landafshic_tom5_statfiz_Ch1 (1083899), страница 40
Текст из файла (страница 40)
В формулу (56,6) входит интеграл вида м 1 1() е(е нмт+ 1 где 1(е) — некоторая функция (такая, что интеграл сходится); в (56,6) 1(е) =-ез/з. Преобразуем этот интеграл, сделав подстановку е †)х= Тгч й нгг ч 1(р+Тт) Т ( Т (' 1(1 — Тг) й ('1(р )т ) г(г — +Т„ -шг о о В первом интеграле пишем 1 1 — =1 —— е-'-1-! е'-г-! и находим н н(т е (' г ( ) ( 7, (' 1(м — Тг) Ыг + 7, (' 1((х+Тт) да +! о $ 58] теплоемкость выгожденного электгонного газа 191 Во втором интеграле заменяем верхний предел бесконечностью, имея в виду, что р!Т>) 1, а интеграл быстро сходится ').
Таким образом, получим и Ф ) ! л~-гл — !(г — г ! ех -г- 1 о Разлагаем теперь числитель подынтегрального выражения во втором интеграле в ряд Тэйлора по степеням г и интегрируем почленно: о Ю л ! = ') ! (е)г(е+2Т'('()ь) ~,+1+ а Т"('" (р) ) „+1+ ° . о о о Подставляя значения интегралов '), имеем окончательно и 1= ~1'(е)г(е+ — "Тз("(р)+ — "Т'1*"(р)+... (58,1) е ') Эта замена означает пренебрежение экспоненциально малыми членами. Надо иметь в виду, что получающееся ниже разложение (58,1) представляет собой асимптотический (а не сходящийся) ряд.
з) Интегралы такого типа вычисляются следующим образом: л О л 1-+-~ --'-- хх-гдз à — хх-га-х лч ( )па-пх,.с(гпл "+! — ~ о л=о = Г (х) ~~' ( )п л ! (! 2г- х) Г (х) ~ 1 -ч1 л=! л=! хх-1 г(з — =(! — 2г-х) Г(х)й(х) (х) 0), е где ь (х) — ь.функция Римана. При хпл 1 это выражение дает неопределенность; значение интеграла Ю лз — =!п2. ех+ 1 При целом четном х(х=2п) ь-функция выражается через так называемые числа Бернулли Вл, и получается глл-! 2зл — Ыг = пхпВл.
е*+ 1 2п е Аналогичным образом вычисляются следующие интегралы: 192 (гл. я глспгкдклкния якими и вовк Посредством ()э обозначена величина (1 при абсолютном нуле температуры. Рассматривая второй член как малую добавку к Ра и выражая в нем р через Т и (/ с помощью «нулевого приближения» (57,5), мы можем непосредственно написать выражение для свободной энергии (согласно теореме о малых добавках (24,16)): Ра )/Т ( ) ь (58,8) где мы ввели для краткости обозначение (58,4) Отсюда находим энтропию газа л=()й/т ®*", с=()д/т (-',~*", (58,5) его теплоемкость ') (58,6) г"-х Иг — = Г (х) Ь (х) (х > 1). При целом четном х=2п имеем Ю гач-т Фг (2к)'в Вч е' — 1 4л о Приведем для справок несколько первых чисел Бернулли и несколько эначеннй ь-функций: 1 1 1 1 В=.— „В= —, В= —, В= —; 6" 30* 42' 30' ь (3/2) =2 6!2, ь (5/2) = 1,341, ь (3) = 1,202, ь (5) = 1,037; Г (3/2) = 1/ и/2 Г (5/2) = 3 Уи /4.
') Мы не пишем индекса о илн р у теплоемкости, так как в этом приблн- асеняи С и Ср совпадают. Действительно, мы видели в 4 23, что если 58 стре- мится при Т вЂ” 0 к нулю, как Т", то разность С вЂ” С„обращается в нуль, г как Т' е', в данном случае, следовательно, С вЂ” С Та. Третий член разложения приведен для справок; здесь он нам не понадобится, Полагая в формуле (58,1) / = еа~'- н подставляя в (56,6), получим искомый следующий член разложения потенциала Й при низких температурах: а .
а (/Тг Р 2!' и'"' — .о бйа УВЗ $591 МАГНЕТИЗМ ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА. СЛАБЫЕ ПОЛЯ и энергию Е==Ео+ 2 МТ' (у) =Ее ~1+0,18 Я ( — ) ' ~, (587) Таким образом, теплоемкость вырожденного ферми-газа при низких температурах пропорциональна первой степени температуры. 9 59. Магнетизм электронного газа. Слабые поля Намагниченность электронного газа в слабых магнитных полях складывается из двух независимых частей: из пзрамагиитной намагниченности, связанной с собственным (спивовым) магнитным моментом электронов (парамагнетизл Паули, )(У.
Раи1о', 1927) и из диамагнитной намагниченности, связанной с квантованием орбитального движения электронов в магнитном поле (диалоагнетиэм Ландау, 1930). Вычислим соответствующие магнитные восприимчивости, предполагая газ вырожденным: температура Т<ф ел. Условие слабости магнитного поля означает, что должно быть (см.
ниже) ()Н((Т, где () =)е)Ь(2тс — магнетон Бора' ). Для вырожденного газа термодинамические вычисления удобнее производить в независимых переменных Т, У, р (вместо переменных Т, У, л)). Соответственно этому вместо формулы (52,1), использованной при вычислении магнитного момента больцмановского газа, здесь мы будем вычислять его как производную )дй)т у (59,1) от термодинамнческого потенциала й. Определим сначала парамагннтную часть восприимчивости. Дополнительная (спиновая) энергия электрона в магнитном поле равна ~~Н, где два знака отвечают двум значениям (~1/2) проекции спина на направление поля.
Статистическое распределение электронов в магнитном поле отличается, следовательно, от распределения в отсутствие поля заменой энергии е = ро/2т на е = ро/2т ~ рН. Но поскольку е входит в распределение в комбинации е — р с химическим потенциалом, то эта замена эквивалентна замене )о иа р -т-()Н.
Поэтому потенциал й электронного газа в магнитном поле может быть представлен в виде й1)о) 2 йо1)о+рН)+ 2 йо(р ()Н), (59,2) где йо()х) — потенциал в отсутствие поля (аргументы Т, У для х) В обратном случае высоких температур (Т>) ег) злектроиы образувзт больцмановския газ, и парамагнитная часть его восприимчивости, отнесенная к единице объема: Х~~Р~ -— ГуроууТ (формула (52,З) с и=2, о' =- 1/2). 194 [гл. ч РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФЕРМН И БОЗЕ краткости не выписываем); два члена в этой сумме отвечают совокупностям электронов с различными проекциями спина, а множители 1/2 учитывают уменьшение вдвое числа квантовых состояний электрона при фиксировании значения проекции его спина. Произведя в (59,2) разложение по степеням рН, получим 2~ да (59,3) и дЧ)а откуда магнитный момент ЙИ = — Нрп — '.
Но производная д)ап д()а(др= — Н„так что парамагнитная восприимчивость, которую в этом параграфе относим к единице объема газа: х Р д а)а ()и ~дЛ/~ (59,4) -Р— К дна К (,д...~г,р' Пренебрегая малым (при Т((р) температурным эффектом, т. е. считая газ полностью вырожденным, имеем из (57,3) (зал)а) а~а зладаа и дифференцирование дает Р(э )ам у)а ()'Р Хпара Обратимся к вычислению диамагнитной восприимчивости. Уровни энергии орбитального движения электрона в магнитном поле даются выражением е=ф+(2а+1)~Н, (59,6) где а=О, 1, 2, ..., а р,— импульс в направлении поля — пробегает непрерывный ряд значений от — Ос до со (см.
П1, 9!!2). При этом число состояний в интервале е(р, при каждом заданном значении а есть 2 — а(р е'(е)н (2лаа)а с где множитель 2 учитывает два направления спина. Выражение (53,4) для потенциала 11 принимает внд И й=2рН а,' Цр — (2л+1) ()Н1„ (59,8) аа а 1(Р)= — — пеа ') 1п (1+ехр(ф — 4— „,*~)~~Фа. (59,9) Ф 9 59] мАГиетиза! электгоииого ГАБА. слАБые пОля 195 Сумму (59,8) можно вычислить с требуемой точностью с помощью формулы ') о Ю у'»( ~-') =)»и!о-,— ',» оо» (оооо> ч=е Условие применимости этой формулы состоит в малости относительного изменения функции Р на одном шаге (и -о-и + 1). В применении к функции (59,9) оно сводится к требованию рН((Та). Применив (59,10) к сумме (59,8), получим ьа= 2рН ') у(р — 2рНх)«(х+— 2()Н д) ()о — 2ПРН) о = д! )(Е) г(х — — —.
(2рН)» дг' (!») 24 д)о — о» Первый член не содержит Н, т. е. представляет собой потенциал (2„(р) газа в отсутствие поля. Таким образом, (59,1! ) и отсюда восприимчивость') р» д»по 1 Ха»а=а(г д» 8 Хо»»а )« (59,12) В целом газ парамагнитен с восприимчивостью Х=2Х„,Р,/3. Мы произвели здесь вычисление обеих ее частей по отдельйости с целью уяснения их происхождения. Разумеется, можно было бы вычислять также и сразу суммарную восприимчивость Х.
Для этого надо было бы писать уровни энергии электронов ») Согласно известной формуле суммировании Эйлера — Маклорена о Ю 1 Г 1 — Р (а) + ч»ч Р (а + л) щ ~ Р (х) дх — — Р' (а). 2 а « 12 (59,10а) и=! а Формула (59,10) получится отсюда, если положить а=!/2 и представить функцию Р(х) в интервале 0~(я~1/2 в виде Р (х) ю Р (О)+хР' (О). о) В противном случае условие нарушается в «опасной» области значений и, для которых разность )« — (2Л+1) рН близка к нулю.
Эта область приводит (см. следующий параграф) к появлению в й быстро ссциллирующнх (как функция от Н) членов. Этн члены исчезнут, если произвести усреднение ряда (59,8) по некоторому интервалу ЬН такому, что изменение аргумента )о — 2()ПН (вблизи точки, где р — 21)ПН О) будет существенно больше, чем азиость его двух соседних значений; ()Н(<лрьН - )«АН!Н или АН!Н ~~ > рН(р. После этого формула (59,!0) станет вновь применима, и получающийся с ее помощью результат будет ограничен лишь условием рН(< и.
») Отметим, что это соотношение справедливо при любой степени вырождения газа. 196 (гл. ч гиспгкдилиниа евнин н вози в виде а=р,'/2пг+(2гг+1)рН~ рН, получающемся прибавлением к (59,6) спиновой магнитной энергии ~()Н. Эту совокупность значений и можно представить и как е= — '+2п$Н, п=О, 1, 2, ... (59,!3) причем каждое значение с а~О встречается дважды, а с я=О один раз; другими словами, плотность числа состояний с п~О дается той же формулой (59,7), а для а=О она вдвое меньше. Потенциал ь1 определится тогда суммой О о-эан~ — !(е!;к, !(е — ээн !), (59.!т! л=! ) а для ее вычисления надо воспользоваться формулой') О\ О й Р(0)+~Р(и)=) Р(х)с(х — — Р'(0). (59,!5) и=! а й 60.
Магнетизм электронного газа. Сильные поля Рассмотрим теперь поля, для которых значение рН, по-прежнему малое по сравнению с р, уже не должно быть малым по сравнению с Т: Т ~ () Н «~ )а. (60.1) В этих условиях эффекты квантования орбитального движении и спиновые эффекты уже не могут быть отделены друг от друга и должны учитываться одновременно; другими словами, при вычислении ь) надо исходить из выражения (59,14). Мы увидим, что намагниченность электронного газа при !)Н~ Т содержит часть, которая, как функция Н, осциллирует с большой амплитудой; именно эта осциллирующая часть намагниченности и будет интересовать нас здесь, Для выделения из термодннамических величин их осциллирующих частей целесообразно преобразовать сумму (59,14) с помощью формулы Пуассона '): — Р (0)+~~' Р(л) = 1 Р (х)с(х+2 Ке ~~' ')Р (и)е™ах!(х, (60 2) а=! и=! ~ !) Она получается иэ формулы Эйлера — Маклорена, если положить в ней а=о. э) Эта формула следует из равенства б (к — л) = ~~~ е'"га; Л= Ф а= — и сумма б.функций в левой стороне этого раненства представляет собой периодическую функцию переменной к с периодом ), а сумма в правой стороне есть з 601 мАГнетизм злектгонноГО ГАЭА.
сильные пОля 191 после чего она принимает вид 11=(1. (р)+ — ",а ~е Е У„ (6О,З) где 1а = — 2(гН ') ') 1п ~1+ехр (ф — Я, — +))~ е'пга с(хе()т, (60,4) -ж о а Яе(р) — термодинамический потенциал в отсутствие поля. ПРоизведем в интегРалах 1А заменУ пеРеменной х на е = Ра/2т+ + 2хрН. Для интересуюшей нас осциллирующей части интегралов (которую обозначим через 1а) получим В ф Ха — — — ) ~ 1п ~1+ехр ('~ е) ~ ехр( — е) ехр( — ™Ра ) г(е Г(рх. -~е В интеграле по р, существенны значения ра/2лт ()Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
