landafshic_tom5_statfiz_Ch1 (1083899), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Как известно, волновые функции должны быть либо антисимметричными, либо симметричными по отношению к перестановкам любой пары частиц, причем первый случай имеет место для частиц с полуцелым, а второй — для частиц с целым спииом. Для системы частиц, описывающейся антисимметричными волновыми функциями, справедлив принцип Паули: в каждом квантовом состоянии может находиться одновременно не более одной частицы.
Статистика, основанная иа этом принципе, называется статистикой Ферми (или статистикой Ферми — Дирака)'). Подобно тому как мы это делали в 9 37, применим распределение Гиббса к совокупности всех частиц газа, находящихся в данном квантовом состоянии; как уже указывалось в 9 37, это можно делать и при наличии обменного взаимодействия между частицами. Снова обозначим посредством йе термодинамический потенциал этой системы частиц и, согласно общей формуле (35,3), будем иметь 180 !гл.
о Рлспгнделеннн Фнгмн н БОзе Поскольку среднее число частиц в системе равно производной от потенциала й по химическому потенциалу Р, взятой с обратным знаком, то в данном случае искомое среднее число частиц в й-м квантовом состоянии получится как производная (в-еа)) т Иа= — — = е те а)е 1+ а( или окончательно 1 (еа-н))г (53,2) Это и есть функция распределения для идеального газа, подчиняющегося статистике Ферми, илн, как говорят коротко, для ферми-газа. Как и следовало, все па(1.
При ехр ~04 — нл)/Т]<ф! формула (53,2) переходит, естественно, в функцию распределения Больцмана. Распределение Ферми нормировано условием =М, (~а-ну г е где М вЂ” полное число частиц в газе. Это равенство определяет в неявном виде химический потенциал как функцию Т и М. Термодинамический потенциал 4) газа в целом получается суммированием Я» по всем квантовым состояниям й= — Т~) !и(1+е ' у. (53,4) $ 54.
Распределение Бозе Перейдем теперь к изучению статистики, которой подчиняется идеальный газ, состоящий из частиц, описывающихся симметричными волновыми функциями, так называемой статистики Бозе (или статистики Бозе — Эйнштейна) '). Числа заполнения квантовых состояний при симметричных волновых функциях ничем не ограничены и могут иметь произвольные значения. Вывод функции распределения может быть сделан так же, как в предыдущем параграфе; пишем: а„= — Т!п~ (г г ) е) Она была введена длн световых квантов Боле (Б.
У. Воле, !924), а затем обобщена Вйншлмйном. й 551 НЕРАВНОВЕСНЫЕ ФЕРМИ" и БОЗЕ-ГАЗЫ (54,1) )е (О. Напомним в этой связи, что для больцмаповского газа химический потенциал всегда имеет отрицательные (большие по абсолютной величине) значения, а для ферми-газа р может быть как отрицательным, так и положительным. Суммируя геометрическую прогрессию, получим Н-ее~ Й,=Т!п(1 — е ' /. Отсюда находим средние числа заполнения йе= —— дЯА 1 (ее-н)~г (54,2) Это и есть функция распределения идеального газа, подчиняющегося статистике Бозе (или, как говорят для краткости, бозагаза).
Она отличается от функции распределения Ферми знаком перед 1 в знаменателе. Как и последняя, при ехр Цр — Ве)!Т)((1 она переходит, естественно, в функцию распределения Больцмана. Полное число частиц в газе выражается формулой 1 Л =,.'.н~ (еŠ— Ну Г е — 1 а термодинамический потенциал !! газа в целом получается суммированием !! по всем квантовым состояниям: (1=Т,~,!п (1 — е г ).
(54,4) $55. Неравновесные ферми- и бозе-газы Подобно тому, как это было сделано в З 40, можно вычислить энтропию также и неравновесных ферми- и бозе-газов, а из условия максимальности энтропии снова получить функции распределения Ферми и Бозе. Б случае Ферми в каждом из квантовых состояний может находиться не более одной частицы, но числа У не малы, а, вообще говоря, того же порядка величины, что и числа 6у (все обозначения †же, что и в з 40).
Число возможных способов распределения У,. одинаковых частиц по 6 состояниям (не более чем по одной в каждом) есть Стоящая здесь геометрическая прогрессия сходится, только если е(" 'А)~ (1. Так как это условие должно иметь место для всех В„(в том числе и алн В =О), ясно, что во всяком случае должно быть 182 [гл. т Рлспгкдвлнння Фегмн и БОзе не что иное, как число способов, которыми можно выбрать Уу из 6у состояний, т. е.
число сочетаний из 6 элементов по Уу. 'Таким образом, имеем 64 ~~ У = У 4 16.— У.)) (55,1) у' у 'у Логарнфмируя это выражение и воспользовавшись для логарифмов всех трех факториалов формулой (40,3), найдем Я = ~ (6 1п 6у — !чу !п У вЂ” (6. — )ч' ) !п (бу — )УД. (55,2) ! Вводя снова средние числа заполнения квантовых состояний йу —— = — Му/6уч получим окончательно следующее выражение для энтропии неравновесного ферми-газа: о= — ~~' 6 1лу!пну+(1 — пу)1п(1 — иу)1. (55,3) Из условия максимальности этого выражения по уравнениям (40,8) легко найти, что равновесное распределение определяется формулой — 1 г яэаз е т.
е., как и следовало, совпадает с распределением Ферми. Наконец, в случае статистики Бозе в каждом квантовом состоянии может находиться любое число частиц, так что статистический вес гхГ есть число всех способов, которыми можно распределить Л' частиц по 6у состояниям. Это число равно') (61+У; — 1)' Лг/- — „. 1)1У,. (55,4) Логарифмируя это выражение и пренебрегая при этом единицей по сравнению с очень большими числами 6 +Л' и 6, получим 3 =,'~; ((6у+ Жу) !п (6у+ Му) — Му 1п У, — 6у!п 61). (55,5) т) Речь идет о числе способов размещения, скажем, У одинаковых шаров по 6 ящикам.
Изобразим шары в виде ряда последовательно расположенных Уу точек; ящики перенумеруем и изобразим условно границы между ними 6у — 1 вертикальными черточками, расположенными в ряду точек. Так, рисунок .!" )!" !" изображает 1О шаров, размещенных в пяти ящиках: 1 шар в первом ящике, 3 — во втором, Π— в третьем, 4 — в четвертом и 2 — в пятом. Всего число мест !на которых находятся точки нли черточки) в этом ряду есть 6у+Уу — 1. Искомое число размещений шаров по ящикам есть число способов, которыми можно выбрать 6 — 1 мест для черточек, т. е. число сочетаний нз У.+6у — 1 влемену тов по 6 — 1, откуда и получается приведенная в тексте велйчина.
у з 561 эяями-и возя-глзы элямянтляных члстнц 183 а энтропия еМу В= Ъ 6,1п —. а ' ! Мы используем эту формулу в дальнейшем, в й 71. (55,8) $56. Ферми- и бозе-газы элементарных частиц Рассмотрим газ, состоящий из элементарных частиц, илн частиц, которые в даннйх условиях могут рассматриваться как элементарные. Как уже было в свое время указано, к обычным атомным или молекулярным газам распределения Ферми или Бозе вообще не приходится применять, так как эти газы фактически всегда с достаточной точностью описываются распределением Больцмана.
Все выводимые в этом параграфе формулы имеют совершенно аналогичный вид для обеих статистик Ферми и Бозе, отличаясь лишь одним знаком. Ниже везде верхний знак соответствуетстатистнке Ферми, а нижний — статистике Бозе. Вводя числа и, напишем энтропию неравновесного бозе-газа в виде 5 = ~ 6 [(1+ п~) 1п (1+ и ) — и,(и и 1. (55,6) Легко убедиться в том, что условие максимальности этого выражения действительно приводит к распределению Бозе. Обе формулы (55,2) и (55,5) для энтропии в предельном случае У (<6г переходят, естественно, в больцмановскую формулу (40,4).
В больцмановское выражение (40,2) переходят также и статистические веса (55,1) и (55,4) статистик Ферми и Бозе; для этого надо положить 6,1 = (6 — Л',)16А (6 + Л' — 1)1 = (6 — 1)1 6,"г. Необходимо, однако, иметь в виду, что такой переход в статистических весах означает пренебрежение в ннх членами порядка У,'16з которые сами по себе, вообще говоря, не малы; но при л логарифмировании зти члены дают в энтропии поправку малого относительного порядка У,/6,. Наконец, выпишем формулу для энтропии бозе-газа в важном предельном случае, когда число частиц в каждом квантовом состоянии велико (так что У,>)6,, пг)) 1).
Как известно из квантовой механики, этот случай соответствует классической волновой картине поля. Статистический вес (55,4) приобретает вид л'. г ЛГ,=„' 0„ 7 (55,7) 184 [гл. ч наспгеделання еегми н воза Энергия элементарной частицы сводится к кинетической энергии ее поступательного движения, которое всегда квазиклассично. Поэтому имеем е = — (р', + р„'+ р',), (56,1) где д=2з+1, з — спин частицы, т.
е. равно я г)т (е-рнг ~ ) ' е' Р (56,2) Интегрируя по е()г (что сводится к замене г)е' на полный объм з' газа), получим распределение по компонентам импульса частиц, а переходя к сферическим координатам в пространстве импульсов и интегрируя по углам, найдем распределение по абсолютной величине импульса з(й) =— кур' и Зпзь (е<е-мы,- )) (56,3) (где е=рз/2т), нли распределение по энергии я)гт~~ 1' е ее е Ззззнзьз е<е-икт 4 ) ' (56,4) Эти формулы заменяют классическое распределение Максвелла.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
