landafshic_tom5_statfiz_Ch1 (1083899), страница 42
Текст из файла (страница 42)
В самой точке Т=Т, все перечисленные термодинамические неличины непрерывны. Можно, однако, показать, что производная ») Явление накапливания частиц в состоянии с е=о называют колденглцией Бозе — Зйлн/тейпа. Подчеркнем, что речь может при этом идти разве что о «конденсации в импульсном пространстве», никакой реальной конденсации в газе, конечно, не происходит, т. е. теплоемкость пропорциональна Т'/'.
Интегрируя теплоемкость, находим энтропию: зт (62,7) (гл. ч 204 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФЕРМИ И ВОВЕ от теплоемкости по температуре испытывает в этой точке скачок (см. задачу к этому параграфу). Кривая самой теплоемкости как функции от температуры имеет в точке Т= Т, излом, причем в этой точке теплоемкость максимальна (и равна 1,28 ° 3 й/) ). Задача Определить скачок производной (дС /дТ)Р э тоЧке Т =Т,.
Р е ш е и н е. Для решения задачи надо определить энергйю газа при малых положительных Т вЂ” Т . Переписываем равенство (56,5) тождественно в виде где функция й/о(7) определяется равенством (62,1). Разлагаем подынтеграхьное вырюкение, имея в виду, что Р мало вблизи точки Т=Т„а поэтому в интеграле существенна область малых з, и находим, что стоящий здесь интеграл равен Тр = — пТ )/(р(.
)/в (в+ ( Р )) Подставляя вто значение и выражая затем и через й/ — Чо, получим С той же точностью пишем теперь: дЕ 3 дИ 3 3 — = — — — = — Ч ю — Л'о, др 2 др 2 2 откуда 3 зпово /.Чо — М Дз Е = Ео+ — /Чан= Ео — — Дало ( 2 йово ( Т)/ где Ео — — Е,(Т) — энергия при и=О, т. е. функция (62,5). Вторая производная от второго члена по температуре даст, очевидно, искомый скачок производной теплоемкости. Произведя вычисления, найдем Значение производной (дС„/дТ)Р при Т = Т,— О есть, согласно (62,5), +2 89/о/То, а при Т=Т, +О оно равйо, следовательно, — 0,77У/То. з) Подчерхнем, однако, что такое поведение теплоемкости — результат именно полного пренебрежения взаимодействием частиц газа; ситуация меняется при ввЕдеНиИ Уже хотя бы слабого взаимодействия. 6 63) 205 ЧЕРНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ й 63.
Черное излучение 1 П1с— )вут 1 (63,2) Это †т называемое распределение Планка. г) Отвлсквясь от совершенно ничтожного взвнмодеяствия (рвссеянне света ив свете), связанного с возможностью возникновения виртуальных злектроннопозитроивых пвр. Важнейшим объектом применения статистики Бозе является электромагнитное излучение, находящееся в тепловом равновесии,— так называемое черное излучение, Черное излучение можно рассматривать как газ, состоящий из фотонов.
Линейность уравнений электродинамики отражает тот факт, что фотоны не взаимодействуют друг с другом (принцип суперпазиции для электромагнитного поля), так что фотонный газ можно считать идеальным. В силу целочисленности момента импульса фотонов этот газ подчиняется статистике Бозе. Если излучение находится не в вакууме, а в материальной среде, то условие идеальности фотонного газа требует также и малости взаимодействия излучения с веществам. Это условие выполняется в газах (во всем спектре излучения, за исключением лишь частот, близких к линиям поглощения вещества); при большой же плотности вещества оно может соблюдаться лишь при очень высоких температурах. Следует иметь в виду, что наличие хотя бы небольшого количества вещества вообще необходимо для самой возможности установления теплового равновесия в излучении, поскольку взаимодействие между самими фатонамн можно считать полностью отсутствующим ').
Механизм, обеспечивающий установление равновесия, заключается при этом в поглощении и испускании фотонов веществом. Это обстоятельство приводит к существенной специфической особенности фотонного газа: число частиц )и' в нем является переменной величиной, а не заданной постоянной, как в обычном газе. Поэтому Ж должно сама определиться из условий теплового равновесия.
Потребовав минимальности свободной энергии газа (при заданных Т и ьг), получим в качестве одного нз необходимых условий дг!д)т'=О. Но поскольку (дг)дл))т У=)с, то мы находим, что химический потенциал газа фотонов равен нулю: р=о. (63,1) Распреде.ление фотонов по различным квантовым состояниям с определенными значениями импульса ПК и энергиями и = Ьш = йс/г (и определенными поляризациями) дается, следовательно, формулой (54,2) с р=О: 2О6 (гл. и гаспгиделииия оивии и вози Считая объем достаточно большим, перейдем обычным образом (см.
11, 9 52) от дискретного к непрерывному распределению собственных частот излучения. Число колебаний с компонентами волнового вектора К в интервалах т(ай=т(й„Лис(Й, равно1тттэй/(2п)з, а число колебаний с абсолютной величиной волнового вектора в интервале тй есть ссютветственно — 4пйт т(й. (зп)з Вводя частоту ю=сй и умножая на 2 (два независимых направления поляризации колебаний), получим число квантовых состояний фотонов с частотами в интервале между ю и от+т(пп (63,3) Умножив распределение (63,2) на эту величину, найдем число фотонов в данном интервале частот: т(Лт„= —,, (63,4) е ' — 1 а умножив еще на аеа, получим энергию излучения, заключенную в этом участке спектра: (63,6) Эта формула для спектрального распределения энергии черного излучения называется формулой Планка '). Будучи выражена через длины волн )т=2пс/ю, она имеет вид ! 0лзсй)т ЛХ Ха,знйуга (63,6) При малых частотах (асо(< Т) формула (63,5) дает фоумулу Рэлея — Джинса: с(Е„= $' —, юз йо.
T (63,7) Обратим внимание на то, что она не содержит квантовой постоянной )а и может быть получена умножением числа собственных колебаний (63,3) на Т; в этом смысле она соответствует классической статистике, в которой на каждую колебательную степень свободы должна приходиться энергия Т (закон равнораспределения, ~ 44). т) Открытие этого закона Планком (М. Р!алей) в )900 т.
положило начало созданию квантовой теории. 207 % 63) чинное излучение В обратном предельном случае больших частот (твго)) Т) формула (63,5) дает г(Е„=Р йшв -а тг( . (63,8) (формула Вина), На рис. 7 изображен график функции хз/(е" — 1),.отвечающей распределению (63,6). бЮ бу У Е Х 4 Х В и Еу Рис. 7. Плотность спектрального распределения энергии черного излучения по частотам г(Е )г(ш имеет максимум при частоте ш=оз, определяющейся равенством = 2,822.
(63,9) Таким образом, при повышении температуры положение максимума распределения смещается в сторону больших частот пропорционально Т ~закон смещения)'). т) Плотность распределения по длинам волн ЫЕЕ)пя тоже имеет максимум, но при ином значении авалогичного отношения: 2ирс)ТХ, =4,965.
Таким образом, точка максимума (ям) распределения по длинам волн смещается обратно пропорционально температуре. 206 [гл. ч гкспгедвлвния эегмн н воза Р = Т вЂ”,, д! ы' !п (1 — е-""'~г) с(и У (63,10) о Вводя переменную интегрирования х="ла(Т и интегрируя по частям, получим ОР Т' Г х1йх Р= — У вЂ” ~ — „ Зпег,есэ,) е" — ! ' о Стоящий здесь интеграл равен л'/15 (см. примечание иа стр. 191).
Таким образом, Р= — У = — — УТ', (63, 11) 45 (Фс)г Зс Если Т измеряется в градусах, то коэффициент о !'постоянная Стефана — Больцлсана) равен а= — '" =567 10 ' (63,12) боо'с' сех'граде Энтропия Б= — — = — УТ . дР 16о дТ Зе (63,13) Она пропорциональна кубу температуры. Полная энергия излучения Е=Р+ТБ равна с У7 — ЗР. (63, 14) Это выражение можно было бы, разумеется, получить и непосредственным интегрированием распределения (63,5). Таким образом, полная энергия черного излучения пропорциональна четвертой степени температуры (закон Больчмана). Для теплоемкостн излучения имеем (63,15) Наконец, давление Р (дс) 4о Те (63,16) РУ =-— Е 3 (63,! 7) Вычислим термодинамические величины черного излучения. При 1х = 0 свободная энергия Р совпадает с 1е (так как Р =Ф— — РУ= У!с + й). Согласно формуле (56,4), в которой полагаем р=О и переходим обычным образом (с помощью (63,3)) от суммирования к интегрированию, получаем 6 631 ЧЕРНОЕ ИЗЛУЧЕИИЕ Как и следовало, для газа фотонов получается то же предельное выражение для давления, что н у ультрарелятивистского электронного газа (5 61); соотношение (63,17) является непосредственным следствием линейной зависимости (е =-ср) между энергией и импульсом частицы.
Полное число фотонов в черном излучении есть изсз 3 Еззг изсзйз 3 е" — ! аз — 1 '" о Стоящий здесь интеграл выражается через ь(3) (см. примечание на стр. 191), Таким образом, (63,18) Прн адиабатическом расширении (нли сжатии) газа фотонов объем и температура связаны друг с другом соотношением 1ТТ'==сонэ(. В силу (63,16) давление н объем связаны при этом соотношением Р)зз~з=сопз1. Сравнивая с (61,8), мы видим, что уравнение адиабаты газа фотонов совпадает (как н следовало ожидать) с адиабатой ультрарелятивистского газа.
Рассмотрим какое-,чибо тело, находящееся в тепловом равновесии с окружающим его черным излучением. Тело непрерывно отражает и поглощает падающие на него фотоны и в то же время само излучает новые, причем в равновесии все эти процессы взаимно компенсируются таким образом, чтобы распределение фотонов по частотам и направлениям оставалось в среднем неизменным. Благодаря полной изотропии черного излучения из каждого элемента его объема исходит равномерно во все стороны поток эйергин. Введем обозначение оЕ йззз е, (оз) = — — = (63,19) 4ЕУ зз 4 зсз ( Озиг ~) для спектральной плотности черного излучения, отнесенной к единице объема и единичному интервалу телесных углов.
Тогда плотность потока энергии с частотами в интервале о(оз, исходящего из каждой точки в элемент телесного угла с(о, будет се, (зо) о(о з(оз. Поэтому энергия излучения (с частотами в з(оз), падающего в единицу времени на единицу площади поверхности тела под углом О к ее нормали, есть сез(ш) созОо(оо(оз, о(о=2пз1пОс(О. 210 [гл. т елспееделения ьееми и вазе Обозначим посредством А (в, 8) паелощательную способность тела как функцию частоты излучения и направления его падения; эта величина определяется как доля падающей на поверхность тела энергии излучения данного интервала частоты, поглощаемая этим телом, причем в эту далю не включается излучение, прошедшее насквозь через тела, если таковое имеется.
Тогда количества поглощенного (в 1 сел на 1 си* поверхности) излучения будет се (в) А(в, 8) созййойо. (63,20) Предположим, чта тело не рассеивает излучения и не флуоресцирует, т.е. отражение происходит без изменения угла 8 и частоты. Кроме того, будем считать, что излучение не проходит сквозь тело; иначе говоря, все неотраженное излучение полностью поглощается. Тогда количество излучения (63,20) должно компенсироваться излучением, испускаемым самим телом в тех же направлениях и с теми же частотами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
