' (й) = ~ Л',"(п)ехр ( — йг„).
и (69,8) Связей, следующих из ннвариантностн относительно поворотов, не станем здесь выписывать. Будем искать решения уравнений (69,4) в виде монохроматической плоской волны п, (и) = е, (й) ехр [(((гг„— Бт~Ц. (69,6) Амплитуда (комплексная) е, зависит только от индекса з, т. е. различна лишь для разных атомов в одной н той же ячейке, но не для эквивалентных атомов в различных ячейках. Векторы е, определяют как величину амплитуды колебаний, так и направление их поляризации.
Подставив (69,6) в (69,4), получим ш'тп,е„ехр (йг„) =- ч~~ ЛЦ' (и — п') е, л ехр (йг„). П' 5' 232 [гл. Тп ТВЕРДЫЕ ТЕЛА Система (69,7) линейных однородных алгебраических уравнений для амплитуд имеет отличные от нуля решения при выполнении условия совместности (69,9) Йе1 [Л)а' ([«) — гоз т,бы 6„[ = О. Поскольку индексы (, й пробегают по 3, а индексы з, з' — по о значений, то порядок определителя равен Зт, так что (69,9) есть алгебраическое уравнение степени Зт относительно гоз.
Каждое из Зо решений этого уравнения определяет частоту го как функцию волнового вектора [г; об этой зависимости говорят как о законе дисперсии волн, а определяющее эту зависимость уравнение (69,9) называют диспергионныы уравнением. Таким образом, для каждого заданного значения волнового вектора частота может иметь в общем случае Зт различных значений. Можно сказать, что частота есть многозначная функция волнового вектора, обладающая Зт ветвями: го=в,„(1«), где индекс а нумерует ветви функции.
Из определения (69,8) и равенств (69,3) следует, что Л;а'(й)=Л»1 ( — й)=[Л», (й)1*. (69,10) Другими словами, величины ЛЯ'([г) составляют эрмитову матрицу, а задача о решении уравнений (69,7) есть с математической точки зрения задача об определении собственных значений и соответствующих им собственных «векторов» такой матрицы. Согласно известным свойствам эрмитовых матриц собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, взаимно ортогональны. Это значит в данном случае, что ~ч.", пт,п',«оп,'"" = О при а ~ а', (69,11) где индекс (а) у вектора смещения указывает ветвь спектра колебаний, к которой он относится '). Равенства (69,11) выражают собой свойство ортогональности поляризаций в различных ветвях спектра. В силу симметрии механических уравнений движения по отношению к изменению знака времени, если возможно распространение некоторой волны (69,6), то возможно распространение такой же волны и в противоположном направлении.
Но такое т) Появление «весового» множителя»н» в соотношениях (69,П) связано с тем, что ыз являются собственнымн значениями не самой матрицы Л1'(й), )а а матрицы Л[аа'l 1' а»т;, орнчем соотнетс»нуюнгими собатвенными «векторамн» являются р' т н',"'. 233 $ 691 коленлния кРисталлической Решетки изменение направления эквивалентно изменению знака (с. Следовательно, функция со()с) должна быть четной: со ( — 1с) = со (1с). (69,12) Волновой вектор колебаний решетки обладает следующим важным свойством. Вектор (с входит в выражение (69,6) только через зкспоненциальный множитель ехр (1(сги).
Но этот множитель вообще не меняется при замене (с-Р1с+Ь, Ь=р,Ь,+р,Ь,+раЬа, (69,13) где Ь вЂ” любой вектор обратной решетки (Ь„Ь„Ь,— ее основные периоды; р„р„р,— целые числа)'). Другими словами, волновой вектор колебаний решетки физически неоднозначен: значения 1с, отличающиеся на Ь физически эквивалентны. Функция со ()с) периодична в обратной решетке: со(1с+Ь) =со(1с), и поэтому в каждой ее ветви достаточно рассматривать значения вектора й, лежащие в некотором определенном конечном интервале — в одной ячейке обратной решетки.
Если выбрать оси координат (в общем случае косоугольные) по трем основным периодам обратной решетки, то можно, например ограничиться областью (69,14) Когда к пробегает значения в этом интервале, частота со(й) в каждой ветви спектра пробегает значения, заполняющие некоторую полосу (или, как говорят, зону) конечной ширины. Различные зоны могут, конечно, частично перекрываться между собой. В геометрическихтерминахфункциопальная зависимостью=ш(й) изображается четырехмерной гиперповерхностью, различные листы которой отвечают различным ветвям функции.
Зги листы могут оказаться не полностью разделенными, т. е. могут пересекаться. Возможные типы таких пересечений существенно зависят от конкретной симметрии кристаллической решетки. Исследование этого вопроса требует применения методов теории групп, как это будет изложено ниже, в Э 136. Среди Зт ветвей спектра колебаний должны быль такие, которые при больших (по сравнению с постоянной решетки) длинах волн соответствуют обычным упругим (т. е. звуковым) волнам в кристалле.
Как известно из теории упругости (см. Л1, 9 23), в кристалле, рассматриваемом как сплошная среда, могут распространяться волны трех типов с различными законами дисперсии, причем для всех трех типов со есть однородная функция ') Здесь используются понятия, подробно расснатриваеиые ниже, в $ 1ЗЗ. 234 (гл. ьч тинлдыя телА первого порядка от компонент вектора (с, обращающаяся в нуль при 1с=О. Следовательно, среди Зт ветвей функции оз((с)должны существовать три, в которых при малых (с закон дисперсии имеет вид (69,15) Эти три типа волн называются акустличеслилти; они характеризуются тем, что (при малых (с) решетка колеблется в целом как сплошная среда.
В пределе (с-ьО эти колебания переходят в простое параллельное смещение всей решетки. В сложных решетках, содержащих более одного атома в ячейке, существует еще 3(у — 1) типа волн. В этих ветвях спектра частота не обращается в нуль при (с=О, а стремится при к-ьО к постоянному пределу. Эти колебания решетки называют оптическими. В этом случае атомы в каждой элементарной ячейке движутся друг относительно друга, причем в предельном случае (с=О центр тяжести ячейки остается в покое'). Не все Зт предельные частоты оптических колебаний (частоты при (с=О) должны непременно быть различными. При определенных свойствах симметрии кристалла предельные частоты некоторых из оптических ветвей спектра могут совпадать или, как говорят, быть вырожденными (см.
об этом 9 136). Функция оз((с) с невырожденной предельной частотой может быть разложена вблизи (с=О в ряд по степеням компонент вектора (с. В силу четности функции от((с) такое разложение может содержать только четные степени Ао так что его первые члены имеют вид ! <о=ото+ 9 уз»)тА (69, 16) где озе — предельная частота, ум — постоянные величины. Если же предельные частоты нескольких ветвей совпадают, то функции вз()с) в этих ветвях вообще не могут быть разложены по степеням (с, поскольку точка (с=О является для них особой (точкой ветвления). Можно лишь утверждать, что вблизи (с=О разность вз — вта будет (в зависимости от симметрии кристалла) однородной функцией компонент )с либо первого, либо второго порядка.
') Последнее обстоятельство формальным образом можно усмотреть непосредственно из уравнений днижения (69,7 — 8). При и=о они прннима»зт вид Х 5м Аз»' (н) е, » = там'ель вл Просуммировав обе стороны по з, в силу (89,5) почучим слева нуль; поэтому для совместности уравнений при а=о должно быть и ~ , 'т»е,=о. й 70) 235 плотность !ясла колвьхннй По поводу всего изложенного напомним лишний раз, что речь идет о так называемом гармоническом приближении, в котором учитываются лишь квадратичные по смещениям атомов члены в потенциальной энергии.
Только в этом приближении различные монохроматические волны (69,6) не взаимодействуют друг с другом, а свободно распространяются по решетке. При учете же следующих, ангар»!Оничлских членов появляются различного рода процессы распада и рассеяния этих волн друг на друге. Взаимодействие может приводить также и к образованию «связанных состояний» волн (фононов — см. ниже), — новых ветвей спектра, отсутствующих в гармоническом приближении. Кроме того, предполагается, что решетка обладает идеальной периодичностью. Надо иметь в виду, что идеальная периодичность в некоторой степени нарушается (даже без учета возможных «примесей» и других дефектов решетки), если в кристалле имеются атомы различных изотопов, распределенные беспорядочным образом.
Зто нарушение, однако, сравнительно невелико, если относительная разность атомных весов изотопов мала или если одного изотопа имеется значительно больше остальных. В этих случаях изложенная картина в первом приближении остается в силе, а в следующих приближениях возникают различного рода процессы рассеяния волн на неоднородностях решетки').
й 70. Плотность числа колебаний Число колебаний, приходящихся на интервал г(»й= — г(й,.Ы„Бг, значений компонент волнового вектора, будучи отнесено к единице обьема кристалла, равно г(ай/(2п)а. Характеристикой спектра колебаний конкретной решетки является функция распределения колебаний почастотамл(го), определяющая числод(ш) Йо колебаний, частоты которых лежат в заданном интервале между ш и го+с(го. Зто число, разумеется, различно для разных ветвей спектра, но для упрощения обозначений соответствующий индекс а у функций ш(к) и л(ш) в этом параграфе мы не будем выписывать.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
